Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate ...
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d) Elliptische <strong>Verteilungen</strong>Definition 5 Ein Zufallsvektor X ∈ IR d hat eine <strong>elliptische</strong> Verteilungwenn X d = µ+AY , wobei Y ∼ S k (ψ), µ ∈ IR d ist ein konstanter Vektorund A ∈ IR d×k ist eine konstante Matrix.<strong>Die</strong> charakteristische Funktion:φ X (t) = E(exp{it T X}) = E(exp{it T (µ+AY )}) = exp{it T µ}E(exp{i(A T t) T Y })wobei Σ = AA T .= exp{it T µ}ψ(t T Σt),Notation <strong>elliptische</strong> <strong>Verteilungen</strong>: X ∼ E d (µ,Σ, ψ)µ heißt Positionsparameter (location parameter),Σ heißt Dispersionsparameter (dispersion parameter),ψ heißt charakteristischer Generator der <strong>elliptische</strong>n Verteilung.Falls A ∈ IR d×d regulär, dann gilt folgende Relation zwischen<strong>elliptische</strong>n und sphärischen <strong>Verteilungen</strong>:X ∼ E d (µ,Σ, ψ) ⇔ A −1 (X − µ) ∼ S d (ψ), A ∈ IR d×d , AA T = Σ20
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