Effiziente Algorithmen

Laufzeiten Union FindMakeSet: O(n) insgesamtUnion: O(1)Find: entspricht maximaler Tiefe der BäumeTiefe ist O(log n):Behauptung:Bei Grösse g ist die Tiefe · log g:Beweis: Zu Beginn klar.Wenn Menge von u und Menge von v mit Grössen a und b undTiefen q· log a und r· log b zusammenkommen:Neuer Baum hat Grösse a+b• Gelte O.B.d.A. a · b. 3 Fälle:• r < q, dann neue Tiefe q · log a · log (a+b)• r = q, dann neue Tiefe q+1, aber a≥ 2 q , b≥ 2 q , a+b≥2 r +2 q =2 q+1 , also neue Tiefe · log (a+b)• r>q, es gilt a≥ b≥ 2 r , neue Tiefe ist r+1, a+b≥ 2 r+1 , also neueTiefe · log (a+b)