Elliptische Copulas Definition 14 Sei X ein d-dimensionaler ...

Elliptische CopulasDefinition 14 Sei X ein d-dimensionaler Zufallsvektor, seien µ ∈ IR dund Σ ∈ IR d×d zwei Konstanten, und sei ψ:[0, ∞) → IR eine Funktion.Wenn φ X−µ = ψ(t T Σt) gilt, wobei φ X−µ die charakteristische Funktionvon X − µ ist, dann ist X eine elliptisch verteilter Zufallsvektor mitParameter µ, Σ, ψ: X ∼ E d (µ,Σ, ψ).ψ heißt erzeugende Funktion (oder Generator) von X.Für d = 1 stimmen die elliptischen Verteilungen mit den symmetrischenVerteilungen überein.Überzeugen Sie sich! Verwenden Sie die stochastische Darstellungeiner elliptischen Verteilung.Theorem 18 (Stochastische Darstellung)Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X ist elliptisch verteilt, X ∼E d (µ,Σ, ψ) und rang(Σ) = k, dann und nur dann wenn es eine MatrixA ∈ IR d×k , A T A = Σ, sowie eine nicht negative Zufallsvariable R undeinen k-dimensionalen auf der Einheitskugel S k−1 = {z ∈ IR k : z z z = 1}gleichverteilten Zufallsvektor U gibt, sodass R und U unabhängig sindund X d = µ + RAU.Anmerkung: Eine elliptische Verteilung X ist radial symmetrisch: X −µ d = µ − X.43

Definition 15 Sei X ∼ E d (µ,Σ, ψ) mit Verteilungsfunktion F undstetigen Randverteilungen F 1 , F 2 , . . . , F d . Dann wird die eindeutigeCopula C von F, C(u) = F(F ← 1 (u 1), . . . , F ← d (u d)), elliptische Copulagenannt.Beispiel 16 Gauss’sche Copulas sind elliptische CopulasSei CRGa die Copula einer d-dimensionalen standard Normalverteilungmit Korrelationsmatrix R:C GaR (u) = φ d R(φ −1 (u 1 ), . . . , φ −1 (u d )),wobei φ d Rdie Gesamtverteilungsfunktion einer d-dimensionalen Normalverteilungmit Erwartungsvektor 0 und Korrelationsmatrix R undφ −1 die Inverse der Verteilungsfunktion einer univariaten standard Normalverteilungist. Da die Normalverteilung eine elliptische Verteilungist, ist dieGauss’sche Copula CRGa eine elliptische Copula.Im bivariaten Fall gilt:C GaR (u 1, u 2 ) =∫ φ−1(u 1 ) ∫ φ−1(u 2 )−∞wobei ρ ∈ (−1,1).−∞{1−(x22π(1 − ρ 2 ) exp 1− 2ρx 1 x 2 + x 2 2 ) }dx 1/2 2(1 − ρ 2 1 dx 2 ,)44

t-Copula: ein weiteres Beispiel elliptischer CopulasDefinition 16 Sei X d = µ +√ α√SAZ ∼ t d (α, µ,Σ), wobei µ ∈ IR d , α ∈ IN,α > 1, S ∼ χ 2 α , A ∈ IRd×k mit AA t = Σ und Z ∼ N k (0, I k ), und S undZ unabhängig sind. Es heißt, X hat eine d-dimensionale t-Verteilungmit Mittelwert µ (für α > 1) und Kovarianzmatrix Cov(X) = αα−2 Σ(für α > 2). Cov(X) existiert nicht für α ≤ 2.Definition 17 Die Copula Cα,R tCopula gilt:R ij =von X heißt t-Copula. Für die t-C t α,R (u) = td α,R (t−1 α (u 1), . . . , t −1α (u d)).Σ ij√Σii Σ jj, i, j = 1,2...,d, ist die Korrelationsmatrix von Z,t d α,R ist die Verteilungsfunktion von √ α√SZ, wobei S ∼ χ 2 α und Z ∼N k (0, I k ) unabhängig sind, und t α sind die Randverteilungen von t d α,R .Bivariater Fall (d = 2):C t α,R (u 1, u 2 ) =∫ t−1α (u 1)−∞∫ t−1α (u 2)−∞{11 + x2 1 − 2ρx }1x 2 + x 2 −(α+2)/22dx2π(1 − ρ 2 ) 1/2 α(1 − ρ 2 1 dx 2 ,)für ρ ∈ (−1,1). R 12 ist der lineare Korrelationskoeffizient derdazugehörigen bivariaten t α -Verteilung für α > 2.45

Copulas: Weitere EigenschaftenDefinition 18 (Radiale Symmetrie oder Kugel-Symmetrie)Ein Zufallsvektor X (oder eine Verteilungsfunktion) heißt radial symmetrisch(oder kugel-symmetrisch) um den Punkt a wenn X − a d =a − X.Beispiel: Ein elliptisch-verteilter Zufallsvektor X ∼ E d (µ,Σ, ψ) ∈ IR d istradial-symmetrisch um µ.Definition 19 (Radiale Symmetrie von Copulas)Eine Copula C heißt radial-symmetrisch wenn(U 1 − 0.5, . . . , U d − 0.5) d = (0.5 − U 1 , . . . ,0.5 − U d ) ⇐⇒ U d = 1 − U,wobei (U 1 , U 2 , . . . , U d ) ein Zufallsvektor mit Verteilungsfunktion C ist.Für eine radial symmetrische Copula gilt C = Ĉ.Beispiel: Elliptische Copulas sind radial symmetrisch.Die Gumbel und Clayton Copulas sind es nicht. Überzeugen Sie sich!46

Definition 20 (Bedingte Copula Verteilungen)Sei C eine zwei dimensionale Copula und (U 1 , U 2 ) ein Zufallsvektormit Verteilungsfunktion C.C U2 |U 1(u 2 |u 1 ) := P(U 2 ≤ u 2 |U 1 = u 1 ) f.s= lim P(Uδ→0+ 2 ≤ u 2 |u 1 ≤ U 1 ≤ u 1 +δ)C(u 1 + δ, u 2 ) − C(u 1 , u 2 )limδ→0 + δf.s.= ∂C(u 1, u 2 )∂u 1C U2 |U 1ist eine Verteilung in [0,1]; die ist eine Gleichverteilung d.u.n.d.wenn C die Unabhängigkeitscopula ist (siehe Nelsen 1999).47

Die Dichtefunktion einer CopulaCopulas haben nicht immer eine Dichtefunktion. Z.B. die Co-Monotonie Copula M bzw. die Anti-Monotonie Copula W haben keineDichtefunktion.Wenn die Dichtefunktion c einer Copula C existiert dann giltc(u 1 , u 2 , . . . , u d ) = ∂C(u 1, u 2 , . . . , u d )∂u 1 ∂u 2 . . . ∂u dSei C die Copula einer Gesamtverteilung F mit stetigen RandverteilungsfunktionenF 1 ,. . .,F d . Dann kann die GleichungC(u 1 , . . . , u d ) = F(F ← 1 (u 1 ), . . . , F ← d (u d))differenziert werden um die Dichte c von C zu erhalten:c(u 1 , . . . , u d ) =−1f(F1 (u 1), . . . , F −1d(u d ))f 1 (F1 −1 (u 1)) . . . f d (F −1d(u d ))f ist die Gesamtdichtefunktion, f i sind die Dichtefunktionen der Randverteilungen,1 ≤ i ≤ d, und F −1iist die inverse Funktion von F i .48

Definition 21 Ein Zufallsvektor X heißt vertauschbar (“exchangeable”)wenn (X 1 , . . . , X d ) d = (X π(1) , . . . , X π(d) ) für jede Permutation(π(1), π(2), . . . , π(d)) von (1,2, . . . , d).Definition 22 Eine Copula C heißt vertauschbar wenn sie dieGesamtverteilung eines vertauschbaren Zufallsvektors(mit Gleichverteilungen als Randverteilungen) ist.Für eine solche Copula gilt:C(u 1 , u 2 , . . . , u d ) d = C(u π(1) , u π(2) , . . . , u π(d) )für jede Permutation (π(1), π(2), . . . , π(d)) von (1,2, . . . , d).Beispiele von vertauschbaren Copulas: Gumbel, Clayton, Gauss’scheCopula CP Ga,t-Copula Ct ν,Pfür den Fall, dass P eine Equikorrelationsmatrixist: R = ρJ d + (1 − ρ)I d . J d ∈ IR d×d ist eine Matrix bestehendaus lauter Einser, und I d ∈ IR d×d ist die d-dimensionale Einheitsmatrix.Für bivariate vertauschbare Copulas gilt:P(U 2 ≤ u 2 |U 1 = u 1 ) = P(U 1 ≤ u 2 |U 2 = u 1 ).49

Theorem 19 Sei (X 1 , X 2 ) T ein normalverteilter Zufallsvektor. Danngilt: λ U (X 1 , X 2 ) = λ L (X 1 , X 2 ) = 0.Korollar 2 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer Gauss’schen Copula Cρ Ga , wobei ρder Koeffizient der linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Danngilt: λ U (X 1 , X 2 ) = λ L (X 1 , X 2 ) = 0.Theorem 20 Sei (X 1 , X 2 ) T ein t-verteilter Zufallsvektor mit νFreiheitsgraden, Mittelwert 0 und linearer Korrelationsmatrix R:(X 1 , X 2 ) T ∼ t 2 (0, ν, R). Für R 12 > −1 gilt:( √ √ν) 1 − R12λ U (X 1 , X 2 ) = λ L (X 1 , X 2 ) = 2¯t ν+1 + 1 √ 1 + R12Beweis: Ähnlich wie der Beweis von Satz 19. Hinweis:.X 2 |X 1 = x ∼( ν + 1ν + x 2 ) 1/2X 2 − ρx√1 − ρ2 ∼ t ν+150

Korollar 3 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer t-copula Cν,R t mit ν Freiheitsgraden und einerKorrelationsmatrix R. Dann gilt:( √ √ν) 1 − R12λ U (X 1 , X 2 ) = λ L (X 1 , X 2 ) = 2¯t ν+1 + 1 √ 1 + R12Theorem 21 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer Gauss’schen copula Cρ Ga , wobei ρ der Koeffizientder linearen Korrelation zwischen X 1 und X 2 ist. Dann gilt:ρ τ (X 1 , X 2 ) = 2 π arcsin ρ und ρ S(X 1 , X 2 ) = 6 π arcsin ρ 2Korollar 4 Sei (X 1 , X 2 ) T ein Zufallsvektor mit stetigen Randverteilungenund einer elliptischen copula Cµ,Σ,ψ E . Dann gilt:ρ τ (X 1 , X 2 ) = 2 π arcsin R 12, wobei R 12 = Σ 12√Σ11 Σ 22Theorem 22 Sei X ∼ E d (µ,Σ, ψ) ein elliptisch verteilter Vektor mitstetigen Randverteilungsfunktionen. Dann gilt:ρ τ (X i , X j ) = 2 π arcsin R ij, wobei R ij =Σ ij√Σii Σ jjfür i, j = 1,2, . . . , dBeweise von Satz 21, Satz 22 und Korollar 4: siehe McNeil et al.(2005).51

Archimedische CopulasNachteile elliptischer Copulas:• I.A. keine Darstellung in geschloßener Form möglich• kugel-symmetrischBivariate Archimedische CopulasDefinition 23 Sei φ:[0,1] → [0,+∞] stetig, streng monoton fallend,sodass φ(1) = 0. Die pseudo-inverse Funktion φ [−1] :[0, ∞] → [0,1] vonφ wird folgendermassen definiert:φ [−1] (t) ={φ −1 (t) 0 ≤ t ≤ φ(0)0 φ(0) ≤ t ≤ ∞φ [−1] ist stetig und monoton fallend in [0, ∞], streng monoton fallendin [0, φ(0)] und es gilt:φ [−1] (φ(u)) = u für u ∈ [0,1]φ(φ [−1] (t) ={t 0 ≤ t ≤ φ(0)φ(0) φ(0) ≤ t ≤ +∞Falls φ(0) = +∞, dann φ [−1] = φ −1 .52

Theorem 23 Sei φ:[0,1] → [0,+∞] stetig, streng monoton fallendin [0,1], sodass φ(1) = 0, und sei φ [−1] die pseudo-inverse Funktionvon φ. Sei C:[0,1] 2 → [0,1], sodass C(u 1 , u 2 ) = φ [−1] (φ(u 1 ) + φ(u 2 )).C ist eine Copula dann und nur dann wenn φ convex ist. Copula dieserForm heißen Archimedische Copulas. φ heißt Generator von C. Fallsφ(0) = +∞, dann φ [−1] = φ −1 und C(u 1 , u 2 ) = φ −1 (φ(u 1 ) + φ(u 2 )).Beweis: Siehe Nelsen 1999.Beispiel 17 Gumbel CopulasSei φ(t) = (−ln t) θ , θ ≥ 1, t ∈ [0,1].)CθGu (u 1 , u 2 ) = exp(−[(−ln u 1 ) θ + (−ln u 2 ) θ ] 1/θCopula mit Parameter θ.Für θ = 1: C1 Gu = u 1 u 2 .lim θ→∞ Cθ Gu = M(u 1 , u 2 ) = min{u 1 , u 2 }.Die Gumbel Copulas haben eine obere Tail Abhängigkeit.Beispiel 18 Clayton CopulasSei φ(t) = (t −θ − 1)/θ, θ > 0.ist die GumbelC Clθ (u 1, u 2 ) = ( u −θ1 + u−θ 2 − 1) −1/θist die Clayton Copula mit Parameter θ.lim θ→0 CθCl = u 1 u 2 und lim θ→∞ Cθ Cl = M = min{u 1 , u 2 }.Die Clayton Copulas haben eine untere Tail Abhängigkeit53