Effiziente Algorithmen

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Laufzeiten Union FindMakeSet: O(n) insgesamtUnion: O(1)Find: entspricht maximaler Tiefe der BäumeTiefe ist O(log n):Behauptung:Bei Grösse g ist die Tiefe · log g:Beweis: Zu Beginn klar.Wenn Menge von u und Menge von v mit Grössen a und b undTiefen q· log a und r· log b zusammenkommen:Neuer Baum hat Grösse a+b• Gelte O.B.d.A. a · b. 3 Fälle:• r < q, dann neue Tiefe q · log a · log (a+b)• r = q, dann neue Tiefe q+1, aber a≥ 2 q , b≥ 2 q , a+b≥2 r +2 q =2 q+1 , also neue Tiefe · log (a+b)• r>q, es gilt a≥ b≥ 2 r , neue Tiefe ist r+1, a+b≥ 2 r+1 , also neueTiefe · log (a+b)
Kruskal1. Eingabe: Graph G, Gewichte W2. A=∅3. Für jeden Knoten va) Make-Set(v)4. Sortiere die Kanten in E aufsteigend nach Gewicht5. Für jede Kante (u,v), aufsteigend nach Gewichta) Wenn Find-Set(u)≠ Find-Set(v), dannA:=A∪ {(u,v)}b) Union (u,v)6. Ausgabe A
Seite 1 und 2: EffizienteAlgorithmenHartmut Klauck
Seite 3 und 4: Minimale Spannbäume Motivation: Ma
Seite 6 und 7: Sichere KantenSchwierigkeit besteht
Seite 8 und 9: Sichere Kanten Die Kante e={u,v} ,
Seite 10 und 11: Algorithmen Wir füllen zunächst d
Seite 12 und 13: Kruskal1. Eingabe: Graph G, Gewicht
Seite 16 und 17: Laufzeit Kruskal Wir erhalten so:
Seite 18 und 19: PrimIn Prim‘s Algorithmus bilden
Seite 20 und 21: Laufzeit Prim Einmal Init, n mal Ex

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