Die Seitenhalbierende

•••••Geometrie: Besondere Linien im Dreieck Kl. 8 Februar 2010GierhardtImmanuel-Kant-Gymnasium HeiligenhausDie SeitenhalbierendebM b•CWir zeichnen ein Dreieck ABC, bezeichnendie Ecken mit A, B und C und dieSeiten mit a, b und c.Wir zeichnen auch die Seitenmitten M A ,M b und M c .•AM aacM c•B•Ab•M bs a•Ss cs b•CM aaWir zeichnen die Strecken ,und .Wir bezeichnen mit s a , mits b und mit s c .Diese Strecken nennt man diedes Dreiecks.Die Strecken s a , s b und s c schneiden sichin einem Punkt S.Diesen Punkt nennt man auchdes Dreiecks.cM c•BAufgaben1. Zeichne das Dreieck ∆M a M b M c . Formuliere Aussagen(a) Die Strecke M a M b ist .(b) Die Strecke M a M c ist .(c) Die Strecke M b M c ist .1

(d) Was kann man über die vier entstandenen Dreiecke sagen?Die vier Dreiecke sind, weil2. Behauptung: Die Seitenhalbierenden zerlegen ein Dreieck in sechs kleinere flächengleicheDreiecke.Beweis: Wir benutzen für die Flächeninhalte die Abkürzungenx = A ∆AMcS, y = A ∆BMaS und z = A ∆CMb S.A ∆AMcS = A ∆McBS, weilA ∆BMaS = A ∆MaCS, weilA ∆CMb S = A ∆Mb AS, weilNun ist auchA ∆AMcC = A ∆McBC, weilMit den Abkürzungen (bitte in Zeichnung eintragen!) folgt dannEbenso ist= , d.h. = .A ∆BMaA = A ∆MaCA, weilMit den Abkürzungen folgt dann= , d.h. = .Schließlich ergibt sich zusammengefasst = = , d.h. die Dreiecke sindgleich groß.3. Behauptung: Der Schwerpunkt zerlegt eine Seitenhalbierende in zwei Teilstrecken,wobei eine doppelt so groß wie die andere ist.Beweis: Das Dreieck ∆SCA ist doppelt so groß wie das ∆M c SA. Die beiden Dreieckehaben aber die gleiche, wenn SC und SM c die Grundseiten sind.Also ist SC wie SM c .Für die anderen Seitenhalbierenden zeigt man es ebenso.-e Seitenmitte, -n-e Seitenhalbierende, -n zerlegen-r Schwerpunkt, -e2