Kleine Algebra-Formelsammlung

GierhardtDeutsche Internationale Schule JakartaKleine Algebra-FormelsammlungMittelstufe (bis Klasse 10)Dargestellt sind die wichtigsten Fakten und Gesetze, wobei diverse Ausnahmeregeln wie z.B.das Verbot der Division durch Null nicht immer angegeben sind.1 ZahlenmengenNatürliche ZahlenIN = {0; 1; 2; 3; . . .} (1)Ganze ZahlenZ = {. . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . .} (2)Rationale Zahlen{ }p Q =q ∣ p ∈ Z, q ∈ IN ∧ q ≠ 0Alle rationalen Zahlen lassen sich durch einen abbrechenden oder einen periodischen Dezimalbruchdarstellen.Irrationale ZahlenZahlen, die durch einen nicht-abbrechenden und nicht-periodischen Dezimalbruch dargestelltwerden, nennt man irrationale Zahlen. Beispiele:√2 = 1,41421356 . . .(3)1,23456789101112131415161718192021222324252627282930 . . .1,101101110111101111101111110 . . .Reelle ZahlenVereinigt man die Menge Q mit der Menge der irrationalen Zahlen, erhält man die MengeIR der reellen Zahlen.2 Bruchrechnungabheißt Bruch. a heißt Zähler und b Nenner des Bruches.1

Kehrwert1heißt Kehrwert der Zahl a. b heißt Kehrwert des Bruches a.a a bEs gilt:ab · ba = 1 1ab= b a11a= a (4)Erweitern und KürzenBeim Erweitern werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl (ungleich Null) multipliziert:ab = a · cb · c(5)Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl (ungleich Null) dividiert:ab = a : cb : c(6)Kürzen bei Produkten:a · ba · c = b c(7)Kürzen bei Summen und Differenzen:ab + acad=adab + ac =a(b + c)adada(b + c) == b + cddb + cab − acad=adab − ac =a(b − c)adada(b − c) == b − cddb − cZähler und Nenner müssen als Produkt vorliegen.Merkregel: ”Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!“(8)(9)Multiplikationmit einer Zahl:a · bd = abdmit einem Bruch:ab · cd = acbd(10)(11)2

Divisiondurch eine Zahl:aab : c = bc = a bcdurch einen Bruch:ab : c ad = bcd= a b · dc = adbcAddition und Multiplikationab ± c b = a ± cbab ± c d = adbd ± bcbdProzentrechnung=ad ± bcbdist Bruchrechnung mit der Abkürzung1% = 1100(12)(13)(14)(15)(16)3 Negative ZahlenBetragDer Betrag einer reellen Zahl ist wie folgt definiert:Es gilt:|x| ={ x für x ≥ 0−x für x < 0|x| = |−x| |x| ≥ 0 |x · y| = |x| · |y|Rechenregelnbei Addition und Subtraktion:x∣y∣ = |x||y|(17)(18)x + (+y) = x + y x + (−y) = x − y x − (+y) = x − y x − (−y) = x + y (19)bei Multiplikation:(+x)·(+y) = xy (+x)·(−y) = −xy (−x)·(+y) = −xy (−x)·(−y) = xy (20)bei Division:+x+y = x y+x−y = −x y−x+y = −x y−x−y = x y(21)3

ei Potenzierung:Achtung: Es gilt weiterhin ”Punkt- vor Strichrechnung!“. Potenzen zählen zur Punktrechnung.Beispiel:(−2) 2 ≠ −2 2(+x) 2 = x 2 (−x) 2 = x 2 (22)(+x) 3 = x 3 (−x) 3 = −x 3 (23){ x(−x) n nfür n gerade.=−x n(24)für n ungerade.bei Summen und Differenzen:−a − b = −(a + b) − a + b = −(a − b) = b − a (25)4 TermumformungenPunkt- vor Strichrechnung! (26)Kommutativgesetzea + b = b + a a · b = b · a (27)Assoziativgesetzea + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c (28)Distributivgesetza · (b + c) = ab + ac (29)Produkte von Summen(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd (30)Binomische Formeln(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (31)(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (32)(a + b) · (a − b) = a 2 − b 2 (33)(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (34)(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (35)(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 (36)4

5 Quadratische GleichungenDie quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0 in der sogenannten p-q-Form hat je nachVorzeichen der Diskriminante keine, genau eine oder genau zwei Lösungen.Ist ( p 22)− q < 0, dann besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen.Ist ( p2) 2− q = 0, dann besitzt die Gleichung die Lösung x = −p2Ist ( p2) 2− q > 0, dann besitzt die Gleichung die zwei Lösungenund es giltx 1;2 = − p 2 ± √ (p2) 2− q (37)x 2 + px + q = (x − x 1 ) · (x − x 2 ) (38)und der Satz von Vieta:x 1 + x 2 = −p x 1 · x 2 = q (39)6 Gleichungen und UngleichungenÄquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung nicht.Äquivalenzumformungen bei Gleichungen:• Addieren oder Subtrahieren einer Zahl auf beiden Gleichungsseiten.• Multiplikation mit einer Zahl ungleich 0 auf beiden Gleichungsseiten.• Division durch eine Zahl ungleich 0 auf beiden Gleichungsseiten.• Kehrtwertbildung auf beiden Gleichungsseiten, wenn kein Nenner 0 entsteht.Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen:• Addieren oder Subtrahieren einer Zahl auf beiden Ungleichungsseiten.• Multiplikation mit einer Zahl größer 0 auf beiden Ungleichungsseiten.• Division durch eine Zahl größer 0 auf beiden Ungleichungsseiten.• Multiplikation mit einer Zahl kleiner 0 auf beiden Ungleichungsseiten und Umkehrungdes Relationszeichens.• Division durch eine Zahl kleiner 0 auf beiden Ungleichungsseiten und Umkehrung desRelationszeichens.Quadrieren beider Gleichungsseiten ist keine Äquivalenzumformung, weil sich die Lösungsmengevergrößern kann.BruchgleichungenMultiplikation mit dem Hauptnenner und Definitionsmenge beachten. (40)5

WurzelgleichungenSeparation der Wurzeln – Quadrieren, bis keine Wurzel mehr vorhanden ist –Definitionsmenge beachten – Probe machen (41)7 Potenzena n = a } · a ·{{ a · · · a}mit a ∈ IR; n ∈ IN (42)n Faktoren aheißt Potenz. a heißt Basis und n Exponent.Nicht-positive Exponenten werden wie folgt definiert:a 0 = 1 (43)a −n = 1 (44)a n ) n(45)( ab) −n=( baPotenzgesetzeGleiche Basen:a m · a n = a m+n (46)a ma n = am−n (47)Gleiche Exponenten:a n · b n = (ab) n (48)a n ( a) nb = n b(49)Potenzierung von Potenzen:(a m ) n = a mn = (a n ) m (50)Gebrochene ExponentenPotenzen mit gebrochenen Exponenten werden als Wurzeln definiert.Für alle m, n ∈ IN, n ≥ 2 und a ∈ IR mit a > 0 gilt:a 1 n =n √ a a m n =n √ a m (51)8 WurzelnDie n-te Wurzel aus a ≥ 0 wird wie folgt definiert:n√ a = b ⇐⇒ b n = a und b ≥ 0 und n ∈ IN mit n ≥ 2. (52)a heißt Radikandund n Wurzelexponent.6

WurzelgesetzeWurzelgesetze sind Potenzgesetze mit gebrochenen Exponenten.Gleiche Radikanden:m√ a · n √ a = a 1 m · a1n = a1m + 1 nm√ an√ a= a 1 ma 1 nGleiche Wurzelexponenten:= an+mmn =mn √ a m+n (53)= a 1 m − 1 n = an−mmn =mn √ a n−m (54)n√ a ·n √ b = n√ ab (55)n√ an√b= n √ ab(56)Wurzeln von Wurzeln:√n m√ √ √a =mna = n√ m a (57)9 Logarithmenlog b x = h ⇐⇒ b h = x, wobei b, x ∈ IR; b ≠ 1 (58)b heißt Basis, x Numerus und h Logarithmus.Merke: Logarithmus bedeutet Hochzahl bzw. Exponent!Spezielle Logarithmenlog 10 x = lg x (59)log e x = ln x (60)LogarithmierenDie Logarithmusfunktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion. Logarithmieren undPotenzieren ”heben sich gegenseitig auf“.Speziellb log b x = x log b (b x ) = x (61)10 lg x = x lg(10 x ) = x (62)e ln x = x ln(e x ) = x (63)7

Logarithmengesetzelog b (x · y) = log b x + log b y (64)xlog by = log b x − log b y (65)log b x r = r · log b x (66)log b x = log c xlog c b = ln xln b = lg xlg bJede Exponentialfunktion mit der Basis b lässt sich als Funktion mit der Basis e (EulerscheZahl) schreiben:(67)b x = ( e ln b) x= ex·ln b(68)8