Zentraler Grenzwertsatz - FIM

Illustration ZGWS: Akkumulation von Messfehlern• Eine Messung setze sich zusammen aus der Summe vonmehreren Einzelmessungen.• Bsp: Auf einer Baustelle gibt es Aufgaben, die sehr vieleMale ausgeführt werden müssen. Wir messen die Dauerjeder einzelnen Ausführung, um die totale Zeit zu ermitteln.• Jede Einzelmessung werde gerundet, also liegt derMessfehler einer Einzelmessung zwischen −0.5 und 0.5(Stunden, Minuten, …).• Wir modellieren den Messfehler U j der j-ten Messung alsomit einer Uniformen Verteilung mit Parametern a = −0.5und b = 0.5.1

Illustration: Akkumulation von MessfehlernWir betrachten nun den akkumulierten Fehler über diegesamte Summe anhand von einigen Situationen.Anzahl MessungenMessfehler1 Messung U 12 Messungen U 1 + U 24 Messungen U 1 + U 2 + U 3 + U 48 Messungen U jWir nehmen an, dass alle U j voneinander unabhängig sindund U j ∼ Unif(−0.5, 0.5).Schauen wir uns die Situation einmal anhand simuliertenDaten an.8j=12

Zentraler Grenzwertsatz: BemerkungenDer zentrale Grenzwertsatz sagt zudem aus, dass• Binomialverteilung ≈ Normalverteilung für n gross undp nicht zu klein (da die Binomialverteilung eine Summe vonvielen Bernoulli-Verteilungen ist).• Poissonverteilung ≈ Normalverteilung für λ gross (dadie Poissonverteilung eine Summe von vielen anderenPoissonverteilungen ist).4

Normalapproximation BinomialverteilungWie geht man dann konkret vor?Wenn X~Bin(n, p), dann istE[X] = np, Var(X) = np(1 − p).Als Approximation wählen wir eine Normalverteilung N(μ, σ 2 )mitAlso haben wirμ = np, σ 2 = np(1 − p).P[X ≤ x] ≈ Φx−npnp(1−p)5

Normalapproximation PoissonverteilungWenn X ~ Pois(λ), dann istE X = λ, Var X= λ.Wir wählen also eine Normalverteilung mit μ = λ, σ 2 = λ.Also haben wir hierP[X ≤ x] ≈ Φ x−λλ6

P[X = x]Binomialverteilung (n = 30, p = 0.5)0.160.140.120.10.080.060.040.0200 5 10 15 20 25 30x7

P[X = x]Poissonverteilung (λ = 15)0.120.10.080.060.040.0200 5 10 15 20 25 30x8

Zentraler Grenzwertsatz: RouletteRoulette• 18 rote Felder, 18 schwarze Felder, 1 grünes Feld• Spieler setzt CHF 1 auf rot.• Der Gewinn des Casinos im i-ten Spiel sei X i .• X i = 1 W′ keit 1918 schwarz, 1 grün37−1 W ′ keit 1818 rot37• Totale Gewinn nach n Spielen ist S n .9

Zentraler Grenzwertsatz: RouletteWir haben• E X i = 1 ∙ 1937• E X i 2 = 1937 + 1837 = 118+ −1 ∙ = 1 , d.h. Casino leicht im Vorteil.37 37• Var X i = E X i 2 − E X i 2 = 1 − 1 372= 0.99927 ≈ 1Frage: Was ist die W’keit, dass das Casino Gewinn macht,wenn wir 10’000 (unabhängige) Spiele betrachten?• E S n = 10′000 ∙ 1 37 ≈ 270.27• Var S n = 10′000 ∙ 0.99927 ≈ 9992.7σ Sn = 9992.7 ≈ 99.9610

Zentraler Grenzwertsatz: RouletteWenn wir eine Normalverteilung mit diesem Erwartungswertund dieser Varianz annehmen, haben wirP S n > 0 = P S n − 27099.96 > 0 − 27099.96StandardisierungEs ist Φ 2.7 = 0.9965!≈ P Z > −2.7 = Φ 2.7Z ~ N(0,1)SymmetrieDurch den leichten Vorteil des Casinos und die vielenSpiele reduziert sich das Verlustrisiko sehr stark!Wenn wir die Anzahl Spiele erhöhen, verstärkt sich dieserEffekt und das Casino macht mit hoher W’keit einen (grossen)Gewinn.11