Grundkurs Informatik Aufgabensammlung mit Lösungen Teil 1

1-26 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 2.2.4 (M2)
Die zu einem empfundenen Helligkeitsreiz R gehörige Pulsfrequenz f ist proportional zu R,
es gilt also f~R. Außerdem gilt nach dem Fechner’schen Gesetz R~log(S/S o ). Für das Helligkeitsempfinden
kennt man die zum physikalischen Maximalreiz Smax gehörende maximale
Pulsfrequenz fmax=250 Hz sowie das Verhältnis von Maximalreiz zu Reizschwelle Smax/S0=10 10
aus experimentellen Untersuchungen. Welche Pulsfrequenz gehört zu einem physikalischen
Reiz S1= Smax/10?
Lösung
Aus f~R und R~log(S/S o ) folgt f = c . log(S/S o ) mit einer Proportionalitätskonstanten c.
Aus fmax = c . log(Smax/S o ) und 250 = c . log(10 10 ) folgt 250 = c . 10, also c = 25.
Also: f1 = c . log(S1/S o ) = 25 . log(Smax/S o /10) = 25 . [log(Smax/S o ) – log(10)] = 25 . [10 – 1] = 225 Hz
Aufgabe 2.2.5 (M3)
Nach dem Weber’schen Gesetz gilt für eine von biologischen Rezeptoren gerade noch auflösbare
Differenz S eines physikalischen Reizes S die Beziehung S=k . S. Berechnen Sie
daraus mit gegebener Proportionalkonstante k und gegebenem Smax/S0 (Maximalreiz zu
Reizschwelle) die Anzahl der aufgelösten Reizstufen für folgende Reize:
a) Helligkeit: Smax/S0 = 10 10 k=0.02
b) Lautstärke: Smax/S0 = 10 12 k=0.09
b) Tonhöhe: Smax/S0 = 10 3 k=0.003
Lösung
Die Proportionalität zwischen S und S lässt sich folgendermaßen visualisieren:
S0 S1 S2 Sn=Smax
1 2 . . .
Aus S = k . S folgt:
S1 = S1-S0 = k . S0 S1 = S0(1+k)
S2 = S2-S1 = k . S1 S2 = S1(1+k) = S0(1+k) 2
Also: Sn/S0 = (1+k) n n =
.
.
Sn = S0(1+k) n
log( Sn
/ S0
)
log( 1 k)
Einsetzen der gegebenen Zahlen liefert:
a) Helligkeit: Smax/S0 = 10 10 k=0.02 n=10/log(1.02)=1163
b) Lautstärke: Smax/S0 = 10 12 k=0.09 n=12/log(1.09)=320
b) Tonhöhe: Smax/S0 = 10 3 k=0.003 n=3/log(1.003)=2306