Multivariate elliptische Verteilungen a) Die multivariate ...

Quadratische Formen:Wenn Σ regulär, dann giltD 2 = (X − µ) T Σ −1 (X − µ) ∼ R 2 .wobei R die nicht-negative ZV aus der stochastischen Darstellung )Y = RS der spherischen Verteilung Y mit S ∼ U(S (d−1) undX = µ+AY ist. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz.Faltung:Seien X ∼ E k (µ,Σ, ψ) und Y ∼ E k (˜µ,Σ, ˜ψ) zwei unabhängigeZufallsvektoren. Es gilt dann X + Y ∼ E k (µ + ˜µ,Σ, ¯ψ) wobei ¯ψ =ψ˜ψ.Achtung: Σ muss i.a. dieselbe für X und Y sein.Anmerkung: Aus X ∼ E k (µ, I k , ψ) folgt nicht, dass die Komponentenvon X unabhängig sind. Die Komponenten von X sind dann und nurdann unabhängig wenn X multivariat normalverteilt mit der Einheitsmatrixals Kovarianzmatrix ist.25