Beispiele für Anwendungen im Mathematik-Unterricht

Arbeitsunterlagen
zum Seminar
Beispiele für Anwendungen
im Mathematik-Unterricht
Inhaltsverzeichnis:
Puchberg, 1.12.2008
Franz Schoberleitner
1. Einleitung: Anwendungen im Mathematik-Unterricht ? …………………. 1
2. Einzelne „kleine“ Beispiele: Bremsweg ……………………….. 3
Aidstest …………………………….. 6
Celsius- Fahrenheit ………………… 8
Radfahren ………………………….. 9
Weltbevölkerung. ………………….. 10
Abkühlung ………………………… 12
Höhe eines Berges …………………. 14
Weinfass ……………………………. 15
Benzin oder Diesel ………………… 17
Lohn- und Einkommenssteuer …….. 18
Oberfläche und Volumen ………….. 20
3. Fermi – Fragen ……………….……………………… 24
4. Beispiele mit Computereinsatz: Osterei …………………………….. 27
Durchhang …………………………. 30
Fläche eines Sees …………………... 37
Kurvenradius ……………………….. 41
5. „Große“ Beispiele: PageRank-Algorithmus ……………. 43
Computer-Tomographie …………… 53
Hochrechnung ……………………... 60
Vollständige Serie …………………. 67
6. Matura-Aufgaben ………………………………………. 72

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 1
Anwendungen im Mathematik-Unterricht ?
Wenn man im Bereich der Schulmathematik von „Anwendungen“ spricht, kann damit – sehr
grob gesprochen! – zweierlei gemeint sein:
1. S. soll (selber) mit mathematischen Mitteln Fragen beantworten, die in realen
Situationen auftauchen. („sich etwas ausrechnen können“ /„etwas erklären können“)
2. S. soll Einsicht gewinnen in wichtige mathematische Anwendungen
Zu 1.: Mathematik ist Bestandteil des Alltag / ist zur Bewältigung des Alltags hilfreich oder
sogar notwendig.
Zusätzlich: Argumentieren, Kritisches Denken, Hinterfragen ….
Zu 2: Mathematik spielt in unserer heutigen Welt eine zentrale Rolle, aber sie ist verborgen
Man braucht von Mathematik nichts zu verstehen, um ihre Errungenschaften nutzen zu
können.
Motto: Die Welt mit der Brille der Mathematik betrachten …….
• Mathematik „hinein-sehen“: Mathematische Modelle erstellen, um etwas auszurechnen
oder etwas zu erklären
• Mathematik „heraus-sehen:“ Steuersystem; GPS; Hochrechnung; CT; ISBN; Google; ..
(1) „sich etwas ausrechnen“ (2) „Anwendungen kennenlernen“
• v.a. Unterstufe, ab VS • v.a. Oberstufe
• „einfache“ Mathematik • „schwierige“ Mathematik
• Selber modellieren, selber rechnen,
selber argumentieren …
• Kennenlernen, durchschauen einer
Idee anderer („im Prinzip“)
• Anwendbares Wissen • Wissen über Anwendungen
• Viele Beispiele,
z.T. in Schulbüchern
Natürlich gibt es auch etwas dazwischen ….
• Wenige Vorzeigebeispiele
„Sandkasten-Beispiele“

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 2
Einerseits ist Mathematik eine eigene Welt (mit Zahlen, Formeln, Begriffen, Regeln …)
Andererseits kann man Mathematik in der realen Welt brauchen ….
Begriffe, Sätze, … M. im Alltag
„Mathematik als System“ M. in Wissenschaft / Technik
• Beide Aspekte sind wichtig;
die individuelle Wertschätzung kann sehr unterschiedlich sein …..
• Je höher die Schulstufe, umso deutlicher müssen beide auseinander gehalten werden
(Arbeiten „im System“ - Anwenden)
→ Problem der „eingekleideten Aufgaben“
• Zwei Standpunkte möglich:
(1) Zuerst „System“ entwickeln, dann Anwendungen dazu
(2) Von realen Problemen ausgehen, dann „System“ dazu entwickeln …
In der Praxis dominiert (1), dagegen wird (2) häufig von Didaktikern gefordert …
Problematik der „eingekleideten Aufgaben“:
Beispiel :
M „für sich“
(Reine M.)
Eine Firma hat 3 Verkaufsstellen in den Orten A, B, C. In einem Koordinatensystem haben
diese folgende Koordinaten: A=(-3, 1) B=(4,-1) C=(1,5)
Wo muss ein neu zu errichtendes Zentrallager gebaut werden, wenn es von allen drei Filialen
gleich weit entfernt sein soll ?
→ Entkleidete Aufgabe:
→ Kritik (von der Sachsituation her):
→ Gefahr:
M. „für etwas anderes“
(Angewandte M.)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 3
Beispiel Bremsweg
Wenn ein Auto eine Vollbremsung macht, so gilt für seine Beschleunigung näherungsweise
a( t)
= −8
( m / s
Welchen Bremsweg legt das Auto zurück, wenn es zu Beginn des Bremsvorgangs mit einer
Geschwindigkeit von 20 m / s unterwegs ist ?
Alternative:
Ein Auto ist mit einer Geschwindigkeit von etwa 70 km/h unterwegs. Wegen eines plötzlich
auftauchenden Hindernisses macht der Fahrer eine Vollbremsung.
Wie lang ist der Bremsweg ?
Fortsetzung:
Schafft es der Fahrer, das Auto rechtzeitig zum Stehen zu bringen, wenn er zum Zeitpunkt des
Auftauchens des Hindernisses von diesem noch 40 m entfernt ist ?
Falls nicht: Mit welcher Geschwindigkeit fährt er in das Hindernis ?
Didaktische Hinweise:
• Aktivierung von Alltagserfahrung (Moped ….) bzw. von Vorwissen (Fahrschule)
• Formulierung einer Modellannahme notwendig!
Einfachste Modell-Annahme:
Beschleunigung ist konstant: a( t)
= −c
(bzw. Geschwindigkeit nimmt linear ab v ( t)
v0
c.
t − = )
Welchen Wert sollte man für c verwenden ?
c hängt ab von Straßenbeschaffenheit, Reifen, Eigenschaften des Fahrzeugs, ….
Einige Werte: PKW auf trockenem Asphalt, gute Reifen: c ≈ 8 ( m / s )
2
)
PKW auf Neuschnee, Winterreifen: c ≈ 3 ( m / s )
PKW auf Glatteis, Winterreifen ohne Spikes: c ≈ 1 ( m / s )
Man muss sich jetzt für ein Szenario entscheiden …..
2
2
2

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 4
Die Angabe „das Auto fährt ist mit etwa 70 km/h unterwegs“ präzisieren wir willkürlich:
v 20 m / s
0 =
• Lösungsskizze:
v ( t)
= 20 − 8.
t
2
s( t)
= 20t
− 4t
(gemessen ab dem Punkt, in dem Bremsung beginnt)
v ( t)
= 0 ⇔ t = 2,
5
Bremsweg b = s(
2,
5)
− s(
0)
= 25 m
Auch eine allgemeine Rechnung (mit den Parametern c und v 0 ) ist nicht schwierig.
Ergebnis:
b
=
v
2
0
2c
• Interpretation dieses Ergebnisses:
Bremsweg ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit
Bremsweg ist indirekt proportional zur (konstanten) Beschleunigung c
Schüler erinnern sich manchmal an die Faustregel aus der Fahrschule:
2
10 ⎟ b =
⎛ v ⎞
⎜
⎝ ⎠
Dabei ist aber die Geschwindigkeit in km/h gemessen!
Eine kurze Rechnung zeigt: Dies entspricht c ≈ 4
• Fortsetzung:
Hier ist die Frage des Anhaltewegs zu thematisieren, der sich aus Reaktionsweg und
Bremsweg zusammensetzt.
Mögliche Annahme: Reaktionszeit = 1 Sekunde (diskussionswürdig!!)
Reaktionsweg = 20 m
Unter dieser Annahme kommt das Fahrzeug nicht rechtzeitig zum Stehen !
• Wie lange dauert es, bis das Auto (unter den getroffenen Annahmen!) das Hindernis
erreicht?
s ( t)
= 20 liefert t = 2 , 5 ± 1,
25
Interessant ist nur die kleinere (!) der beiden Lösungen: t ≈ 1,
38
Man erhält: v ( 1,
38)
≈ 8,
96 m / s das entspricht etwa 32 km/h!!
Alle bis hierher angestellten Rechnungen können mit anderen Werten wiederholt und die
Ergebnisse verglichen werden.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 5
• Analyse des letzten Ergebnisses:
Wir untersuchen, wie sich die Geschwindigkeit entlang des Weges verändert.
Sei d der zurückgelegte Weg ab Beginn des Bremsvorgangs.
Zu welchem Zeitpunkt wird d erreicht, und wie groß ist dann die Geschwindigkeit v ˆ( d)
?
Eine kurze Rechnung liefert: vˆ ( d)
= 400 −16d
Die graphische Darstellung der Abbildung: d → 400 −16d
zeigt das Wesentliche:
Ergebnis einer allgemeinen Rechnung:
2
0 −
vˆ ( d)
v 2cd
=
Zum Weiterdenken: Andere einfache Modell-Annahmen über die Bremsung
(1)
k
a( t)
= −
(2) a( t)
= −k.
v(
t)
v(
t)
Im Fall (1) ergibt sich: v( t)
= v − t und daraus:
Im Fall (2) ergibt sich:
v(
t)
2
0
3
b ~ v0
−k.
t
= v e und daraus: b
~ v0
0.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 6
Beispiel Aids-Test
Bei einem Test zur Feststellung einer bestimmten Krankheit treten folgende Fehler auf:
Mit 3 %iger Wahrscheinlichkeit ist der Test negativ, obwohl die Person erkrankt ist.
Mit 5 %iger Wahrscheinlichkeit ist der Test positiv, obwohl die Person gesund ist.
Zusätzlich weiß man aus Erfahrung, dass 10% der Bevölkerung an dieser Krankheit leiden.
Bei einer Person ist der Test positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie
tatsächlich diese Krankheit hat? Kommentiere das Ergebnis!
Alternative:
Medizinische Test sind nicht 100% ig sicher; es können dabei auch Diagnosefehler auftreten.
Wie häufig das geschieht, hängt von der betreffenden Krankheit und dem verwendeten
Testverfahren ab.
Die Güte medizinischer Testverfahren wird durch zwei Kennzahlen angegeben:
Sensitivität = Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person als krank erkannt wird
Spezifität = Wahrscheinlichkeit, dass eine gesunde Person als gesund erkannt wird
Für den sehr zuverlässigen ELISA-Test zur Feststellung einer HIV-Infektion werden in der
neueren Literatur (vgl. Internet!) folgende Werte angegeben:
Sensitivität = 99,5 % Spezifität = 99,5 %
• Was genau bedeuten diese Zahlen ?
• Bei einer Testperson ist der ELISA-Test positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt
tatsächlich eine HIV-Infektion vor ?
Diese Wahrscheinlichkeit hängt wesentlich davon ab, wie hoch man für die betreffende Person
die Wahrscheinlichkeit einer HIV-Infektion eingeschätzt hat, bevor der Test durchgeführt
wurde ! („Priori-Wahrscheinlichkeit“; in der Medizin: Prävalenz)
Angenommen, die Prävalenz habe den Wert x .
Wie hoch ist dann nach einem positiven ELISA-Test die Wahrscheinlichkeit w (x)
, tatsächlich
HIV-infiziert zu sein ?
• Berechne diese Wahrscheinlichkeit w (x)
für x=0,1 und für x=0,01 !

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 7
• Stelle den Zusammenhang allgemein dar!
Mit Hilfe des Satzes von Bayes ergibt sich:
w ( x)
= p(
I
Graphische Darstellung:
p(
+ I ). p(
I)
0,
995x
+ ) =
=
=
p(
+ ) 0,
995x
+ 0,
005(
1−
x)
Weiterführende Fragen:
0,
99
0,
995
x +
x
0,
005
• Im Falle eines positiven Testergebnisses wird ein zweiter Test durchgeführt (B-Probe).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt tatsächlich eine Infektion vor, wenn auch der zweite
Test positiv ist ?
Was ist, wenn der zweite Test negativ verläuft ?
• Wie könnte die Einschätzung der Priori-Wahrscheinlichkeit (Prävalenz) erfolgen ?
Hinweise:
0,995
I
x
0,005 0,005 0,995
• In der Gesamtbevölkerung Deutschlands liegt die Prävalenz für HIV bei etwa 0,05%
• In der Praxis wird im Falle eines positiven Elisa-Test ein anderer Test durchgeführt
(Western -Blood -Test), der wesentlich teurer ist und eine besonders hohe Spezifität
aufweist.
1-x
¬ I
+ - +
-

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 8
Beispiel Celsius - Fahrenheit
Von einer linearen Funktion f kennt man die Werte an zwei Stellen: f ( −1)
= 2 f ( 3)
= 6
Ermittle den Funktionsterm und zeichne den Graph im Intervall [-2, 5] !
Alternative:
Elisabeth bereitet sich auf ihren Sommerurlaub in den USA vor. Dem Reiseführer entnimmt sie,
dass in den USA die Temperaturen auf einer anderen Skala als bei uns angegeben werden:
„Grad Fahrenheit“ statt „Grad Celsius“.
Der Reiseführer bietet folgende Tabelle zur Orientierung an:
° C 0 5 10 15 20 25 30 35 40
° F 32 41 50 59 68 77 86 95 104
• Gib eine Formel an zur Umrechnung von °C in °F und umgekehrt!
• Fertige eine graphische Darstellung an!
• Beantworte folgende Fragen und stelle dir selber weitere !
Der Wetterbericht sagt Tageshöchstwerte von 80 °F voraus. Wie sollst du dich anziehen?
Welche Temperatur sollte das Fieberthermometer anzeigen, wenn du gesund bist?
Gibt es eine Temperatur, die auf beiden Skalen denselben Zahlenwert hat ?
Information:
Die besprochene Temperaturskala wurde vom deutschen Physiker Daniel Gabriel Fahrenheit
(1686-1736) eingeführt. Diese wurde in Europa bis zur Einführung der Celsius-Skala
verwendet und ist heute noch in den USA und einigen anderen angloamerikanischen Staaten
gebräuchlich.
Didaktische Hinweise:
• Von den allermeisten anderen Umrechnungen von Einheiten unterscheidet sich dieses
Beispiel darin, dass keine direkte Proportionalität besteht. Das liegt daran, dass für die
Temperatur lange Zeit kein klar ausgezeichneter Nullpunkt erkennbar war.
• Die Linearität kann etwa folgendermaßen ausgedrückt werden:
Eine Zunahme der Temperatur um 5°C entspricht einer Zunahme um 9° F.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 9
Beispiel Radfahren
Das Rad eines Fahrrades hat einen Durchmesser von 60 cm. Wie viele Umdrehungen macht
das Rad pro Kilometer ?
Alternative:
Von Alexanders Wohnhaus bis zum Haus seiner Großmutter sind es ungefähr 2,5 Kilometer.
Alexander fährt diese Strecke öfters mit dem Fahrrad und möchte folgendes wissen:
• wie viele Umdrehungen macht das Rad auf dieser Strecke ?
• wie oft muss er in die Pedale treten ?
Welche Informationen benötigt man ?
Informationen:
Raddurchmesser werden üblicherweise in Zoll angeben. „Zoll“ ist eine alte Längeneinheit;
1 Zoll entspricht ca.2,54 cm.
Gängige Größen sind:
Für Erwachsene: 26 Zoll, 28 Zoll
Für Schulkinder: 20 Zoll, 24 Zoll
Für Kleinkinder: 16 Zoll
Übersetzungstabelle eines typischen Rades:
Hinweise:
• Die gestellten Fragen können mit verschiedenen Daten (etwa in Gruppen) gerechnet
werden. Interessant ist das Spektrum der Ergebnisse!
• Interessante weiterführende Frage:
Wie viele „echt verschiedene“ Gänge hat das Fahrrad ?
• Das Beispiel kann zu einem Unterrichtsprojekt erweitert werden ….

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 10
Beispiel Weltbevölkerung
Die Bevölkerung der Erde betrug im Jahre 1960 ca. 3,31 Milliarden, im Jahr 1980 bereits ca.
4,43 Milliarden.
Beschreibe das Bevölkerungswachstum durch eine Exponentialfunktion!
Um wie viel Prozent wächst die Weltbevölkerung pro Jahr ?
Wann wird es 10 Milliarden Menschen geben?
Alternative:
Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung der Weltbevölkerung seit dem 17.Jahrhundert.
Jahr 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 1960 1970 1980 1990
Bev. 0,51 0,63 0,71 0,91 1,13 1,60 2,53 3,31 3,70 4,43 5,32
Wissenschafter behaupten:
(1) Bis 1900 verlief das Bevölkerungswachstum annähernd exponentiell.
Beschreibe die Bevölkerungsentwicklung im Zeitraum von 1650 bis 1900 durch eine
Exponentialfunktion! Ist die Behauptung (1) gerechtfertigt?
(2) Im 20. Jahrhundert liegt ein überexponentielles Wachstum vor,
genauer: ein hyperbolisches Wachstum, beschrieben durch eine Funktion
a
g(
t)
=
1−
b.
t
Ermittle geeignete Parameterwerte a, b und untersuche, wie gut die Beschreibung zu den
Daten passt! Erstelle eine Prognose für 2000 und für 2050! Kommentiere die Ergebnisse!
Lösungshinweise:
(1) Festlegung: Wir messen die Zeit ab 1650 in Einheiten zu je 50 Jahren.
Eine Exponentialfunktion ist durch bereits durch 2 Funktionswerte festgelegt. In der
Auswahl ist man frei ….
t
Wählt man etwa: f ( 0)
= 0,
51 f ( 5)
= 1,
60 , so ergibt sich: f ( t)
= 0,
51.
1,
257
(2) Auch g (t)
ist durch 2 Funktionswerte eindeutig festgelegt.
Wählt man etwa: g( 5)
= 1,
6 g ( 6,
8)
= 5,
32 so ergibt sich:
0,
544
g(
t)
=
1−
0,
132.
t

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 11
Vergleich der Daten mit den Modellen (mit Hilfe von EXCEL):
Daten Modell 1 Modell 2
Jahr t B(t) f(t) g(t)
1650 0,0 0,51 0,51 0,54
1700 1,0 0,63 0,64 0,63
1750 2,0 0,71 0,81 0,74
1800 3,0 0,91 1,01 0,90
1850 4,0 1,13 1,27 1,15
1900 5,0 1,60 1,60 1,60
1950 6,0 2,53 2,01 2,62
1960 6,2 3,31 2,11 3,00
1970 6,4 3,70 2,20 3,51
1980 6,6 4,43 2,31 4,22
1990 6,8 5,32 2,42 5,31
2000 7,0 6,10 2,53 7,16
Graphische Darstellung:
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
Anmerkung:
Modell 1 wird beschrieben durch die Differentialgleichung: f ′ ( t)
= k.
f ( t)
Modell 2 wird beschrieben durch die Differentialgleichung:
Daten
Modell 1
Modell 2
g ′ ( t)
= k.
g(
t)
2

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 12
Beispiel Abkühlung
Ein Körper wird in einen Kühlraum gestellt und kühlt sich exponentiell ab, wobei für seine
t
Temperatur T (t)
nach t Minuten gilt: T ( t)
= 65.
0,
86 (°C)
• Welche Temperatur hat der Körper zu Beginn ?
• Auf welchen Bruchteil sinkt die Temperatur pro Minute, auf welchen Bruchteil in 5
Minuten?
• Zeichne den Graph der Funktion T (t)
!
Alternative:
Du bereitest dir eine Tasse Tee zu. Der Tee muss etwas ziehen und kühlt dabei ab. Wie lange
dauert es, bis der Tee trinkbar ist ? Wann ist er kalt ?
→ Welche Informationen benötigst du?
→ Was muss festgelegt werden?
→ Wie verläuft die „Temperaturkurve“ ?
• Zusätzliche Angaben: Temperatur des Tees zu Beginn: 100 °C
Raumtemperatur: 21 °C
• Vorschläge für den Verlauf der „Temperaturkurve“:

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 13
• Oft ist als Erfahrungswissen vorhanden:
Je kleiner die Temperaturdifferenz (zur Umgebung) ist, desto langsamer ändert sich die
Temperatur ….
Einfachste Modellierung dieser Tatsache (äquivalente Formulierungen)
• Die Änderungsrate der Temperatur ist proportional zur Temperaturdifferenz.
• T ′ ( t)
= k.
( T ( t)
−U
) ) U … Umgebungstemperatur
• Die Temperaturdifferenz nimmt exponentiell ab
Dies wird oft als das NEWTONsche Abkühlungsgesetz bezeichnet.
• Bei der Rechnung zeigt sich nun, dass eine zusätzliche Angabe notwendig ist: z.B. die
Temperatur zu irgend einem späteren Zeitpunkt
Durch Messung werde festgestellt: Nach 10 Minuten beträgt die Temperatur noch 74°C.
Lösung: D ( t)
: = T ( t)
− 21
t
D ( t)
= c.
a mit D ( 0)
= 79 und D ( 10)
= 63
⇒
⇒
D( t)
= 79.
0,
96
T ( t)
= 79.
0,
96 + 21
Damit können alle weiteren Fragen beantwortet werden ….
Kritik am verwendeten Modell:
• Völlig außer Acht gelassen wurde die Tasse, in der sich der Tee befindet. Eigentlich geht
um die Temperaturen dreier Medien: Luft, Tee, Tasse.
• Die Temperatur ist innerhalb eines Mediums nicht an jeder Stelle gleich. Anstelle „der
Temperatur“ ist eigentlich von einer Temperaturverteilung zu reden (vgl. Infrarot-Bild!).
t
t

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 14
Beispiel Höhe eines Berges
In einem ebenen Gelände erhebt sich ein Berg, dessen Höhe ermittelt werden soll. Dazu geht
man folgendermaßen vor:
Man markiert im Gelände eine Standlinie AB, sodass die vertikale Ebene durch A und B auch
durch die Spitze des Berges geht. Von A und B aus misst man die Höhenwinkel α und β zur
Spitze des Berges.
Berechne die Höhe des Berges, wenn gegeben ist: AB= 120 m α = 42°
β = 49°
Alternative:
In einem ebenen Gelände erhebt sich ein Berg, dessen Höhe ermittelt werden soll. Dabei sind
folgende Messungen möglich:
• Messung von Streckenlängen im ebenen Gelände
• Messung von Winkeln (horizontal und vertikal)
Fertige eine Skizze an, gib an, welche Größen gemessen werden sollen, und gib die
Rechenschritte an, die zur Berechnung der Höhe notwendig sind.
Eventuell: Gib eine Formel zur Berechnung der Höhe aus den Messgrößen an!
Didaktischer Kommentar:
• In der klassischen Aufgabe geht es um das Entschlüsseln der geometrischen Beschreibung
der Situation, um das richtige Anwenden der trigonometrischen Formeln und um die
numerisch richtige Durchführung der Rechnung.
• Die veränderte Aufgabe verlangt an erster Stelle die Entwicklung einer geeigneten
Vermessungs-Strategie! Erfahrungsgemäß verlangt dies einige Diskussion ..
Eine numerische Durchführung der Rechnung muss zunächst unterbleiben, es könnten aber
nach der Diskussion einer Vermessungs-Strategie einfach Messwerte nachgeliefert werden.
• Noch besser wäre natürlich eine tatsächliche Vermessung in der Realität. Diese benötigt
allerdings viel Zeit und die notwendigen Geräte.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 15
Beispiel Weinfass
Ein Weinfass entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f ( x)
1
− x
180
x-Achse im Intervall [-30;30]. Berechne sein Volumen! (Maße in cm)
Alternative:
Ein Fass hat folgende Abmessungen (innen):
Radius von Grund- und Deckfläche: r = 2 dm
Größter Radius (in halber Höhe): R = 3 dm
Höhe h = 6 dm
Wie groß ist das Volumen des Fasses ?
Lösungshinweise:
2
= 25 um die
Zunächst ist eine grobe elementargeometrische Approximation möglich, z.B. mit Hilfe zweier
Kegelstümpfe. Ergebnis: ≈
V 120 dm³
Für eine genauere Berechnung ist folgende Vorgangsweise typisch:
(1) Einführung eines geeigneten Koordinatensystems
(2) Auswahl eines Funktions- bzw. Kurventyps zur Beschreibung der Fassdauben
(3) Anpassen der Parameter an die gegebenen Abmessungen
(4) Berechnung des Volumens mit Hilfe eines Integrals
Beschreibung durch quadratische Funktion:
1
f ( x)
= − x
9
3
0
2 +
3
1 2 2
V = 2π . ∫ ( − x + 3)
dx = ....... ≈ 135,
7 dm
9
3

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 16
Beschreibung durch Ellipsenbogen:
2 5
y = 9 − x
9
3
0
2
5 2
V = 2π . ∫ ( 9 − . x ) dx = ....... ≈ 138,
2 dm
9
Beschreibung durch Cosinus-Funktion:
f ( x)
= 3.
cos( 0,
28.
x)
3
2
V = 2π . ∫ ( 3.
cos( 0,
28.
x))
dx = ....... ≈ 135 dm
0
Hinweis:
3
Die Art der Fragestellung ist auch historisch bedeutsam:
Der Astronom und Mathematiker Johannes Kepler widmet ihr ein ganzes Buch („Nova
stereometria doliorum vinariorum“, Linz 1615). Darin versucht Kepler, das Volumen
verschiedener Fasstypen zu berechnen, indem er sie als Rotationskörper geeigneter
Kegelschnittslinien auffasst, bei denen aber die Rotationsachse von Haupt- und Nebenachse
verschieden ist. Bei einigen wenigen Körpern gelingt dies auch, allerdings mit Methoden, die
sich sehr von unseren heutigen unterscheiden.
Nicht in diesem Buch angeführt, aber trotzdem mit seinem Namen verbunden ist die so
genannte Kepler´sche Fassregel:
Sind G, M und D die Grundfläche, Mittelfläche und Deckfläche eines Fasses mit Höhe h , so
gilt für sein Volumen die Formel:
1
V = . h.
π .( G + 4M
+ D)
6
Diese Formel entspricht genau der Approximation durch einen Ellipsenbogen.
3

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 17
Beispiel Diesel oder Benzin ?
SZ 11.7.2008 (gekürzt)
Dieselmotoren haben einen kräftigen Vorteil eingebüßt - mit Preisen von 1,50 Euro und mehr für einen Liter ist
der Selbstzündertreibstoff inzwischen genauso teuer wie Superbenzin. Da stellt sich doch die Frage: Lohnt sich
der Kauf eines Dieselfahrzeugs überhaupt noch?
Diesel hatten in den letzten Jahren alle Trümpfe auf ihrer Seite: kräftige und durchzugsstarke Motoren für das
Fahrvergnügen, niedriger Verbrauch und erheblich günstigere Preise an den Zapfsäulen für das Gefühl,
wirtschaftlich vernünftig zu fahren. Fast jeder zweite Neuwagenkäufer entschied sich noch im vergangenen Jahr
für einen Diesel: 47,7 Prozent exakt betrug die Dieselquote, zehn Jahre zuvor lag sie bei knapp 15 Prozent.
Einen gewaltigen Vorteil haben Dieselfahrzeuge eingebüßt: Mit Preisen von 1,50 Euro und mehr für einen Liter
ist der Selbstzündertreibstoff inzwischen genauso teuer wie Superbenzin.
Aber die höheren Aufwendungen für Motorentechnik und Abgasreinigung beim Diesel schlagen mit einem
üppigen Mehrpreis bei der Anschaffung zu Buche - der will hereingefahren werden.
Diesel-Interessenten müssen also mit spitzerem Bleistift rechnen. Zu diesem Ergebnis kommt auch der ADAC in
einer aktuellen Untersuchung: War im vergangenen Jahr noch knapp jedes zweite Dieselmodell schon nach 10.000
Kilometern Jahresfahrleistung günstiger als das Benziner-Pendant, ist diese Quote nun auf 39 Prozent gefallen.
Vielfahrer müssen sich aber nach wie vor keine Sorgen machen: In 89 Prozent aller Modellpaare ist der Diesel
nach 20.000 Jahreskilometer auf jeden Fall in den schwarzen Zahlen.
Je kleiner das Auto, desto später oder auch gar nicht rechnet sich der Diesel. Grund: Die Diesel-Modelle sind
meist deutlich teurer, und vor allem sind die Benzinmotoren dieser Kleinwagen so sparsam, dass der Spareffekt
des Diesels kaum zum Tragen kommt.
Wer selbst ausrechnen will, ob sich der Kauf der Dieselversion lohnt, muss einfach ein paar Zahlen
zusammentragen und seine Kosten ermitteln.
Anschaffungskosten: Ermitteln Sie den Preis des jeweiligen Modells. Im Normalfall ist das Dieselmodell teurer
als der Benziner. Allerdings berücksichtigen Sie für Ihren Vergleich nicht die komplette Preisdifferenz, denn wenn
Sie das Auto wieder verkaufen, erzielen Sie beim einst teureren Diesel auch einen höheren Erlös. Als Faustregel
bietet es sich an, zwölf Prozent der Preisdifferenz in die Kalkulation aufzunehmen. Kostet der Diesel 2000 Euro
mehr, also 240 Euro.
Fixkosten pro Jahr: Was kosten Steuer und Versicherung? Im Normalfall ist der Diesel teurer - diese Differenz
wird ihm in der Kalkulation belastet.
Betriebskosten pro 100 Kilometer: Nehmen Sie den Normverbrauch plus zehn Prozent Praxis-Aufschlag,
multiplizieren Sie diesen Verbrauchswert mit dem aktuellen Benzin- und Dieselpreis. Ein schneller Weg, die
Kosten für Wartung und Reparaturen zu ermitteln: auf den Posten für Treibstoff 30 Prozent aufschlagen. Bei
diesem Punkt hat der Diesel die Nase vorn - alle 100 Kilometer fährt er einen Vorteil von mehreren Euro heraus.
Nun addieren Sie die ermittelten Werte bei Anschaffungs- und Fixkosten: Das ist die Summe, die der Diesel jedes
Jahr teurer ist. Wenn man nun diesen Betrag durch den Vorteil, den der Diesel bei den Betriebskosten hat, teilt und
mit 100 multipliziert, hat man die Jahresfahrleistung in Kilometer, ab der sich ein Diesel lohnt.
Mögliche Fragestellungen:
• Warum rechnet sich die Anschaffung eines Dieselautos bei kleinen Autos weniger schnell
als bei großen ?
• Ist die vorgeschlagene Methode zur Berechnung der Jahresfahrleistung, ab der sich ein
Dieselauto lohnt, plausibel ?
Drücke diese Methode durch eine Formel aus! Welche Variable muss sie enthalten ?

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 18
Beispiel Lohn- und Einkommenssteuer
Jeder Steuerpflichtige muss für seine Einkünfte Lohn- oder Einkommenssteuer zahlen. Diese
Steuer wird vom Jahreseinkommen berechnet, allerdings meist monatlich oder vierteljährlich
im Vorhinein bezahlt.
Die Berechung der Steuer erfolgt so:
• Vom Brutto-Einkommen werden einige Beträge abgezogen (Sozialversicherungs-Beiträge,
Freibeträge, …). Es ergibt sich das zu versteuernde Einkommen.
• Vom zu versteuernden Einkommen wird die Steuer gemäß der unten angegebenen Formel
berechnet.
• Von der so errechneten Steuer werden dann noch sogenannte Absetzbeträge abgezogen.
Quelle: https://www.bmf.gv.at
Aufgaben:
(1) Berechne die Steuer für ein zu versteuernden Einkommen von € 20.000,- bzw. von
€ 30.000,- !
(2) Sei x das zu versteuernde Einkommen, s(x) die dafür zu zahlende Steuer.
Zeichne den Graph der Funktion x → s(x)
(Geeignete Einheiten wählen!)
(3) Als Einstiegssteuersatz bezeichnet man jenen Prozentsatz, den man vom ersten zu
versteuernden Euro zahlen muss. Wie hoch ist dieser ?
Als Spitzensteuersatz bezeichnet man jenen Prozentsatz, den man für einen zusätzlich
verdienten Euro höchstens zu bezahlen hat. Wie hoch ist dieser ?
(4) Manche Politiker erheben die Forderung nach einer Flat-Tax. Bei diesem Steuer-
Modell zahlt man vom zu versteuernden Einkommen einen fixen Prozentsatz (z.B.
20%) an Steuer, egal wie hoch das Einkommen ist.
Welche Einkommen würden von einem 20%-Flat-Tax-Steuertarif profitieren, welche
würden dabei mehr Steuer zahlen ?

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 19
(5) Der Durchschnittssteuersatz ist jener Prozentsatz des zu versteuernden Einkommens,
der an Steuer zu zahlen ist.
Es gilt:
s(
x)
d ( x)
= . 100
x
Stelle auch diese Funktion graphisch dar!
Zu den Lösungen:
Steuer-Tarif in Österreich:
Vergleich mit Flat-Tax Durchschnitts-Steuersatz

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 20
Beispiel Oberfläche und Volumen
Ein Würfel mit Seitenlänge a besitzt die Oberfläche O (a)
und das Volumen V (a)
.
Wir betrachten die Zuordnungen: a → O(a)
und a → V (a)
• Gib die Funktionsterme an und skizziere die Graphen! Welche Funktionstypen liegen vor?
• Wie ändern sich Volumen und Oberfläche eines Würfels, wenn die Seitenlänge verdoppelt/
verdreifacht/ halbiert/ mit t multipliziert wird ?
Eine Kugel mit Radius r besitzt die Oberfläche O(r) und das Volumen V (r)
Wir betrachten die Zuordnungen: r → O(r)
und r → V (r)
• Gib die Funktionsterme an und skizziere die Graphen! Welche Funktionstypen liegen vor?
• Wie ändern sich Volumen und Oberfläche einer Kugel, wenn der Radius verdoppelt/
verdreifacht/ halbiert/ mit t multipliziert wird ?
Fortsetzung:
Wesentlich ist, dass in diesen einfachen Beispielen (zum Thema Potenzfunktionen) ein sehr
allgemeiner, für beliebige Körper gültiger(!) Satz steckt, der für das Verständnis vieler realer
Sachverhalte etwas hergibt:
Satz:
Ein Körper mit Volumen V 1 und Oberfläche O 1 wird zentrisch gestreckt mit dem Faktor t .
Dann gilt:
Hinweise:
Kurz:
V
3
~ t
3
1 .
) ( t V t V =
2
1 .
) ( t O t O =
2
O ~ t Konsequenz:
2
O ~ V 3
• Die mathematisch korrekte Formulierung über eine zentrische Streckung wird oft durch das
anschauliche Bild des „Aufblasens“ ersetzt. Wesentlich für das Verständnis ist, dass bei
diesem Vorgang alle Längen mit einer gewissen Zahl (t) multipliziert werden.
• Eine zentrische Streckung ist festgelegt durch ein Zentrum Z und einen Streckungsfaktor t.
Allerdings ist das Zentrum Z für unsere Belange uninteressant, da eine Änderung von Z nur
zu einer Verschiebung des Bildes führt …

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 21
Begründung:
(1) Wir begründen den Satz für dreieckige Pyramiden (siehe unten)
(2) Alle anderen Körper können wir auf diesen Spezialfall zurückführen:
Wir denken uns die Oberfläche des Körpers zerlegt in (kleine) Dreiecke mit den
Flächeninhalten n A A ,.... O alt = A + ...... + A
1 . 1
n
Verbindet man alle Eckpunkte dieser Dreiecke mit dem Zentrum Z der Streckung, so
erhält man lauter dreieckige Pyramiden mit den Volumina n V V 1 ,....,
V alt = V1
+ .... + Vn
Bei der zentrischen Streckung mit Faktor t werden die Flächeninhalte der Dreiecke
mit 2
t multipliziert, die Volumina der Pyramiden mit dem Faktor 3
t .
Also ergibt sich:
O = t . A + t . A + ..... + t . A = t ( A + A + .... + A ) = t . O
neu
neu
3
2
1
3
2
2
3
2
V = t . V + t . V + ..... + t . V = t ( V + V + .... + V ) = t . V
1
2
(1) Bei einer zentrischen Streckung mit Faktor t werden die Längen aller Strecken mit t
multipliziert, Winkel werden nicht verändert.
Die Grundfläche einer dreieckigen Pyramide besitze die
Seitenlängen a, b mit eingeschlossenem Winkelγ , die Höhe
sei h .
Dann gilt für das Volumen
1 1
Valt = . G.
h = . a.
b.
sin( γ ). h
3 6
Wenn nun alle Längen mit t multipliziert werden, so gilt für
das Volumen der gestreckten Pyramide:
1 3
V neu = . a.
t.
b.
t.
sin( γ
). h.
t = t . V
6
alt
n
n
3
2
1
1
2
2
n
n
3
2
alt
alt

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 22
In der Zeitschrift Bild der Wissenschaft erschien 1981 ein viel zitierter Beitrag über die
Konsequenzen dieses Satzes in der Biologie: „Warum die Natur keine Riesen schuf“.
Dieser Artikel ist vielfältig weiter verarbeitet worden z.B.:
http://pluslucis.univie.ac.at/PlusLucis/962/APOL.pdf

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 23

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 24
Fermi- Fragen
Diese Art von mathematischen Fragestellungen ist benannt nach dem Physiker und
Nobelpreisträger Enrico FERMI (1901-1954). Dieser wollte mit solchen Fragen Studenten zum
eigenständigen mathematischen Denken (Schätzen, Modellbilden, …) anregen. Die
meistzitierte seiner Fragen ist wohl diese:
„Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“
Das erfolgreiche Bearbeiten von FERMI-Fragen erfordert:
• nur einfache mathematische Mittel (Schlussrechnen; Prozentrechnen; Umgang mit
Einheiten; elementargeometrische Kenntnisse; …..)
• die Fähigkeit zum Schätzen bzw. zum Bilden geeigneter Mittelwerte
• die Fähigkeit zum Aufstellen begründeter Annahmen
• Umgang mit Nicht-Wissen
Bei manchen dieser Fragen kann man die notwendigen Informationen aus der Alltagserfahrung
erschließen bzw. aus dem vorhandenen Allgemeinwissen ableiten. Bei anderen müssen
Hintergründe und Daten recherchiert werden.
Manche FERMI-Fragen erlauben zunächst eine einfache, sehr grobe Antwort, können aber bei
vertiefter Beschäftigung zu anspruchsvoller Mathematik führen.
Einige Hinweise zur Beschäftigung mit FERMI-Fragen:
• Es muss für die Schüler ausführlich Gelegenheit zum Selber-Denken (alleine, in Gruppen,
zu Hause) und zur Diskussion geben!
• Wichtig: Kritische Prüfung der Antworten!
(Ist das Ergebnis plausibel? Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die benötigten
Schätzwerte geändert werden ? Können die Annahmen gerechtfertigt werden ?)
• Manche Schulen veranstalten originelle Wettbewerbe zum Lösen von FERMI-Aufgaben:
(z.B: http://www.giselagym.musin.de)
• Möglich wäre auch, Schüler selber solche Fragen erfinden zu lassen …..
(Die Welt durch die „mathematische Brille“ sehen lernen!)

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 25
Wie findet man FERMI-Fragen ?
• Zahlreiche Adressen im Internet, z.T. mit Beiträger namhafter Autoren (Herget, Leuders,
Jahnke u.a.)
• Aufmerksam Zeitung lesen und sich Fragen stellen ….
• Mit offenen Augen durchs Leben gehen ……
Hilfen zur Bearbeitung von FERMI-Aufgaben:
• Welche Informationen braucht man ?
• Kann man diese erschließen (Alltagserfahrung, Allgemeinwissen) ?
Wenn nicht: woher kann man sie bekommen (Bücher, Internet, …)?
• Wie hängt die gesuchte Antwort von diesen Informationen ab? (qualitativ, quantitativ)
• Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn man die verwendeten Daten variiert ? In welcher
Größenordnung ist das Ergebnis ?
Beispiele:
(1) Zeitungsmeldung:
Die Zahl der Verkehrstoten ist im Jahr 2006 auf den bisher niedrigsten Wert gesunken.
723 Personen kamen bei einem Verkehrsunfall ums Leben.
Wie viel Prozent der Todesfälle sind das ungefähr ?
(2) Wie viel Meter Papier befinden sich ungefähr auf einer Toilettenpapier-Rolle ?
(3) Wie viele Volksschul-LehrerInnen gibt es ungefähr in Linz ?
(4) Zeitungsmeldung:
Das erste Wochenende im August 2008 brachte Rekordsstaus auf Österreichs
Autobahnen. Vor dem Tauerntunnel war die Autoschlange zeitweise 40 km lang.
Wie viele Personen befinden sich ungefähr in einem solchen Stau?
Wenn ein solcher Stau lange dauert, muss man die betroffenen Personen wegen der
Hitze mit Wasser versorgen.
Wie viel Wasser benötigt man? Wie lange dauert es, bis alle versorgt sind ? usw…

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 26
(5) Wie viele Bücher (Romane) haben auf einer CD Platz ?
(6) Ein Artikel eines Magazin beschäftigt sich mit dem Problem der Verschwendung von
Trinkwasser. Es wird folgende Behauptung aufgestellt:
(7)
(8)
„Ein tropfender Wasserhahn kann pro Tag bis zu 100 Liter Wasser verschwenden.“
Kann das stimmen ?
Quelle: http://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/fermi_fragen.pdf
Quelle: http://did.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/fermi_fragen.pdf

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 27
Wie groß ist das Volumen eines Ostereis ?
Dies ist eine Frage, die zunächst einmal sehr einfach empirisch durch Messung beantwortet
werden kann: Man füllt etwas Wasser in einen Messbehälter, legt dann das Ei hinein und
ermittelt den dadurch entstandenen Volumenszuwachs.
Die Mathematik bietet die Möglichkeit, dieses Volumen (zumindest näherungsweise) zu
berechnen. (Hinterher ließe sich in diesem Beispiel die Qualität der Rechung überprüfen….)
Natürlich sind Hühnereier der Größe und der Form nach verschieden. Zur Berechnung des
Volumens benötigt man daher zweierlei:
• Einige relevante Abmessungen des konkreten Eis
• Einen Kurventyp, mit dem der Achsenschnitt des Eis beschrieben werden kann
Das Ei selber kann sicher in guter Näherung als Rotationskörper aufgefasst werden
Modell 1:
2c
2d
Mit Hilfe einer Schublehre lassen sich die Länge
und die Breite des dem Achsenschnitt
umgeschriebenen Rechtecks leicht ermitteln. Wir
bezeichnen sie mit 2 c bzw. 2 d .
Was die Modellierung der Form des Eis betrifft,
bieten sich verschiedene Möglichkeiten an:
Wir stellen den Achsenschnitt (kurz: das Ei) dar durch einen Halbkreis und eine Halbellipse.
Kreis: Radius d Ellipse: Achsenlängen a : = 2c
− d b : = d
Wenn man die Volumsformeln für Kugel und Ellipsoid bereits zur Verfügung hat, kann man
das Eivolumen sofort berechnen:
3
2
3
2
2
2
2π
. d 2π
. b . a 2π
. d + 2π
. d .( 2c
− d ) 2π
. d . 2c
4π
. c.
d
V = + =
= =
3 3
3
3 3
Das ist genau die Formel für das Volumen des Ellipsoids mit den Achsenlängen c und d .
(Natürlich können die beiden Teilvolumina in üblicher Weise mit Hilfe von Integralen
berechnet werden; das soll hier nicht vorgeführt werden.)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 28
Modell 2:
Eine Ellipse entsteht durch Stauchung eines Kreises mit einem Faktor k < 1,
d.h.: jeder
Funktionswert des Kreises wird mit demselben Faktor k multipliziert. ( k ist das Verhältnis
der Längen von Nebenachse und Hauptachse der Ellipse.)
Eine geeignete „Eifunktion“ kann erzeugt werden, indem man die Funktionswerte eines
(Halb)kreises mit Faktoren multipliziert, die „von links nach rechts“ kleiner werden …
Als Ausgangsobjekt wählen wir einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius c .
d
d
f ( x)
: = c²
− x²
k ( x)
: = − r.
x e( x)
: = f ( x).
k(
x)
= c²
− x²
. ( − r.
x)
c
c
Mit dem Parameter r kann nun die Form des Eis verändert werden. ( r = 0 ergibt eine
Ellipse)
Das lädt zum Experimentieren ein …
Konkretes Beispiel:
Bei einem Ei bestimmte ich mit Hilfe einer Schublehre die Parameter: c = 2,
7 cm; d = 1,
9
cm.
• Ermittle durch Probieren einen passenden Parameter r !
Es zeigt sich, dass etwa r = 0,
05 ein geeigneter Wert ist.
• Zeige: Das Maximum der Funktion e liegt
nicht bei x = 0 , sondern etwas links davon!
Dies sieht man allgemein aus: e ′
( 0)
= −c.
r

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 29
• Berechne das Volumen!
Die Berechnung des Volumens erfolgt in der gewohnten Weise (wobei das auftretende
Integral auch elementar berechnet werden könnte, da der Integrand eine Polynomfunktion
4.Grades ist):
Durch eine allgemeine Rechnung sieht man, dass das Ergebnis (für r ≠ 0 ) etwas größer
ist als in Modell 1:
5
4π
. cd ² 2 4π
. c
V = + r .
3 25
(Der Unterschied beträgt in unserem Beispiel nur ca. 0,3 cm³!)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 30
Durchhang eines Seils
Aufgabe 1:
Zwischen zwei gleich hohen Masten, die 10 m voneinander entfernt sind, wird ein Seil
aufgehängt. Die Länge des Seils beträgt 11 m.
Wie weit hängt das Seil durch ?
Eine erste, sehr grobe Antwort erhält man durch folgende Überlegung:
(Man könnte diese Form der Seilkurve realisieren, indem man auf den Mittelpunkt des Seils
eine große Kraft wirken lässt ….)
Man erhält mit dem Satz von Pythagoras: d = 5, 5²
− 5²
≈ 2,
29
Dieser Wert ist erfahrungsgemäß für die meisten Menschen überraschend groß. In
Wirklichkeit wird der Durchhang allerdings etwas kleiner sein ……
Durch welchen Kurventyp lässt sich die Seilkurve beschreiben ?
Aufgrund der vorhandenen Anschauung wird man es wohl mit einer Parabel versuchen.
(Physikalische Gründe für diese Modellbildung stehen hier zunächst nicht zur Verfügung.)
Aus Symmetriegründen führen wir ein Koordinatensystem so ein, dass die beiden
Aufhängepunkte P und Q folgende Koordinaten besitzen:
⎛− 5⎞
P = ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
⎛5⎞
Q = ⎜ ⎟
⎝0⎠
Die Seilkurve ist dann der Graph der Funktion
f (
x)
= ax²
− b

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 31
die zunächst die beiden Parameter a und b enthält. Wegen f ( −5) = f ( 5)
= 0 erhält man die
Bedingung: b = 25a
, sodass die Seilkurve schließlich durch die Funktion
beschrieben wird.
f ( x)
= a.(
x²
−
Nun ist der Parameter a so zu bestimmen, dass die Länge des Bogens zwischen P und Q 11
beträgt.
Wie erhält man die Länge eines Kurvenbogens ?
Für eine exakte Βerechnung würde man Integral- und Differentialrechnung benötigen. Man
kann aber die Länge eines Kurvenbogens in guter Näherung mit Hilfe der Länge eines
Streckenzugs approximieren. Dies ist hier u.a. auch deswegen vertretbar, da ja die
Verwendung einer Parabel als Seilkurve bereits zu einer vereinfachten Betrachtung führt.
Nach Pythagoras gilt:
∆
2 2
s = ∆x
+ ∆
y
2
Wir wählen etwa ∆x = 1 (und approximieren damit den Parabelbogen durch 10 Strecken).
∆ y ist dann jeweils die Differenz zweier Funktionswerte an aufeinander folgenden
ganzzahligen Stellen)
Die Länge des Parabelbogens hängt in unserem Problem allerdings vom unbekannten
Parameter a ab; wir schreiben dafür L (a)
. Leider können wir keine einfache Formel für
L (a)
hinschreiben. Jene gesucht Zahl a , für die gilt L ( a)
= 11 , kann also nicht durch
algebraisches Lösen einer Gleichung gefunden werden.
Wir gehen daher experimentell vor:
Wir erstellen eine Tabelle, in der die Länge eines Parabelbogens durch die Punkte P und Q
näherungsweise berechnet wird, und zwar in Abhängigkeit vom Parameter a . Dann variieren
wir a so, dass sich ergibt: L
( a)
= 11
25)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 32
Parabel: a= 0,081
x f(x) ∆ s
-5 0,0000
-4 -0,7290 1,2375
-3 -1,2960 1,1496
-2 -1,7010 1,0789
-1 -1,9440 1,0291
0 -2,0250 1,0033
1 -1,9440 1,0033
2 -1,7010 1,0291
3 -1,2960 1,0789
4 -0,7290 1,1496
5 0,0000 1,2375
Länge 10,9967
Man erhält durch Probieren: a ≈ 0,
081 Damit folgt weiter: b ≈ 2,
025
Der Durchhang des Seil ist aus Symmetriegründen genau in der Mitte zwischen P und Q zu
messen, also: d = f ( 0)
≈ 2,
025
Aufgabe zur weiteren Untersuchung:
Wie ändert sich der Durchhang, wenn die Länge des Seils verändert wird ?
Es könnte eine Tabelle erstellt werden, in der zu verschiedenen vorgegebenen Seillängen L
der Durchhang d eingetragen wird…..
Hinweis: Die Modellierung der Seilkurve durch eine Parabel ist umso problematischer, je
größer die Seillänge im Verhältnis zum Abstand der Aufhängepunkte ist!

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 33
Aufgabe 2:
Zwischen zwei Masten, die 10 m voneinander entfernt sind, wird ein 11 m langes Seil
aufgehängt. Der eine Mast ist 5 m hoch, der andere 8 m. Wie weit hängt das Seil durch ?
Natürlich kann dieses Problem wie das letzte gelöst werden.
• Man führt ein geeignetes Koordinatensystem ein und bestimmt darin die Koordinaten der
Aufhängepunkt P und Q
• Man bestimmt den Funktionsterm einer quadratischen Funktion, deren Graph durch P und
Q geht. Dieser Funktionsterm enthält noch einen Parameter.
• Man bestimmt die Länge des Parabelbogens in Abhängigkeit vom Parameter
näherungsweise über einen Polygonzug und variiert den Parameter, sodass der Bogen die
Länge 11 besitzt.
2
Ansatz: f ( x)
= ax + bx mit f ( 10)
= 3,
d.h.: 100 a + 10b
= 3
Setzt man ein, so erhält man die Funktion
2
f ( x)
= ax + ( −10a
+ 0,
3)
x
Der Aufbau der Tabelle geschieht genau wie in Problem 1. Man erhält durch Anpassen des
Parameters a den folgenden Graph:
4
3
2
1
0
0
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-2
-3
-4

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 34
2
Ergebnis: a ≈ 0,
064.
Daraus folgt: b ≈ −0,
34 f ( x)
= 0,
064x
− 0,
34x
Was ist nun hier unter dem Durchhang zu verstehen ? Das muss präzisiert werden.
• Der tiefste Punkt des Seils ist an jener Stelle, an der gilt: f ′ ( x)
= 0
Man erhält: x ≈ 2,
66 f ( 2,
66)
≈ −0,
45
Damit ist im gewählten Koordinatensystem der tiefste Punkt lokalisiert. Er befindet sich
von P aus gesehen etwa 45 cm unterhalb der Horizontalen.
• Unter dem Durchhang versteht man üblicherweise den maximalen Höhenunterschied
zwischen Seilkurve und geradliniger Verbindung der Aufhängepunkte.
Der Durchhang ist also dort zu messen, wo die Tangente an die Seilkurve parallel zur
Geraden durch P und Q ist. Dass dies genau in der Mitte des Intervalls der Fall ist, kann
einfach begründet werden:
Sei g (x)
jene lineare Funktion, deren Graph durch P und Q geht. Dann gibt die Funktion
d( x)
: = g(
x)
− f ( x)
an jeder Stelle x den Höhenunterschied zwischen Seilkurve und
geradliniger Verbindung an.
d(x) ist eine quadratische Funktion mit d ( 0)
= d(
10)
= 0 . Aus Symmetriegründen
nimmt sie ihr Maximum an der Stelle x = 5 an.
Also ergibt sich: Durchhang d = d(
5)
≈ 1,
6
Eine algebraische Lösungsvariante:
f ( x)
= a.(
x
2 −
25)
In Abhängigkeit vom Parameter a
ergeben sich folgende Funktionswerte:
f ( 0)
= −25a
f ( 1)
= −24a
f ( 2)
= −21a
f ( 3)
= −16a
f ( 4)
= −9a
f ( 5)
= 0
Nun ist a so zu bestimmen, dass gilt:
a
2
2
2
+ 1 + 9a
+ 1 + 25a
+ 1 + 49a
+ 1 + 81a
2
2
+ 1
Diese Gleichung kann z.B. mit DERIVE gelöst werden: a
≈ 0,
081
=
5,
5

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 35
Anhang 1: Exakte Berechnung der Länge eines Parabelbogens.
2
f ( x)
= a(
x − 25)
f ′ ( x)
= 2ax
5
2
L( a)
= 2.
∫ ( f ′ ( x))
+ 1 dx = 2.
∫
0
5
0
4a
2
x
2
+ 1 dx
Dieses Integral kann nicht elementar bestimmt werden. DERIVE liefert:
2
ln( 100a
+ 1 + 10a)
L ( a)
= + 5.
100a
2a
2
+ 1
Die Gleichung L ( a)
= 11 kann nur numerisch gelöst werden.
DERIVE liefert: a ≈ 0,
08077
Dies ist in sehr guter Übereinstimmung mit dem vorher gefundenen Wert!
Anhang 2: Modellierung durch eine Kettenlinie
Um zu einem physikalisch begründeten Modell zu kommen, geht man im einfachsten Fall von
der idealisierenden Annahme aus, dass das Seil nur unter dem Einfluss der Schwerkraft steht
und keine „inneren Kräfte“ (wie Biegesteifigkeit) auftreten. Man denkt dabei am besten an
eine Kette, deren Glieder völlig frei beweglich sind.
Aus der Analyse der in jenem Punkt der Kette wirkenden Kräfte ergibt sich mit einigem
mathematischen Aufwand, dass die Form einer frei hängenden Kette durch eine so genannte
Kettenlinie beschrieben werden kann.
In Problem 1 wäre der folgende Ansatz zu machen:
1
1 x −x
f ( x)
= . cosh( a.
x)
− b
mit cosh( x)
: = ( e + e )
a
2
1
Wegen f ( −5) = f ( 5)
= 0 ergibt sich: b = . cosh( 5a)
a
Also hängt f (x)
wieder von einem einzigen Parameter ab, und dieser kann wie oben
näherungsweise durch Probieren mit EXCEL bestimmt werden.
Die Länge der Kettenlinie kann auch exakt mit einem Integral berechnet werden:
f ′ ( x)
= sinh( a.
x)
5
2
L( a)
=
2.
∫ 1 + sinh ( a.
x)
dx = 2.
∫ cosh( a.
x)
dx
0
5
0
=
2
. sinh( 5a)
a

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 36
Nun ist die Gleichung L ( a)
= 11 zu lösen. Das kann allerdings nur numerisch geschehen.
DERIVE liefert: a ≈ 0,
15268 und damit b ≈ 8,
55265
Für den Durchhang erhält man schließlich: d = f ( 0)
≈ 2,
003
Der Unterschied zum Parabelmodell ist also sehr klein!
Anhang 3:
Die hier durchgeführten Berechnungen sind natürlich einer empirischen Überprüfung
zugänglich. Das folgende Bild zeigt eine einfache Realisierung (mit einer Kette, die an zwei
Nägeln aufgehängt ist …)
In der Messung ist der Unterschied des Durchhangs zwischen Parabel und Kettenlinie nicht
feststellbar ….

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 37
Fläche eines Sees mit Google Earth und Geogebra
Vorgangsweise:
1. Erstellung eines geeigneten Bildausschnitts mit Google Earth.
2. Festlegung einer „Einheitsstrecke“ (etwa: 1 km) mit dem Werkzeug „Lineal“
3. Speichern des Bildes
4. Einfügen des Bildes in Geogebra
5. Konstruktion eines Vielecks, das den Konturen des Sees entspricht
6. Bestimmung des Flächeninhalts (Werkzeug in Geogebra!)
7. Messung der Länge der Einheitsstrecke in Geogebra
8. Umrechnung der Einheiten
Umrechnung der Einheiten:
2,02 E ≅ 1 km E ≅ 0,495 km E² ≅ 0,245 km²
Damit ergibt sich als Flächeninhalt: A = 57,95 . 0,245 = 14,2 km²

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 38
Wie kann der Flächeninhalt eines Polygons effizient berechnet werden ?
Satz:
Sind n P P P , , , 1 2 K die Eckpunkte eines einfachen(!) Polygons P mit positivem Umlaufsinn, so
gilt für seinen Flächeninhalt die Formel
a (
n
= ∑
i=
1
i Pi
+ 1 mit 1 : P1
Pn + =
(*) P)
m(
P , )
1
Dabei ist m( A,
B)
: = ( a1.
b2
− a2.
b1
)
2
Die Berechnung des Flächeninhalts eines Polygons (ob konvex oder nicht!) kann also nach
einem sehr einfachen Schema durchgeführt werden:
Beispiele:

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 39
Beweis (anschauliche Version):
Ein Polygon heißt einfach, wenn seine Seiten einander nur in Eckpunkten schneiden.
Jedes einfache Polygon kann trianguliert (d.h. in Dreiecke zerlegt) werden.
Wir beweisen (*) in zwei Schritten:
(1) Die Formel gilt für Dreiecke.
(2) Beim Hinzufügen eines Dreiecks zu einem Polygon bleibt die Formel gültig.
Zu (1):
(a) Der Ursprung O ist einer der Eckpunkte:
(b) Der Ursprung O liegt im Inneren des Dreiecks:
(c) Der Ursprung O liegt außerhalb des Dreiecks:
m( A,
B)
gibt den orientierten Flächeninhalt des
Dreiecks OAB an
Das kann man auf viele Arten elementar beweisen.
Insbesondere gilt: m( B,
A)
= −m(
A,
B)
Wegen m ( O,
A)
= m(
B,
O)
= 0 gilt die Formel (*) .
Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist die Summe
der Flächeninhalte der Dreiecke OAB, OBC und
OCA, welche alle positiv orientiert sind.
Also gilt: a ( ABC)
= m(
A,
B)
+ m(
B,
C)
+ m(
C,
A)
Aufgrund der Orientierung der Dreiecke gilt:
m( A,
B)
= −a(
OAB)
m ( B,
C)
= a(
OBC)
m( C,
A)
= −a(
OAC)
Aus der Zeichnung ist ersichtlich:
a( ABC)
= a(
OBC)
− a(
OAB)
− a(
OAC)
also: a ( ABC)
=
m(
A,
B)
+ m(
B,
C)
+ m(
C,
A)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 40
zu (2):
Sei etwa Palt = ABCD , und es werde über der Seite
CD das Dreieck ∆ = CED nach außen angefügt.
Laut Voraussetzung gilt a( Palt
) = m(
A,
B)
+ m(
B,
C)
+ m(
C,
D)
+ m(
D,
A)
Wegen (1) gilt außerdem: a ( ∆ ) = m(
C,
E)
+ m(
E,
D)
+ m(
D,
C)
Da a( Pneu
) = a(
Palt
) + a(
∆)
und m( D,
C)
= −m(
C,
D)
erhält man: a( Pneu
) = m(
A,
B)
+ m(
B,
C)
+ m(
C,
E)
+ m(
E,
D)
+ m(
D,
A)
und das ist (*) für das neue Polygon
Zum Beweis von (1 a) (elementargeometrisch):
Von einer Rechtecksfläche werden die Flächeninhalte von 3
rechtwinkeligen Dreiecken abgezogen.
1 1 1
1
a( OAB)
= a1.
b2
− . a1.
a2
− . b1.
b2
− .( a1
− b1).(
b2
− a2
) = ….. = .( a1. b2
− a2.
b1
)
2 2 2
2
Achtung:
Es ist eine Fallunterscheidung bezüglich der Lage der Punkte A und B vorzunehmen!
Eine Analyse zeigt:
m( A,
B)
gibt den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks OAB an

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 41
Kurvenradius einer Straße – mit Google Earth und Geogebra
Wenn ein Auto in einer Kurve fährt, ist es einer Zentrifugalkraft F ausgesetzt, für die gilt:
m.
v
F =
r
2
m … Masse des Autos v …. Geschwindigkeit r …. Kurvenradius
Straßenkurven sind meist keine Kreisbögen, sodass es „den Kurvenradius“ eigentlich nicht
gibt. Man kann aber den Kurvenverlauf „lokal“ durch Kreisbögen approximieren:
• Wähle drei nahe beieinander liegende Punkte (A,B,C) auf der Kurve
• Konstruiere (mit Hilfe der Streckensymmetralen) den Mittelpunkt des Kreises, der durch
diese drei Punkte geht. (Dieser existiert, falls A,B,C nicht auf einer Geraden liegen.)
Dies lässt sich mit Google-Earth und Geogebra und sehr einfach realisieren:
1. Erstellung eines geeigneten Bildausschnitts mit Google Earth.
2. Festlegung einer „Einheitsstrecke“ (etwa: 500 m) mit dem Werkzeug „Lineal“
3. Speichern des Bildes
4. Einfügen des Bildes in Geogebra
5. Konstruktion von approximierenden Kreisen
6. Bestimmung der Kreisradien
7. Messung der Länge der Einheitsstrecke in Geogebra
8. Umrechnung der Einheiten
Als Beispiel werden die beiden Autobahnauffahrten auf die Westautobahn bei Linz
untersucht. Aus Erfahrung wissen viele Autofahrer, dass man Richtung Salzburg schneller
unterwegs sein kann als Richtung Wien …
Zunächst wählt man drei Punkte A, B, C auf der Auffahrt Richtung Salzburg und konstruiert
den Mittelpunkt D des Kreises durch diese Punkte. Zeichnet man den Kreis ein, so sieht man,
dass dieser sehr gut den Straßenverlauf approximiert.
Mit Hilfe der Vergleichsstrecke ergibt sich: 4, 1 E ≅ 500 m , also: E ≅ 122 m
Damit erhält man für die beiden zu vergleichenden Kurvenradien: r 1 ≈ 700 , r2 ≈ 340 m
Natürlich erhält jeder Schüler etwas andere Werte, aber die (relativen) Abweichungen sind im
Allgemeinen eher gering.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 42
Welche Zentrifugalkraft wirkt auf ein Auto, das mit 100 km/h auf der Auffahrt Richtung
Salzburg unterwegs ist ?
Setzt man: m = 1500 kg v = 28 m s r = 700 m
so erhält man: F ≈ 1700 N
Auf der Auffahrt Richtung Wien ist die Zentrifugalkraft etwa doppelt so groß …

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 43
Page -Rank –Algorithmus von Google
Jeder von uns ist gewohnt, im Internet mittels einer Suchmaschine zu suchen. Die heute bei
weitem am meisten verwendete Suchmaschine ist Google.
Was macht eine Suchmaschine ?
(1) Das Internet wird laufende durchforstet (von „spidern“ bzw. „crawlern“). Dabei
werden alle gefundenen Webseiten in Datenbanken gespeichert und mit einem
Suchindex versehen („Momentaufnahme des Web“)
(2) Zu einer Suchanfrage wird (mit Hilfe des Index) eine Trefferliste erstellt, die häufig
Tausende von Adressen enthält.
(3) Die Treffer werden in einer geeigneten Reihenfolge präsentiert. Der Suchende hätte
natürlich gerne die für ihn relevanten Seiten ganz am Anfang der Liste …..
Hier soll (3) näher beleuchtet und das von Google verwendete Verfahren im Prinzip
dargestellt werden.
Wie kommt man zu einer geeigneten Reihenfolge ?
Was ist überhaupt eine geeignete Reihenfolge ?
Welche Seiten sind für den Suchenden relevant ?
Klar ist: Diese Frage kann nicht inhaltlich (d.h. durch eine Bewertung des Seiteninhalts)
entschieden werden!
Verfahren von Google:
Jeder Internetseite wird (unabhängig von jeder Suchanfrage!) eine Bewertung ihrer Relevanz
zugeordnet (ein „Gewicht“, das man „Page-Rank“ nennt). Nach einer Suchanfrage werden die
Elemente der Trefferliste nach ihrem Page-Rank geordnet.
(Das Verfahren zur Berechnung der Page-Ranks wurde 1998 von BRIN und PAGE an der
Standford University entwickelt, später allerdings weiter verfeinert. Das von Google heute
verwendete Verfahren wird als Betriebsgeheimnis gehütet…. )
Grundidee des Page-Rank-Verfahrens:
Man kann sich das gesamte Internet (zu einem festen Zeitpunkt) vorstellen als einen Knoten-
Kanten-Graph:
• Webseiten sind die Knoten
• Links zwischen den Webseiten sind gerichtete Kanten.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 44
Ein „Mini-Web“ könnte etwa so aussehen:
1
Nun soll jeder Seite ein Gewicht (Page-Rank) zugeordnet werden, allerdings ohne Bezug zum
Inhalt der Seite. Einziger Maßstab ist somit die Link-Struktur….
Idee: Ein Link ist so etwas wie eine Empfehlung einer Seite durch eine andere.
Von daher sind folgende Grundsätze plausibel:
(1) Das Gewicht einer Seite ist umso größer, je mehr Links auf sie verweisen.
(2) Links, die von Seiten mit großem Gewicht ausgehen, zählen mehr, andere weniger.
(3) Je mehr Links von einer Seite ausgehen, umso weniger sind diese wert.
Insgesamt ergibt sich folgende Grundvorstellung:
Jede Seite gibt ihr Gewicht – gleichmäßig aufgeteilt - über Links an andere Seiten weiter.
In unserem Mini-Web sieht das so aus:
X1
1
3
1
1
3
1
3
2
3
5
X2
X3
X5
1
2
1
1
2
1
2
4
1
2
X4

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 45
Zur Interpretation dieses Graphen:
Seite 1 gibt sein Gewicht zu je einem Drittel weiter an die Seiten 2, 3 und 5.
Seite 2 gibt ihr Gewicht je zur Hälfte weiter an die Seiten 3 und 4.
……
Umgekehrt:
Das Gewicht der Seite 3 setzt sich zusammen aus jenen Werten, die sie von den Seiten 1, 2
und 4 erhält.
…….
Zur Berechnung der Gewichte x 1 ,......, x5
sind also folgende Bedingungen zu erfüllen:
(1) x 1 = 1. x5
x =
1
. x
3
x 3 =
1 1 1
. x1
+ . x2
+ . x
3 2 2
x 4 =
1
. x
2
x 5 =
1 1
. x1
+ 1.
x3
+ . x
3 2
(2) 2
1
(3) 4
(4) 2
(5) 4
Zu lösen ist also ein lineares Gleichungssystem mit 5 Variablen – was in diesem Beispiel
recht einfach ist.
Allerdings besitzt dieses Gleichungssystem keine eindeutige Lösung; der Rang des Systems
ist 4.
Setzt man etwa: x 1 = 1
so erhält man dazu:
1
x 2 = ;
3
7
x3
= ;
12
1
x4
= ;
6
x5
= 1
Alle anderen Lösungen des Gleichungssystems sind Vielfache dieser Lösung.
Aus Gründen, die später einsichtig werden, könnte man die Gewichte so normieren, dass ihre
Summe den Wert 1 besitzt.
In unserem Beispiel gilt:
x
1
+ x + x + x + x
Durch Division erhält man die normierten Werte:
y 1 ≈ 0,
3243
y 2 ≈ 0,
1081
3 0,
1892 ≈ y
y 4 ≈ 0,
0541
5 0,
3243 ≈ y
2
Die Rangfolge der Seiten unseres Mini-Webs lautet also: 1 und 5; 3; 2; 4
3
4
5
=
37
12

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 46
Anmerkung:
In Matrizen-Schreibweise sieht das obige Gleichungssystem so aus:
⎛ 0 0 0 0 1⎞
⎜ 1
⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎜ 3
⎟
⎜ 1 1 1
0 0⎟
X = ⎜ 3 2 2 ⎟ . X kurz: X = A.
X mit nebenstehender Matrix A
⎜ 1 ⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎜ 2 ⎟
⎜
1 1
0 1 0⎟
⎝ 3 2 ⎠
Alle Elemente der Matrix A liegen zwischen 0 und 1, und alle Spaltensummen sind gleich 1.
Formale Definition des Page-Ranks:
Sei N die Anzahl der Seiten.
Für jedes n ∈ { 1,....,
N}
sei O (n)
die Menge der Seiten, zu denen ein Link von n ausgeht
I (n)
die Menge der Seiten, von denen aus ein Link nach n
führt.
1
Dann gilt: x n = ∑ . xk
O(
k)
k∈I
( n)
Lösung der auftretenden Gleichungssysteme
Die Berechnung der Page-Ranks für die Seiten des Webs führt auf das Lösen eines riesigen
linearen Gleichungssystems; es hat so viele Variable wie es Seiten gibt. Es ist daher völlig
aussichtslos, hier etwa mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren arbeiten zu wollen.
Eine Möglichkeit, sich zumindest eine Näherungslösung zu verschaffen, besteht darin, iterativ
vorzugehen:
• Man beginnt mit einer einfachen „Anfangsverteilung“ der Gewichte;
im Beispiel etwa mit
x = x = x = x = x = 0,
2
1
2
3
4
5
• In jedem Iterationsschritt setzt man die bisher gültigen Werte auf der rechten Seite des
Gleichungssystems ein und erhält damit neue Werte.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 47
x
′
=
1. x
(1) 1
5
′
x =
1
. x
3
′
x 3 =
1 1 1
. x1
+ . x2
+ . x
3 2 2
′
x 4 =
1
. x
2
′
x 5 =
1 1
. x1
+ 1.
x3
+ . x
3 2
(2) 2
1
(3) 4
(4) 2
(5) 4
In Matrizen lässt sich die Iteration so schreiben:
⎛0,
2⎞
⎜ ⎟
⎜0,
2⎟
= ⎜0,
2⎟
⎜ ⎟
⎜0,
2⎟
⎜ ⎟
⎝0,
2⎠
X 0
1 A.X
0
X = usw. allgemein: X n+
A.
X n
In unserem Beispiel sieht man, dass man relativ schnell gute Näherungslösungen erhält:
Ob bzw. unter welchen Voraussetzungen die Konvergenz gegen eine Lösung des Gleichungssystems
gesichert ist, wird später thematisiert.
1 =

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 48
Ein Zufalls-Surfer …..
Wenn man die Gewichte so normiert, dass ihre Summe 1 ergibt, ist folgende Interpretation
möglich:
Ein Surfer startet auf einer Seite, folgt zufällig einem Link auf eine andere Seite, folgt von
dort aus wieder zufällig einem Link usw. In jedem Zeitschritt führt der Surfer genau einen
solchen „Seitenwechsel“ durch. Wo befindet sich der Surfer „nach sehr langer Zeit“?
Es gilt: x n ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Surfer „nach sehr langer Zeit“ auf der
Seite n befindet.
Hintergrund:
Es handelt sich hier um eine „zufällige Irrfahrt“ auf dem Graphen, der das Web repräsentiert.
Diese Irrfahrt ist eine Markov-Kette mit der Übergangsmatrix A und der Grenzverteilung
x ,....., x )
( 1 N
Probleme, die auftreten können:
(1) Seiten, von denen kein Link ausgeht. (2) Schleifen
Zu (1):
1
2
• Die Interpretation des Zufalls-Surfers ist nicht definiert !
• Das zu lösende Gleichungssystem besitzt nur die triviale Lösung x = x = x = 0
1
x = x
2
1
x 2 = . x
2
x = x + x
(1) 1 . 2
(2) 1
(3) 3 1 2
Das System bestehend aus (1) und (2) enthält die Variable x 3 nicht. Es besitzt (als
homogenes 2×2 Gleichungssystem) die Lösung x 1 = x2
= 0 . Gleichung (3) liefert
dann x 0 .
3 =
3
3
1
2
1
2
3

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 49
Zu (2):
• Der Zufalls-Surfer wird irgendwann in diese Schleife gelangen und springt dann
zwischen den beiden Seiten hin und her ..
• Das zu lösende Gleichungssystem lautet:
x 1 = c.
x + x
(1) 3 2
(2) x 2 = x1
Es folgt sofort: 3 0 = x ; x 1 = x 2 kann beliebig gewählt werden.
Das entspricht nicht den Intentionen unserer Webseiten-Bewertung: auch wenn die
Seite 3 noch so gut im Web verlinkt ist, bewirkt die Schleife aus 1 und 2, dass die
Seite 3 das Gewicht 0 erhält!
Um die angeführten Probleme zu beseitigen, führt man zwei einfache Modifikationen des
Grundkonzepts durch:
Zu (1):
Seiten, von denen kein Link ausgeht, werden zunächst weggelassen. Für das verbleibende
Web werden die Gewichte iterativ ermittelt, und am Ende werden von dieser Lösung aus die
Gewichte der weggelassenen Seiten berechnet.
Durch diese Vorgangsweise wird die ursprüngliche Definition des Page-Rank geringfügig
verletzt, da ja bei einigen Seiten die Anzahl der von ihnen ausgehenden Links verkleinert
wird….
Zu (2):
Die Modifikation des Systems lässt sich am besten an der Interpretation des Zufalls-Surfers
erläutern:
Um nicht in einer Schleife „gefangen“ zu werden, folgt der Surfer „ab und zu“ nicht der
Linkstruktur des Webs, sondern wählt völlig zufällig irgendeine Seite …..
Dieses „Ab und zu“ wird gesteuert durch einen Parameter α ∈[
0,
1]
, der interpretiert werden
kann als Wahrscheinlichkeit, dass der Surfer bei einem Seitenwechsel einem Link folgt.
(In der Praxis wird gerne ein –willkürlich gewählter!- Wert von etwa 0,85 gewählt.)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 50
Neue Definition des Page-Ranks:
1
1
α. . x + ( 1−
α).
O(
k)
N
xn = ∑ k
k∈I
( n)
Wahrscheinlichkeit,
über einen Link zur
Seite n zu gelangen
Im Fall α = 1 erhält man die bisherige Definition des Page-Ranks.
Der Wert α = 0 entspricht der Situation, dass der Surfer jedes Mal eine völlig zufällige Seite
auswählt. Klarerweise erhalten dabei alle Seite das selbe Gewicht.
Durch diese Modifikation wird übrigens die Konvergenz des Iterationsverfahrens gegen eine
Lösung des Gleichungssystems erzwungen. Dies folgt z.B. aus einem zentralen Satz über
Markov-Ketten.
Neue Berechnung im Ausgangsbeispiel:
Das zu lösende Gleichungssystem heißt nun (mit d = 0,
85)
:
(1) x 1 = 0, 15.
0,
2 + 0,
85.
1.
x5
Wahrscheinlichkeit,
durch Zufallswahl zur
Seite n zu gelangen
(2) x 2 = 0, 15.
0,
2 +
1
0,
85.
. x1
3
(3) x 3 = 0, 15.
0,
2 +
1 1 1
0,
85.(
. x1
+ . x2
+ . x4
)
3 2 2
(4) x 4 = 0, 15.
0,
2 +
1
0,
85.
. x2
2
(5) x 5 = 0, 15.
0,
2 +
1 1
0,
85.(
. x1
+ 1.
x3
+ . x4
)
3 2
Man könnte das Zustandekommen des Gleichungssystems auch so interpretieren:
Jede Seite bekommt zunächst „für ihre Existenz“ einen kleinen Grundbetrag von hier 0,03.
Dazu kommt dann ein – im Verhältnis zur ursprünglichen Definition etwas gedämpfter –
Betrag, den die Seite von den auf sie verweisenden Seiten erhält.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 51
Weitere Beispiele:
Lösung mit Hilfe von Derive:
1
2 3
6 5
Wieder hat das aufzustellende lineare Gleichungssystem (6 Gleichungen mit 6 Variablen)
unendlich viele Lösungen (der Rang des Gleichungssystems ist 5).
Fügt man die Normierungsbedingung (Summe der PageRank = 1) hinzu, besitzt das
Gleichungssystem eine eindeutige Lösung:
Die Reihung der Seiten nach ihrem PageRank sieht also folgendermaßen aus: 5, 4, 2, 3, 1, 6
4

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 52
Ändert man einen einzigen Pfeil in dem Knoten-Kanten-Graph (aus dem Pfeil von 6 nach 5
wird ein Pfeil von 5 nach 6), so tritt eine völlig andere Situation auf:
1
2 3
6 5
Das auftretende lineare Gleichungssystem (6 Gleichungen mit 6 Variablen) besitzt nur die
triviale Lösung (alle Variablen haben den Wert 0), wie man mit Derive schnell findet. Dies ist
der Fall, weil von Seite 6 kein Link ausgeht.
Nach der erweiterten Definition des PageRank müssen also die Seite 6 und die auf sie
verweisenden Links zunächst weggelassen werden. Zunächst ist also ein Gleichungssystem
mit 5 Gleichungen in 5 Variablen zu lösen. In einem zweiten Schritt wird dann x 6 berechnet
mit Hilfe der Gleichung:
1 1
x 6 = . x1
+ . x5
3 4
4

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 53
Computer-Tomographie
Röntgenstrahlen können das menschliche Gewebe durchdringen. Je nach der Art des Gewebes
nimmt die Intensität des Strahls dabei mehr oder weniger stark ab. Auf dem Röntgenfilm
entstehen daher hellere und dunklere Stellen – je nachdem, durch welches Gewebe der
betreffende Strahl gedrungen ist.
Beim klassischen Röntgenverfahren entsteht eine Projektion des durchleuchteten Körpers auf
eine Ebene. Auf einem Röntgenbild überlappen einander also die Bilder von übereinander
liegenden Organen.
Die Computer-Tomographie liefert dagegen Bilder, die ebene Schnitte durch den Körper
darstellen. Im Unterschied zum klassischen Röntgenbild sind dies aber keine „Fotographien“,
sondern mit Hilfe des Computers errechnete Bilder!
Die dazu benötigte Mathematik wurde lange vor der Erfindung der ersten Computer im Jahre
1917 vom österreichischen Mathematik Johann RADON entwickelt.
Die erste CT-Aufnahme an einem Menschen wurde 1971 durchgeführt. Der Physiker
CORMACK und der Elektrotechniker HOUNSFIELD erhielten dafür gemeinsam 1979 den
Nobelpreis für Medizin.
Heute wird anstelle der klassischen Computer-Tomographie häufig ein anderes Verfahren
verwendet: die Magnetresonanz- oder Kernspin-Tomographie (MR). Diese kommt ohne
schädliche Röntgenstrahlung aus.
Grundsituation:
Vom Sender S aus werden Röntgenstrahlen (einer bestimmten Eingangsintensität I0) durch
das Objekt geschickt, und im Empfänger E werden die Ausgangsintensitäten IE gemessen.
Dann wird der Sender weitergedreht und der Vorgang wiederholt.
Aus der Gesamtmenge aller gemessenen Ausgangsintensitäten wird im Computer das Bild
errechnet.
(512 * 512 Bildpunkte)

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 54
Physikalische Grundlagen:
Beim Durchgang eines Strahls durch ein Medium nimmt
die Intensität mit der Eindringtiefe exponentiell ab:
I t)
= I . e
( 0
−λt
λ ist dabei eine Konstante, die von der Materialdichte
abhängt („Absorptionskoeffizient“)
Beim Durchgang eines Strahls durch eine Schicht der Dicke d durch ein Material mit
Absorptionskoeffizient λ reduziert sich die Intensität also auf den Wert
I
E
−λ.
d
= I 0 . e = I 0.
y
(dabei ist y ein Faktor, der von d und λ abhängt und der interpretiert werden kann als
Anteil, der beim Durchgang durch diese Schicht erhalten bleibt)
Geht ein Strahl durch mehrere hintereinander liegende
Schichten gleicher Dicke, so ergibt sich:
I = I y . y .... y
E
0.
1 2
wobei die Faktoren n y y 1 ,....., die Informationen über die
Absorptionskoeffizienten in den einzelnen Schichten
enthalten.
Vereinfachtes Modell der Tomographie:
Wir stellen uns folgendes vor:
• Über das Objekt ist ein feiner Raster von Quadraten
gelegt. Hinterher entspricht jedes Rasterquadrat
einem Bildpunkt (pixel).
• Innerhalb jedes Rasterquadrats besitzt das Objekt eine
einheitliche Massendichte und damit einen festen
Faktor y.
n

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 55
Kennt man den „Weg“ eines Strahls durch den Raster, so kann man ausgehend von I0
seine Ausgangsintensität IE berechnen,
z.B.: I E = I 0 . y6.
y7.
y8.
y9.
y10
• Wir vernachlässigen (grobe Vereinfachung!) die Länge des Weges innerhalb eines
Quadrats und fragen nur, ob der Strahl das Rasterquadrat trifft oder nicht.
I E = I . y . y
z.B.: 0 6 2
Das mathematische Kernproblem:
Es ist in unserem Modell sehr einfach, für jeden Strahl die Ausgangsintensität IE zu
berechnen, wenn alle Faktoren y i bekannt sind.
Aber es liegt das umgekehrte Problem vor, und dieses ist viel schwieriger („inverses
Problem“)
Ursache
(Faktoren y i )
Inverses
Problem
Jeder Strahl liefert eine Gleichung, die einige der Unbekannten y 1 ,......, y25
enthält,
I E = I . y . y . y . y . y
z.B.: 0 6 7 8 9 10
Durch Logarithmieren und Umbenennen der Variablen x i : = ln( yi
) erhält man daraus:
x6 x7
x8
x9
x10
ln( I E ) ln( I 0 ) − = + + + +
Die rechte Seite ist eine bekannte Zahl, die aus einem Messwert errechnet wird.
Zu lösen ist also ein lineares Gleichungssystem:
Wirkung
(Ausgangs-
Intensitäten)
Anzahl der Variablen = Anzahl der Rasterquadrate = Anzahl der Bildpunkte
Anzahl der Gleichungen = Anzahl der Strahlen
Für ein einigermaßen gutes Bild (z.B. 1000*1000 Bildpunkte) hat man also gleich einmal eine
Million Variable, und man benötigt (mindestens) eine Million Messwerte, um diese
berechnen zu können …

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 56
Sandkasten-Beispiele:
(1) In diesem Raster sind die Wege der Stahlen eingetragen sowie die „rechten Seiten“ der
zugehörigen Gleichungen, d.h.: S = I ) − ln( I )
ln( 0 E
S1 = 0,5
S2 = 1,5
S3 = 1,1
S4 = 0,9
S5 = 0,8
a. Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem (*) auf!
Welche auffälligen Eigenschaften hat es ? Warum ist das so ?
b. Das Gleichungssystem besitzt mehr Gleichungen als Variable. Löse zunächst das
Gleichungssystem, das aus den Strahlen S1, S2, S3, S5 besteht!
Ist die erhaltene Lösung eine Lösung des Gleichungssystems (*) ?
c. Löse das Gleichungssystem, das aus den Strahlen S1, S2, S3, S4 besteht!
d. Ersetze den Wert von S4 durch 0,89 (Messfehler!)
Welche Auswirkungen hat diese Änderung auf die Lösung des ursprünglichen
Gleichungssystems (*) ?
Lösungshinweise:
x 1
x 3
S3
x2
x4
a. Gleichungssystem: (1) x1 + x2 = 0,5
(2) x3 + x4 = 1,5
(3) x1 + x3 = 1,1
(4) x2 + x4 = 0,9
(5) x1 + x4 = 0,8
S4
Es kommen nur die Koeffizienten 0 und 1 vor. Das liegt daran, dass wir die Länge des
Strahls innerhalb eines Rasterquadrats nicht berücksichtigen.
Das Gleichungssystem ist „dünn besetzt“: Sehr viele - bei großen Systemen weitaus die
meisten! - Koeffizienten sind gleich 0!
b. Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung (0,2; 0,3; 0,9; 0,6)
Wie man leicht nachprüft, ist diese auch die eindeutige Lösung des Systems (*).
c. Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen! Die auftretenden Gleichungen
sind nicht linear unabhängig!
d. Aus (b) folgt sofort, dass das neue Gleichungssystem keine Lösung besitzt!
S1
S2
S5

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 57
Aus diesem Beispiel kann man folgendes für die allgemeine Situation lernen:
• Im Allgemeinen sind mehr Strahlen (Messungen) nötig, als Variable im System stecken,
weil die aus den einzelnen Strahlen resultierenden Gleichungen nicht linear unabhängig
zu sein brauchen.
Damit hat man es also im Allgemeinen mit überbestimmten Gleichungssystemen zu tun!
• Da die rechte Seite des Gleichungssystems aus Messwerten besteht, die mit Fehlern
behaftet sind, wird das überbestimmte lineare Gleichungssystem im allgemeinen gar
keine Lösung besitzen!
Man wird sich also in der Praxis für Zahlen interessieren, die das Gleichungssystem
„näherungsweise“ erfüllen (was immer das heißt ….)
(2) Stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem auf und löse es mit Hilfe eines
Computer-Programms (z.B.: DERIVE)
12 11
10
x 1
9
x 2 3 x
x 4 5 x 6 x
x 7 8 x
8
x 9
7
6
5
4
1
2
3
Liste der „rechten Seiten“ S i :
2,1; 1,7; 1,6; 1,9; 2,2; 0,4;
1,9; 1,6; 1,9; 1,0; 1,4; 1,3;

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 58
Eine Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme
Es ist völlig aussichtslos, die in der CT auftretenden riesigen linearen Gleichungssysteme mit
der in der Schule üblichen Lösungsmethode (Gauss-Algorithmus) zu lösen.
• Das Verfahren benötigt sehr viele Rechenschritte und damit viel Rechenzeit (Tage für ein
Bild …..)
• Es treten numerische Probleme auf
• Das Gleichungssystem besitzt im Allgemeinen gar keine Lösung
Das folgende einfache Iterationsverfahren erweist sich hier als sehr vorteilhaft:
Zu Beginn setze alle Variablenwerte = 0
Verwende für die folgenden Schritte die Gleichungen des Systems einzeln
hintereinander; wenn die letzte Gleichung erreicht ist, beginne wieder mit der ersten.
(1) Setze auf der linken Seite der Gleichung die bisher gültigen Variablenwerte ein und
vergleiche das Ergebnis mit der rechten Seite.
(2) Teile die sich ergebende Differenz gleichmäßig auf die in dieser Gleichung
vorkommenden Variablen auf; die nicht vorkommenden Variablen ändere nicht.
Im Beispiel (1) sieht das folgendermaßen aus:
Gleichung x 1 x 1 x 1 x 1 Linke Seite Korrektur
(1) 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,25
(2) 0,25 0,25 0,00 0,00 0,00 0,75
(3) 0,25 0,25 0,75 0,75 1,00 0,05
Das kann natürlich z.B. mit EXCEL realisiert werden. Man kann beobachten, wie die
Konvergenz der Variablenwerte gegen die Lösung erfolgt: die notwendigen Korrekturen
werden immer seltener und kleiner …
Quellen und Verweise:
• REICHEL/ZÖCHLING, Tausend Gleichungen – und was nun ? DdM 4 (1990)
• www.matheprisma.uni-wuppertal.de : gute Möglichkeit, CT „durchzuspielen“
• Viele Internetseiten mit Informationen in allen Schwierigkeitsgraden

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 59
Schritt
Anzahl
x1 x2 x3 x4 linke Seite
0,2000 0,3000 0,9000 0,6000
0 1 1 0 0 0,5 2 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2500
1 0 0 1 1 1,5 2 0,2500 0,2500 0,0000 0,0000 0,0000 0,7500
2 1 0 1 0 1,1 2 0,2500 0,2500 0,7500 0,7500 1,0000 0,0500
3 1 0 0 1 0,8 2 0,3000 0,2500 0,8000 0,7500 1,0500 -0,1250
4 1 1 0 0 0,5 2 0,1750 0,2500 0,8000 0,6250 0,4250 0,0375
5 0 0 1 1 1,5 2 0,2125 0,2875 0,8000 0,6250 1,4250 0,0375
6 1 0 1 0 1,1 2 0,2125 0,2875 0,8375 0,6625 1,0500 0,0250
7 1 0 0 1 0,8 2 0,2375 0,2875 0,8625 0,6625 0,9000 -0,0500
8 1 1 0 0 0,5 2 0,1875 0,2875 0,8625 0,6125 0,4750 0,0125
9 0 0 1 1 1,5 2 0,2000 0,3000 0,8625 0,6125 1,4750 0,0125
10 1 0 1 0 1,1 2 0,2000 0,3000 0,8750 0,6250 1,0750 0,0125
11 1 0 0 1 0,8 2 0,2125 0,3000 0,8875 0,6250 0,8375 -0,0188
12 1 1 0 0 0,5 2 0,1938 0,3000 0,8875 0,6063 0,4938 0,0031
13 0 0 1 1 1,5 2 0,1969 0,3031 0,8875 0,6063 1,4938 0,0031
14 1 0 1 0 1,1 2 0,1969 0,3031 0,8906 0,6094 1,0875 0,0062
15 1 0 0 1 0,8 2 0,2031 0,3031 0,8969 0,6094 0,8125 -0,0062
16 1 1 0 0 0,5 2 0,1969 0,3031 0,8969 0,6031 0,5000 0,0000
17 0 0 1 1 1,5 2 0,1969 0,3031 0,8969 0,6031 1,5000 0,0000
18 1 0 1 0 1,1 2 0,1969 0,3031 0,8969 0,6031 1,0938 0,0031
19 1 0 0 1 0,8 2 0,2000 0,3031 0,9000 0,6031 0,8031 -0,0016
20 1 1 0 0 0,5 2 0,1984 0,3031 0,9000 0,6016 0,5016 -0,0008
21 0 0 1 1 1,5 2 0,1977 0,3023 0,9000 0,6016 1,5016 -0,0008
22 1 0 1 0 1,1 2 0,1977 0,3023 0,8992 0,6008 1,0969 0,0016
23 1 0 0 1 0,8 2 0,1992 0,3023 0,9008 0,6008 0,8000 0,0000
24 1 1 0 0 0,5 2 0,1992 0,3023 0,9008 0,6008 0,5016 -0,0008
25 0 0 1 1 1,5 2 0,1984 0,3016 0,9008 0,6008 1,5016 -0,0008
26 1 0 1 0 1,1 2 0,1984 0,3016 0,9000 0,6000 1,0984 0,0008
27 1 0 0 1 0,8 2 0,1992 0,3016 0,9008 0,6000 0,7992 0,0004
28 1 1 0 0 0,5 2 0,1996 0,3016 0,9008 0,6004 0,5012 -0,0006
29 0 0 1 1 1,5 2 0,1990 0,3010 0,9008 0,6004 1,5012 -0,0006
30 1 0 1 0 1,1 2 0,1990 0,3010 0,9002 0,5998 1,0992 0,0004
31 1 0 0 1 0,8 2 0,1994 0,3010 0,9006 0,5998 0,7992 0,0004
32 1 1 0 0 0,5 2 0,1998 0,3010 0,9006 0,6002 0,5008 -0,0004
33 0 0 1 1 1,5 2 0,1994 0,3006 0,9006 0,6002 1,5008 -0,0004
34 1 0 1 0 1,1 2 0,1994 0,3006 0,9002 0,5998 1,0996 0,0002
35 1 0 0 1 0,8 2 0,1996 0,3006 0,9004 0,5998 0,7994 0,0003
36 1 1 0 0 0,5 2 0,1999 0,3006 0,9004 0,6001 0,5005 -0,0002
37 0 0 1 1 1,5 2 0,1997 0,3003 0,9004 0,6001 1,5005 -0,0002
38 1 0 1 0 1,1 2 0,1997 0,3003 0,9001 0,5999 1,0998 0,0001
39 1 0 0 1 0,8 2 0,1998 0,3003 0,9002 0,5999 0,7996 0,0002
40 1 1 0 0 0,5 2 0,2000 0,3003 0,9002 0,6000 0,5003 -0,0001
41 0 0 1 1 1,5 2 0,1998 0,3002 0,9002 0,6000 1,5003 -0,0001
42 1 0 1 0 1,1 2 0,1998 0,3002 0,9001 0,5999 1,0999 0,0000
43 1 0 0 1 0,8 2 0,1999 0,3002 0,9001 0,5999 0,7998 0,0001
44 1 1 0 0 0,5 2 0,2000 0,3002 0,9001 0,6000 0,5002 -0,0001
45 0 0 1 1 1,5 2 0,1999 0,3001 0,9001 0,6000 1,5002 -0,0001
46 1 0 1 0 1,1 2 0,1999 0,3001 0,9001 0,5999 1,1000 0,0000
47 1 0 0 1 0,8 2 0,1999 0,3001 0,9001 0,5999 0,7999 0,0001
Korrektur

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 60
Hochrechnung und Wählerstromanalyse
An einem Wahltag ist die Öffentlichkeit daran interessiert, gleich nach der Schließung der
letzten Wahllokale eine möglichst präzise Hochrechnung präsentiert zu bekommen.
In einem Beispiel soll ein einfaches Modell dafür besprochen werden.
Ausgangssituation:
• Bei der Wahl stehen drei Parteien (A, B, C) zur Auswahl.
Nichtwähler werden nicht berücksichtigt. Sie könnten als vierte Partei in das Modell
aufgenommen werden.
• Es liegen bereits aus drei Orten (I, II, III) die Ergebnisse vor.
(Dargestellt sind immer die bisherige Verteilung und die neue Verteilung; der Einfachheit
halber können die Prozentangaben auch als Anzahl der Stimmen interpretiert werden, da
es bei unserem Verfahren nicht auf den Umfang der Stichprobe ankommt.)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
60
50
40
Ort I
30 30 30
10
A B C
35
Ort III
20 21
30
A B C
44
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
40
30
Ort II
50
44
10
A B C
50
Gesamtergebnis alt
35
15
A B C
26

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 61
Modell 1:
Aus den Daten aus Ort I liest man ab: A verliert 20% der Stimmen
B bleibt gleich
C gewinnt 20% der Stimmen
Wenn man annimmt, dass das Wählerverhalten in Ort I typisch ist für das Wählerverhalten
insgesamt, dann kann man diese Zahlen einfach auf die Gesamtbevölkerung übertragen und
erhält eine
“Hochrechnung“ : A: 30 %
B: 35 %
C: 35 %
Klarerweise ist dieses einfache Modell in der Regel unbrauchbar:
• Wie man sieht, liegen in Ort II die Verhältnisse ziemlich anders. Eine analoge
Hochrechnung auf der Basis des Ortes II würde daher ein ganz anderes Ergebnis bringen.
• Es ist nicht anzunehmen, dass in Orten mit sehr kleinem A-Anteil derselbe Prozentsatz
an Stimmen verloren geht wie in Orten mit ursprünglich hohem A-Anteil ....
• ............
Modell 2:
Zu einer wesentlich besseren Prognose führt eine so genannte Wählerstromanalyse.
Grundgedanke:
Partei A hat verloren - vermutlich sowohl an B als auch an C. Möglicherweise hat A aber
auch Stimmen gewonnen - von B bzw. C. Bekannt ist nur der Gesamteffekt dieser
Stimmenwanderung.
Von den ehemaligen Wählern der Partei A hat ein bestimmter Anteil wieder A gewählt; ein
bestimmter Anteil hat diesmal B, ein bestimmter Anteil diesmal C gewählt. Analoges lässt
sich von den ehemaligen Wählern der anderen Parteien sagen.
Wir interessieren uns in der Folge genau für diese Anteile, bezeichnen sie mit x1, x2, x3, y1,
y2, y3, z1, z2, z3 und nennen sie Übergangsfaktoren.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 62
60
30
Diese 9 Variablen sollen nun berechnet werden.
Das ist möglich aufgrund der
Grundannahme der Wählerstromanalyse:
10 30
Die Übergangsfaktoren haben in jedem Ort und damit in der Gesamtbevölkerung
(annähernd) dieselben Werte.
Zusätzlich nehmen wir hier noch eine Vereinfachung vor, die die Problemlösung erleichtert:
Wir stellen uns die Orte als “geschlossene Systeme” vor: Bei dieser Wahl wählen wieder
dieselben Wähler wie bei der letzten. (Wir vernachlässigen Zu- und Abwanderung,
Todesfälle, Jungwähler,...)
Das hat zur Folge, dass gelten muss: x1 + x2 + x3 = 1
y1 + y2 + y3 = 1
z1 + z2 + z3 = 1
Die Zahl der Variablen reduziert sich somit auf 6.
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
40
30

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 63
Das Zustandekommen der neuen Wahlergebnisse in Ort I wird gemäß unserem Modell durch
folgende Gleichungen ausgedrückt:
(1) 60 x1 + 30 y1 + 10 z1 = 40
(2) 60 x2 + 30 y2 + 10 z2 = 30
[ (3) 60 x3 + 30 y3 + 10 z3 = 30 ]
Aufgrund unserer Vereinfachung enthält (3) keine neuen Informationen, sondern ist einfach
eine Kombination aus (1) und (2).
Analog erhält man Gleichungen aus den Wahlergebnissen aus Ort II und Ort III :
(4) 40 x1 + 50 y1 + 10 z1 = 30
(5) 40 x2 + 50 y2 + 10 z2 = 44
[ (6) 40 x1 + 50 y1 + 10 z1 = 26 ]
(7) 50 x1 + 20 y1 + 30 z1 = 35
(8) 50 x2 + 20 y2 + 30 z2 = 21
[ (9) 50 x3 + 20 y3 + 30 z3 = 44 ]
Das Gleichungssystem von 6 Gleichungen in 6 Unbekannten “zerfällt” in zwei Gleichungssysteme
von 3 Gleichungen in 3 Unbekannten:
(1) 60 x1 + 30 y1 + 10 z1 = 40 mit der Lösung: x1 = 0,6
(4) 40 x1 + 50 y1 + 10 z1 = 30 y1 = 0,1
(7) 50 x1 + 20 y1 + 30 z1 = 35 z1 = 0,1
(2) 60 x2 + 30 y2 + 10 z2 = 30 mit der Lösung: x2 = 0,1
(5) 40 x2 + 50 y2 + 10 z2 = 44 y2 = 0,8
(8) 50 x2 + 20 y2 + 30 z2 = 21 z2 = 0
Daraus ergibt sich weiter (aufgrund der getroffenen Vereinfachung): x3 = 0,3
y3 = 0,1
z3 = 0,9
Die gefundenen 9 Übergangsfaktoren erklären die Ergebnisse in den drei Orten vollständig.
Sie werden nun als für die gesamte Bevölkerung gültig angesehen.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 64
A
B
Damit lässt sich nun leicht errechnen, wie viele Stimmen (bzw. Stimmenprozente) in der
Gesamtbevölkerung zwischen den Parteien “geflossen” sein müssten:
Diesmal wählten Partei A:
Diesmal wählten Partei B:
Diesmal wählten Partei C:
0,6
0,1
0,3
0,1
0,8
0,1
0,1
A*
0
C C*
0,9
60% der früheren A-Wähler, das sind 30,0 % der Stimmen
10% der früheren B-Wähler, das sind 3,5 % der Stimmen
10% der früheren C-Wähler, das sind 1,5 % der Stimmen
das macht insgesamt diesmal 35 % der Stimmen
10% der früheren A-Wähler, das sind 5,0 % der Stimmen
80% der früheren B-Wähler, das sind 28,0 % der Stimmen
0% der früheren C-Wähler, das sind 0,0 % der Stimmen
das macht insgesamt diesmal 33 % der Stimmen
30% der früheren A-Wähler, das sind 15,0 % der Stimmen
10% der früheren B-Wähler, das sind 3,5 % der Stimmen
90% der früheren C-Wähler, das sind 13,5 % der Stimmen
das macht insgesamt diesmal 32 % der Stimmen
B*

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 65
Wichtige weiterführende Hinweise:
(1) Das hier präsentierte einfache Modell einer Wählerstromanalyse kann natürlich
äußerst vorteilhaft mit Hilfe von Matrizen dargestellt und bearbeitet werden:
Seien A1, A2, A3 die alten Ergebnisse für Partei A in den drei Orten, A1*, A2*, A3* die
entsprechenden neuen Ergebnisse; die Ergebnisse der Parteien B und C in den drei
Orten seien analog dazu bezeichnet.
⎛ A
⎜
M : = ⎜ A
⎜
⎝ A
1
2
3
100
B
B
B
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1
2
3
0
C
C
C
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Wählerstrom-Analyse
A B C
von A von B vonC
⎛ A
⎜
N : = ⎜ A
⎜
⎝
A
so gilt: N = M.
X bzw. X = M . N
*
1
*
2
*
3
B
B
B
*
1
*
2
*
3
C
C
C
*
1
*
2
*
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
1 −
⎛ x
⎜
X : = ⎜ y
⎜
⎝ z
Bezeichnet w : = ( A,
B,
C)
das alte Wahlergebnis, h : = ( A , B , C ) die zu erstellende
Hochrechnung, so gilt:
−1
h = w.
X = w.
M . N
*
*
*
1
1
1
x
y
z
2
2
2
x
y
z
3
3
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 66
(2) Es könnte passieren, dass die durch die drei Stichproben eindeutig bestimmten
Übergangsfaktoren nicht zwischen 0 und 1 liegen. Das würde dann bedeuten:
Die Ergebnisse in den drei Stichproben lassen sich nicht durch einen einheitlichen
“Wählerstrom” erklären, und daher kann man daraus schon gar nicht eine Prognose
für die Gesamtbevölkerung ermitteln.
(3) Aus dem bearbeiteten Beispiel wird sofort klar, wie man das Modell auf ein n-
Parteien-System ausdehnen könnte (in dem die Nichtwähler wie eine Partei geführt
werden).
Man benötigt dann zur Berechnung der Übergangsfaktoren die Ergebnisse aus n
Orten, und es sind insgesamt n-1 lineare Gleichungssysteme mit je n Gleichungen in n
Variablen zu lösen. Natürlich realisiert man das vorteilhaft mit Matrizen.
(4) In der Praxis verwendet man die Ergebnisse von mehr Orten, als für die Berechnung
der Übergangsfaktoren unbedingt notwendig sind. Man erhält dadurch ein
“überbestimmtes Gleichungssystem”, das im allgemeinen keine Lösung haben wird,
das heißt:
die Ergebnisse aus diesen Orten werden mit einem einheitlichen “Wählerstrom” nicht
exakt erklärt werden können.
Man wendet daher Methoden an, um Übergangsfaktoren zu finden, die die Ergebnisse
in den Stichproben wenn schon nicht exakt, so doch möglichst gut erklären. Dies geht
über das übliche Lösen von linearen Gleichungssystemen weit hinaus und gehört in
die so genannte “Ausgleichsrechnung”.
(5) Eine wesentliche Erweiterung des Modells besteht darin, die Übergangsfaktoren nicht
als Konstante, sondern als Zufallsvariablen aufzufassen: Diese können in jeder
Stichprobe von den (unbekannten) tatsächlichen Übergangsfaktoren in der
Gesamtbevölkerung etwas abweichen, aber größere Abweichungen sind ziemlich
unwahrscheinlich.
Diese statistische Betrachtungsweise bringt Wahrscheinlichkeiten ins Spiel. Es sind
dann Prognosen folgender Art möglich:
Mit 95%iger Wahrscheinlichkeit wird der Stimmenanteil der Partei A in der
Gesamtbevölkerung zwischen 23% und 25% liegen.

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 67
Vollständige Serie / das Sammler-Problem
Im Vorfeld der Fußball-EM kam eine Schülerin der 7.Klasse mit der Frage:
Ich sammle diese berühmten Fußballer-Pickerl. Ich habe gelesen, dass man ungefähr 700
Euro investieren muss, bis man alle Bilder hat. Stimmt das? Und wie kann man das
ausrechnen?
Natürlich braucht man dazu noch ein paar Angaben ….
Für den Unterricht wurde eine Serie von Aufgaben formuliert, die schrittweise zur Lösung des
Problems führen.
(1) Wie oft muss man (im Mittel) würfeln, bis man erstmals eine Sechs erhält ?
(2) Wie oft muss man einen Spielwürfel (im Mittel) werfen, bis man alle Augenzahlen
mindestens einmal erhalten hat ?
(3) Aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln wird immer wieder mit Zurücklegen
gezogen. Wie oft muss man (im Mittel) ziehen, bis jede Kugel zumindest einmal
gezogen wurde ?
(4) Eine vollständige Serie umfasst 535 verschiedene Bilder. Die Bilder werden in
Packungen zu je 5 Stück gekauft. Wie viele Packungen muss man (im Mittel) kaufen,
bis man die vollständige Serie der Bilder hat ?
Zu (1):
Die Anzahl der notwendigen Würfe ist eine Zufallsvariable X, deren Erwartungswert E(X)
gesucht ist.
Dazu benötigt man zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, die hier mit Hilfe eines
Baumdiagramms leicht zu ermitteln ist:
1
6
5
6
E ¬E
1
6
5
6
E ¬E
X=1 X=2 X=3
1
6
5
6
E ¬E

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 68
Es gilt:
p ( X = 1)
=
p ( X = 2)
=
1
6
5
.
6
1
6
5 5 1
p ( X = 3)
= . . Allgemein:
6 6 6
p ( X = k)
Achtung: X ist eine diskrete Zufallsvariable mit unendlicher Wertemenge N!
Geometrische Verteilung:
=
⎛ 5 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 6 ⎠
Es werde eine (beliebig lange) Versuchsserie durchgeführt. Die Versuchsausgänge seien
unabhängig voneinander, und jedes Mal betrage die Erfolgswahrscheinlichkeit p .
Sei X die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg.
k−1
Dann gilt: p(
X = k)
= ( 1−
p)
. p
Man sagt kurz: Die Wartezeit bis zum ersten Erfolg in einem „Bernoulli-Experiment“ ist
geometrisch verteilt.
Wir suchen den Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen.
Es gilt:
E(
X ) =
In der Aufgabe (1) lautet also die Antwort:
Man muss im Mittel 6 mal würfeln, bis man erstmals eine Sechs erhält.
1
p
Diese Antwort ist den meisten Menschen intuitiv plausibel, möglicherweise aber aufgrund
einer falschen stochastischen Vorstellung …..
Beweis der Formel (mit Hilfe eines kleinen technischen Tricks …)
Sei q : = 1−
p die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Damit gilt dann: p(
X = k)
= q .( 1−
q)
E ( X ) = 1.
p(
X = 1)
+ 2.
p(
X = 2)
+ 3.
p(
X = 4)
+ 4.
p(
X = 4)
+ ........ (unendliche Reihe)
= 1.(
1−
q ) + 2.(
1−
q).
q + 3.(
1−
q).
q + 4.(
1−
q).
q
2
= 1−
q + 2q
− 2q
+ 3q
− 3q
+ 4q
− 4q
= 1+
q + q + q
2
3
+ .......
2
3
2
3
4
3
+ ......
+ .......
=
1
1−
q
=
k−1
1
.
6
1
p
k

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 69
(2) Wie oft muss man einen Spielwürfel (im Mittel) werfen, bis man alle Augenzahlen
mindestens einmal erhalten hat ?
Diese Frage lässt sich im Unterricht gut real simulieren. Eine Versuchsdurchführung sieht
dabei etwa folgendermaßen aus:
Zunächst schreibt man die Zahlen 1,2,3,4,5,6 an. Dann würfelt man, streicht die gewürfelte
Augenzahl durch (sofern sie noch nicht durchgestrichen ist), und führt dies so lange fort, bis
alle Zahlen gestrichen sind. Dabei zählt man die Anzahl der Würfe mit.
Wird der Versuch oft durchgeführt (von vielen Schülern in einer Klasse!), so ist der
Mittelwert der benötigten Würfe ein Schätzwert für den gesuchten Erwartungswert.
Dabei macht man die Beobachtung:
„Im Allgemeinen geht es zu Beginn schnell voran, dann aber immer langsamer ….“
Diese Beobachtung wird nun näher analysiert und präzisiert. Wir beobachten während einer
Versuchsdurchführung die Anzahl V der bereits gewürfelten verschiedenen Zahlen (das ist die
Anzahl der bisher durchgestrichenen Zahlen).
Wir starten mit V = 0 und sind fertig, so bald V = 6 .
Der Versuch lässt sich darstellen durch ein Zustandsdiagramm mit entsprechenden
Übergangs-wahrscheinlichkeiten:
5
4
1
1
0 1
6
2
6
5
6
6
Uns interessiert die Anzahl X der Versuche, die notwendig ist, um vom Zustand V=0 zum
Zustand V=6 zu gelangen.
Sei X 1 die Anzahl der notwendigen Versuche von V=0 zu V=1
X 2 die Anzahl der notwendigen Versuche von V=1 zu V=2 usw.
Dann gilt: X = X1
+ X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6
Uns interessiert letztlich nur der Erwartungswert
Natürlich gilt E ( X1
) = 1
1
6
E ( X ) = E(
X1
) + E(
X 2 ) + ...... + E(
X 6 )
2
6
. .
. . .
5
6

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 70
Die anderen Erwartungswerte sind aber ebenfalls einfach zu berechnen:
5
X 2 ist geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = , also:
6
4
X 3 ist geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = , also:
6
usw.
Damit erhält man also:
6 6 6 6 6 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎞
E ( X ) = 1+
+ + + + = 6.
⎜1+
+ + + + ⎟ =
5 4 3 2 1 ⎝ 2 3 4 5 6 ⎠
6
( 2 )
5
= X E
6
( 3 )
4
= X E
14,
7
(3) Aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln wird immer wieder mit Zurücklegen
gezogen. Wie oft muss man (im Mittel) ziehen, bis jede Kugel zumindest einmal
gezogen wurde ?
Dies ist eine einfache Verallgemeinerung von (2), und der Lösungsweg verläuft völlig analog
zu oben.
⎛ 1 1 1 ⎞
Als Resultat erhält man: E(
X ) = n.
⎜1+
+ + ........ + ⎟
⎝ 2 3 n ⎠
Für große n kann diese Summe näherungsweise berechnet werden mit Hilfe der Abschätzung
n . ln( n)
≤ E(
X ) ≤ n.
(ln( n)
+ 1)
(4) Eine vollständige Serie umfasst 535 verschiedene Bilder. Die Bilder werden in
Packungen zu je 5 Stück gekauft. Wie viele Packungen muss man (im Mittel) kaufen,
bis man die vollständige Serie der Bilder hat ?
Nun ist die Sache bei weitem schwieriger geworden. Das kann etwa am Zustandsdiagramm
analog zu (2) gesehen werden.
• Mit jedem neuen Päckchen erhöht sich der Wert von V um eine der Zahlen 0, 1, ….,5, je
nachdem, wie viele neue Bilder das Päckchen enthält. Von jedem Zustand führen also 6
Pfeile weg …
• Der Weg vom Zustand V = 0 zum Zustand V = 535 kann auf eine riesige Zahl von
Möglichkeiten genommen werden ….

F. Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 71
Zu einer exakten Lösung des Problems sind also ganz neue Überlegungen notwendig. In der
Literatur findet man ziemlich komplizierte Formeln ….
Hier soll das Problem nur näherungsweise gelöst werden.
(1) Stellen wir uns vor, wir würden die Bilder einzeln kaufen und nicht in 5-er Packungen.
Wie viele Einzelbilder müssten wir kaufen ?
⎛ 1 1 ⎞
Das ist genau Fall (3) mit n = 535 , also E (X ) = 535.
⎜1+
+ ...... + ⎟
⎝ 2 535 ⎠
DERIVE liefert dafür: E ( X ) ≈ 3670
(Mit den Näherungsformeln erhält man: 3361 ≤ E ( X ) ≤ 3896 )
Das entspricht dem Inhalt von 734 Packungen ….
(2) Welcher Fehler wird bei dieser Vereinfachung gemacht?
Wir werden wohl annehmen, dass in einer Packung lauter verschiedene Bilder
enthalten sind. Damit erhöht der Kauf einer Packung die Anzahl V der bisher
verschiedenen Bilder eventuell mehr als der Kauf von 5 Einzelbildern (unter denen ja
gleiche sein könnten). Der oben errechnete Wert von 734 Packungen könnte also zu
groß sein ….
Allerdings kann man leicht überlegen, dass der gemachte Fehler nicht allzu groß sein
wird: Wir berechnen dazu die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
E … unter 5 aus 535 zufällig ausgewählten Bildern sind zumindest 2 gleiche
535 534 533 532 531
Es gilt: p(E) = 1 − . . . . ≈ 0,018
535 535 535 535 535
(Dieses Problem ist genau das bekannte Geburtstagsproblem!)
Anders formuliert:
Füllt man völlig zufällig je 5 Bilder in eine Packung, so enthalten mehr als 98% der
Packungen lauter verschiedene Bilder!
(3) Unsere Rechnung ist davon ausgegangen, dass die Bilder „gleichmäßig“ auf die
Packungen aufgeteilt sind ?
• Was genau bedeutet das überhaupt?
• Wie / durch welchen Produktionsprozess könnte die Firma diese
„Gleichverteilung“ herstellen ?
• Hat die Firma überhaupt Interessen an einer „Gleichverteilung“ ?

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 72
Anwendungen in Matura-Aufgaben ?
Thesen:
• Innerhalb der Struktur „herkömmlicher“ Aufgaben ist eine echte Anwendungsorientierung
nicht möglich. (Alternative: Niederlande Wiskunde A; Aufgabenstellungen
wie z.B. in Biologie oder Physik)
Kritische Punkte: offene Fragestellung; Informationsauswahl oder –beschaffung;
qualitativ grundlegend verschiedene Lösungen; …
• Bei einer Maturaaufgabe herkömmlicher Struktur kann nicht überprüft werden, ob ein
Schüler „Mathematik anwenden“ kann. Die „angewandten Maturaaufgaben“ sind ein
Signal an die interessierte Öffentlichkeit (Achtung!!) und ein Tribut an den LSR.
• Viele „angewandten Maturaaufgaben“ sind mühsam eingekleidete Standard-Aufgaben,
die nicht wirklich etwas mit Anwendung zu tun haben (und denen man die Mühe des
Einkleidens ansieht…).
„Innermathematische Fragestellungen“ sollten als solche belassen werden. Auch sie
haben ihren Wert und ihre Berechtigung!
Mögliche Strategien zur Konstruktion von geeigneten Aufgaben:
• Funktionen untersuchen lassen, die einen realen Sachverhalt beschreiben
(z.B. Exponentialfunktionen, Sinus-Funktionen, ….; Vergleich von Modellen)
• Funktionsterme aufstellen lassen, Koordinatensysteme einführen lassen….
• Beurteilende Statistik
• Trigonometrie (?)
• Ausbau von realitätsbezogenen Aufgaben aus dem Unterricht …

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 73
Beispiele:
1. Die Bewegung eines Fahrzeugs in der Startphase wird durch zwei unterschiedliche
Modelle beschrieben. (Zeit in Sekunden ab dem Start)
a. Die Beschleunigung nimmt linear ab: a(0) = 6 m/s², a(10) = 0; a(t) = 0 für t ≥ 10
Ermittle daraus die Geschwindigkeitsfunktion und berechne die maximale
Geschwindigkeit! Stelle Beschleunigung und Geschwindigkeit im Zeitintervall [0,20]
graphisch dar!
b. Die Beschleunigung nimmt exponentiell ab: a(0) = 6 m/s², a(10) = 0,81 m/s²
Ermittle Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsfunktion und stelle letztere graphisch
dar! Begründe: Es gibt keine maximale Geschwindigkeit, aber eine
Grenzgeschwindigkeit v ∞ , der sich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs asymptotisch
nähert.
c. Berechne in jedem der beiden Modelle
den Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeit den Wert v = 18 m/s erreicht.
den Weg, den das Fahrzeug im Zeitintervall [0, 10] zurücklegt .
2. Die Form einer in zwei Punkten aufgehängten Kette kann (unter einigen idealisierenden
Annahmen) sehr gut durch eine Kurve namens „Kettenlinie“ beschrieben werden. Etwas
gröber, aber dafür viel einfacher, ist die Beschreibung durch eine Parabel.
In einem geeigneten Koordinatensystem haben die Aufhängepunkt P,Q die Koordinaten
P=(-6,10) Q=(6,10).
0, 5x
−0,
5x
a. Die Kettenlinie ist Graph der Funktion f ( x)
: = 0,
5.(
e + e )
Zeige, dass P und Q tatsächlich (fast) auf der Kettenlinie liegen, und dass T=(0,1) der
tiefste Punkt ist!
b. Beschreibe die Kurve näherungsweise durch eine quadratische Funktion g, deren
Graph durch P, Q und T geht ! Zeichne die Graphen der Funktionen f und g!
c. Vergleiche die Steigungen der beiden Kurven in den Aufhängepunkten P und Q!
d. Als Maß für die durchschnittliche Abweichung der beiden Kurven kann die folgende
Zahl genommen werden:
Fläche zwischen den Graphen
Länge des Intervalls
Berechne diese Zahl!

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 74
3. Über den Abbau eines Schadstoffes im Wasser eines Sees liegen folgende Daten vor:
t K(t)
0 10
1 7
3 3,4
T … Zeit in Monaten ab Beginn der Untersuchung
K(t) ….. Schadstoffgehalt in mg/m³
a. Begründe anhand der Daten, dass der Schadstoffabbau nicht linear erfolgt!
b. Ermittle den Term einer quadratischen Funktion, die den gegebenen Daten genügt!
Untersuche den Verlauf der gefundenen Funktion im Zeitintervall [0,10] und
begründe, dass diese Funktion zur Beschreibung des Schadstoff-Abbaus nicht geeignet
ist!
c. Laut Theorie sollte der Schadstoffabbau exponentiell erfolgen.
Zeige, dass dies für die gegebenen Daten in guter Näherung erfüllt ist!
Stelle der Term einer geeigneten Exponentialfunktion auf und beantworte damit
folgende Fragen:
Wie lange wird es dauern, bis nur mehr 10% der ursprünglichen Schadstoffmenge
vorhanden ist?
Wie groß ist die „Halbwertszeit“ der Schadstoffmenge?
Um wie viel Prozent nimmt die Schadstoffmenge pro Woche ungefähr ab?
4. Nach Angabe der medizinischen Literatur haben etwa 8 Prozent der Menschen eines
Landes den Virus V in ihrem Organismus.
a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Klasse mit 20 Schülern drei oder mehr
Schüler diesen Virus in ihrem Körper haben !
b. Wie groß muss eine Gruppe von Personen sein, damit mit 99%iger Wahrscheinlichkeit
zumindest ein Virusträger in dieser Gruppe ist ?
c. Ein bestimmtes Symptom S tritt bei 95% der Virusträger von Zeit zu Zeit auf.
Allerdings leiden auch etwa 10% der nicht Infizierten von Zeit zu Zeit (aus anderen
Gründen) an diesem Symptom. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch,
der das Symptom S hat, Träger des Virus V ist ?
d. Bei einer großen Untersuchung an 1000 zufällig ausgewählten Personen zeigte sich,
dass nur 69 (also deutlich weniger als 8%) das Virus in ihrem Körper hatten. Darf man
aus diesem Ergebnis schließen, dass die Angabe der medizinischen Fachliteratur nicht
(mehr) stimmt ? (Teste einseitig mit maximaler Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%!)

F.Schoberleitner Beispiele für Anwendungen 75
5. Ein Weinfass hat folgenden Achsenschnitt:
Die (inneren) Abmessungen betragen: R = 5 dm
r = 4 dm
h = 12 dm
a. Führe eine grobe Abschätzung des Volumens (nach oben und unten) mit Hilfe
geeigneter elementarer Körper durch !
b. Führe ein geeignetes Koordinatensystem ein, beschreibe die Fassdauben durch einen
Ellipsenbogen und berechne das Volumen des Körpers mit Hilfe der Integralrechnung!
c. Beschreibe die Fassdauben durch eine quadratische Funktion und berechne auch in
diesem Fall das Volumen des entstehenden Rotationskörpers!
Wie groß ist die Differenz der Ergebnisse in Prozent des Resultats aus b. ?
d. Welches der beiden Modelle im konkreten Fall besser passt, könnte mit Hilfe des
Winkels α entschieden werden. Berechne für beide Modelle den sich ergebenden
Winkel α !
Interpretiere im Lichte dieser Werte die unterschiedlichen Ergebnisse aus b. und c. !