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Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate ...

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Bedingte <strong>Verteilungen</strong>:Wenn Σ regulär, dann ist auch die bedingte VerteilungX (2) ∣ ∣∣X (1) = x (1) elliptisch verteilt:X (2) ∣ ∣∣X (1) = x (1) ∼ N k−n(µ (2,1) ,Σ (22,1) , ˜ψ )wobeiµ (2,1) = µ (2) + Σ (2,1) (Σ (1,1) ) −1 (x (1) − µ (1) )undΣ (22,1) = Σ (2,2) − Σ (2,1) (Σ (1,1) ) −1Σ (1,2) .Typischerwise sind ˜ψ und ψ unterschiedlich(siehe Fang, Katz und Ng 1987).24

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Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler ...

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Theorem 5 (Eigenschaften der <strong>elliptische</strong>n Verteilung)Sei X ∼ E k (µ,Σ, ψ). X hat folgende Eigenschaften:Lineare Kombinationen:Für B ∈ IR k×d und b ∈ IR k gilt:Randverteilungen:(Setze X T = X (1)T , X (2)T) fürBX + b ∈ E k (Bµ + b, BΣB T , ψ).X (1)T = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) T und X (2)T = (X n+1 , X n+2 , . . . , X k ) T undanalog(( )µ T = µ (1)T , µ (2)T) Σ(1,1)Σsowie Σ =(1,2)Σ (2,1) Σ (2,2) . Es gilt dann))X 1 ∼ N n(µ (1) ,Σ (1,1) , ψ und X 2 ∼ N k−n(µ (2) ,Σ (2,2) , ψ .23

Seite 7 und 8: d) Elliptische VerteilungenDefiniti
Seite 9: Beispiel 6 (Multivariate Normalvert

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