Lernen an Stationen - Matrizenrechnung - FWU

Ilona Gabriel, Henning Heske,
Markus Teidelt, Heinz Wesker
Stationenlernen
mit neuen Medien im
Mathematikunterricht
SEMIK-Projekt
Selbstlernen in der gymnasialen
Oberstufe – Mathematik („SelMa“)
Nordrhein Westfalen

Impressum
Herausgeber:
Dr. Friedhelm Schumacher
FWU Institut für Film und Bild
in Wissenschaft und Unterricht gem. GmbH
Bavariafilmplatz 3
82031 Grünwald/München
Betreuung des Wettbewerbs und redaktionelle Bearbeitung:
Valeska Hölzer M.A.,
Dr. Friedhelm Schumacher
Franziska Zur
Kontakt:
Mail: semik@fwu.de
Web: http://www.fwu.de/semik
© 2004, FWU Institut für Film und Bild in Wissenschaft und Unterricht
Nachdruck - auch auszugsweise - nur mit ausdrücklicher Genehmigung des FWU.
Diese Veröffentlichung entstand im Rahmen des BLK-Programms SEMIK Systematische Einbeziehung
von Medien, Informations- und Kommunikationstechnologien in Lehr- und Lernprozesse.
Gefördert aus Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung

Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
Das Projekt „Lernen an Stationen: Matrizenrechnung“ ist für den Mathematikunterricht in der
Jahrgangsstufe 12 und 13 konzipiert. Das dort zu behandelnde Thema Matrizenrechnung ist
bisher von den Schülerinnen und Schüler meistens eher als langweilig erlebt worden. Zudem
verhinderte ein hoher Rechenaufwand, der eine hohe Fehlerhäufigkeit beinhaltete, die Untersuchung
interessanter Anwendungen. Der erstellte Stationenzirkel dient vor allem der selbstständigen
Erarbeitung dieses Themas.
Ziel des Projekts war es, die Möglichkeiten der neuen Technologien so für den Unterricht nutzbar
zu machen, dass die Schülerinnen und Schüler von eher einfältigen und umfangreichen
Rechnungen befreit werden, und die verschiedenen Aspekte der Matrizenrechnung, insbesondere
die Dynamik der mit Matrizen beschriebenen Prozesse, sichtbar werden. Eine weitere
Leitidee des Projekts war das Bemühen, solche Unterrichtsmaterialien zu entwickeln, die
den Schülerinnen und Schüler ein relativ selbstständiges Erlernen dieses mathematischen
Gebietes ermöglichen.
Als Unterrichtsmethode wurde das Lernen an Stationen (Stationenzirkel, Lernzirkel, Stationenlernen)
gewählt. Die Orientierung in diesem offenen Unterricht gewährleistet ein Laufzettel,
der Angaben über alle Stationen, die empfohlene Sozialform, die unterrichtlichen Voraussetzungen
sowie die Wahl- und Pflichtstationen enthält.
Die Nutzung der neuen Technologien erfolgte durch die Verwendung allgemeiner und fachspezifischer
Computerprogramme wie des Computeralgebrasystems LiveMath und des Tabellenkalkulationsprogramms
Excel. Günstig ist es, wenn den Schülerinnen und Schüler zudem eine
computeralgebrafähiger Taschenrechner wie der TI-89 zur Verfügung steht. Als Lernumgebung
wurde ein gängiger, offline zu nutzender Internetbrowser (Netscape oder Internet
Explorer) gewählt. Daher wurde der gesamte Stationszirkel in HTML-Dateien erstellt, die auf
einer CD vorliegen. Der unschätzbare Vorteil ist, dass - sofern ein vernetzter Computerraum
mit CD-Server vorhanden ist - eine einzige CD genügt, sodass alle Schülerinnen und Schüler
auf die Materialien und Animationen zugreifen können.
SEMIK-
Projekt
„SelMa“ – Selbstlernen in der gymnasialen Oberstufe – Mathematik,
Nordrhein-Westfalen
Schule Ernst-Barlach-Gesamtschule Dinslaken
Lehrer Ilona Gabriel, Dr. Henning Heske, Markus Teidelt, Heinz Wesker; selma@ebgs.de
Klasse 12 LK und GK; 2 x LK und 2 x GK mit je 12-25 Schülerinnen und Schüler
Fächer Mathematik
Zeitansatz 10-14 Unterrichtsstunden;
11.11.2002 (Durchführung seit dem Schuljahr 2000/2001 jährlich)
URL http://www.learnline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/dinslakenproj3/index.htm
Zielsetzungen
Fachlich
• grundlegende Rechenoperationen mit Matrizen;
• Geometrie der Matrizen in der Ebene und im Raum;
• Invertierbarkeit;
• stochastische Matrizen und Markoff-Ketten;
• Anwendungen der Matrizenrechnung
Arbeitstechniken
• Umgang mit Internetbrowserumgebung;

SEMIK@work
• Kritische Nutzung eines Computeralgebrasystems (TI-89)
Sozial
• Selbstständiges Arbeiten;
• Teamfähigkeit;
• Kommunikationsfähigkeit
Arbeitsformen
Einzelarbeit, Partnerarbeit und Gruppenarbeit im Rahmen des Stationenlernens
Voraussetzungen
Lernvoraussetzungen der Lernenden sind grundlegende Kenntnisse über lineare und quadratische
Funktionen sowie die Fähigkeit und Fertigkeit einen Internet-Browser zu bedienen und ein
Computeralgebrasystem (z.B. Derive oder TI-89) zu benutzen.
Ablauf
Gesamtplanung
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Zeitansatz Inhalt Lehrplanbezug
1-14 Std. Die Unterrichtsreihe ist für ein Halbjahr der Jahrgangsstufe
12 oder 13 als Einstieg in die Lineare
Algebra konzipiert. Sie eignet sich auch zur Vermittlung
eines Orientierungswissens zum Thema Lineare
Algebra.
Lineare Algebra ist
Pflichtinhalt der Jg. 12/13
Stunde Inhalt Medieneinsatz Arbeits-/Sozialform
1.-14. Std. Erarbeitung und Anwendung
der Inhalte
der Matrizenrechung im
Rahmen des Stationenlernens
Beschreibung des Unterrichtsverlaufs
Zentrale Medien bei dieser
Unterrichtseinheit sind der
PC mit einem Internetbrowser
und den vorbereiteten
HTML-Dateien und Programmen
(z.B. LiveMath-
Animationen, Videosequenzen,
Mathcad-Grafiken,
Excel-Programm, Java-
Applets) sowie der TI-89
mit seinem implementiertenComputeralgebrasystem.
Einzelarbeit,
Partnerarbeit,
Gruppenarbeit
Nach einer Einführungsphase arbeiteten alle Schülerinnen und Schüler in den folgenden 9-13
Stunden selbstständig in wechselnden Sozialformen an den Wahl- und Pflichtstationen. Der
persönliche Laufzettel ermöglichte eine Orientierung und der Lehrkraft eine schnelle Kontrollmöglichkeit.
Lernzielkontrolle
Die Unterrichtseinheit führte wie im traditionellen Unterricht zu einer Lernzielkontrolle in Form
einer Klausur. Vorher erfolgte eine Lernerfolgskontrolle im Rahmen von Hausaufgaben.
Umsetzung / innovative Aspekte

Problemorientierung
Die Lernumgebung ermöglicht situiertes und –
durch den Einsatz eines Computeralgebrasystem
ermöglicht – realitätsnahes problemorientiertes
Lernen.
Selbstgesteuertes Lernen
Die Schülerinnen und Schüler organisieren und
kontrollieren anhand der vorbereiteten Materialien
und Vorgaben ihren Lernprozess selbst.
Veränderte Lehrer- und Schülerrolle
Den Schülerinnen und Schüler wird Verantwortung
für das eigene Lernen übertragen.
Die Lehrperson steht als individueller Lernberater
zur Verfügung. Die Hauptarbeit liegt in der Vorbereitung
der Lernsituation.
Medienkompetenz
Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Aufgabenstellungen
, Hilfen und Lösungen der Browserumgebung
und lösen mathematische Probleme
mithilfe des Computeralgebrasystems (TI-89).
Kooperation
Durch die Vorgabe der Sozialform bei allen Stationen
wird Kooperation bei Partnerarbeit und Gruppenarbeit
verlangt
Übertragbarkeit
Das Stationenlernen mit neuen Medien ist leicht
übertragbar und ggf. veränderbar für andere Kurse.
Beurteilung
Schülerurteil
Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
Schüler/innen sind motiviert und lernen
aktiv-konstruktiv.
Schüler/innen übernehmen die persönliche
Zeiteinteilung, Stationenauswahl
und Selbstkontrolle
Schüler/innen arbeiten selbstständiger.
Die Rolle der Lehrer/innen wandelt sich
vom Teaching zum Coaching
Die Schülerinnen und Schüler erweitern
ihre Medienkompetenz u. a. durch die
Kontrolle der Ergebnisse. Sie erwerben
wichtige Strategien zur Überprüfung
und Nutzung der technischen Hilfsmittel.
Die Schülerinnen und Schüler arbeiten
mit wechselnden Partnern zusammen.
Es entsteht eine angenehme und
fruchtbare Lernatmosphäre.
Das gesamte Konzept steht online im
Internet. Es lässt sich auch gezippt
downloaden. Das Unterrichtsarrangement
wird ausführlich beschrieben, die
Schülermaterialien sind selbstreferentiell.
Durch die Möglichkeit das Lerntempo weitgehend sowie die Lernmaterialien und den Schwierigkeitsgrad
zumindest teilweise selbst zu bestimmen, wird die Unterrichtsmethode „Lernen an
Stationen“ von den Schülerinnen und Schülern sehr gut angenommen. Die Aufmerksamkeit
und die Bereitschaft selbst zu lernen sind in der Regel deutlich höher als im traditionellen Unterricht.
Lehrerurteil
Durch die Anwendungsorientierung der Aufgabenstellungen wird zudem ein Bezug zur Lebenswirklichkeit
der Lernenden deutlich gemacht und eine zusätzliche Motivation geschaffen, sich
mit Mathematik auseinander zu setzen. Durch die Organisation von Stationen, die in Partneroder
in Gruppenarbeit zu bewältigen sind, werden auch Lernsituationen initiiert, in denen ge-
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SEMIK@work
meinsam gelernt wird und eine Interaktion zwischen Schülerinnen und Schülern über Mathematik
stattfindet. Durch die Möglichkeit und die Notwendigkeit, sich selbst zu kontrollieren und
sich selbst für eine bestimmte Station zu entscheiden, wird die Verantwortung für das eigene
Lernen und das Bewusstsein über eigene Stärken und Schwächen deutlich erhöht.
Empfehlungen
Wir empfehlen die Weiterführung dieses Konzepts durch die Übertragung auf andere Inhalte
des Faches Mathematik und anderer Fächer.
Übertragbarkeit
Lernen an Stationen erscheint dem Autorenteam als eine viel versprechende Unterrichtsmethode
auch für die Sekundarstufe II. Sie ermöglicht und fördert in besonders geeigneter Weise
das selbständige Lernen. Die Schwierigkeiten für einen häufigeren Unterrichtseinsatz liegen in
der äußerst aufwendigen Erstellung der einzelnen Stationen und in dem organisatorischen Problem,
einen geeigneten Raum in der Schule für längere Zeit entsprechend einzurichten. Dieses
Problem wird mit dem vorliegenden Projekt gelöst, da der Stationenzirkel „Matrizenrechnung“
vollständig als HTML-Version vorliegt, sodass ein Einsatz mit nur einer CD in einem entsprechenden
Computerraum einfach zu realisieren ist.
Anschlussplanungen
Das Konzept wurde bereits in einem zweiten Stationenzirkel zum Thema „Ganzrationale Funktionen“
(Jg. 11) umgesetzt und erprobt. Auch diese Materialien stehen im Netz zur freien Verfügung.
Verwendete Materialien
Zentrale Medien bei dieser Unterrichtseinheit sind der PC mit einem Internetbrowser und den
vorbereiteten HTML-Dateien und Programmen (z.B. LiveMath-Animationen, Videosequenzen,
Mathcad-Grafiken, Excel-Programm, Java-Applets) sowie der TI-89 mit seinem implementierten
Computeralgebrasystem.
Beide Medien dienen vor allem der Entlastung der Schülerinnen und Schüler von aufwendigen
Rechnungen durch die Benutzung eines Computeralgebrasystems und der Visualisierung von
mathematischen Zusammenhängen. Die Einbeziehung von sinnstiftenden Anwendungen wird
größtenteils dadurch erst möglich.
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Anlagen
Anlage 1:
Lernen an Stationen in der Sekundarstufe II –
eine Unterrichtsmethode, die Selbstlernen fördert
Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
Lernen an Stationen (synonym auch Stationenlernen und Lernzirkel) ist eine offene Unterrichtsform,
die aus dem Grundschulbereich stammt und inzwischen Eingang in die Sekundarstufe
I (vgl. Bauer 1997) auch der Gymnasien gefunden hat, in der Sekundarstufe II aber
noch wenig erprobt ist.
Diese Form des selbstständigen Arbeitens berücksichtigt unterschiedliche Lernvoraussetzungen,
unterschiedliche Zugänge und Betrachtungsweisen sowie unterschiedliches Lern- und Arbeitstempo
in besonderer Weise.
Den Schülerinnen und Schülern wird ein umfangreiches Angebot an Aufgaben zur Verfügung
gestellt, aus dem sie eigenverantwortlich auswählen. Die Bearbeitung der Aufgaben (einschließlich
Kontrolle und Korrektur) erfolgt weitestgehend selbstständig.
Ideal ist diese Unterrichtsform, wenn es möglich ist, einen Unterrichtsgegenstand so aufzubereiten,
dass er auf vielen verschiedenen Wegen erschlossen werden kann, so dass man möglichst
allen unterschiedlichen Lerntypen (haptisch, visuell, audiovisuell, intellektuell u.a.), die in
einer Lerngruppe vorhanden sind, gerecht werden kann. Für den Mathematikunterricht bedeutet
dies insbesondere eine Präsentation des Gegenstandes auf der enaktiven, der ikonischen
und der symbolischen Ebene. Dabei ist auch eine interaktive Darstellung durch einen
Computereinsatz anzustreben.
Es sind verschiedene Zielrichtungen eines solchen Unterrichts denkbar. Besonders geeignet ist
diese Methode für vertiefendes, individuelles Üben. Aber auch das Erschließen eines neuen
Unterrichtsgegenstandes ist auf diese Art möglich.
Die Organisation dieser Unterrichtsform, die mindestens über vier Stunden - angemessen sind
aber eher drei und mehr Doppelstunden - ablaufen sollte, ist aufwendig, da etwa 12-25 Stationen
vorbereitet werden müssen. Sie werden in der Regel in einem geeigneten Klassenraum an
den Wänden aufgebaut. Gearbeitet wird entweder an den Stationen oder die Schüler/innen
nehmen sich die Materialien (z.B. Arbeitsblätter) mit an ihren Arbeitsplatz. Es ist sinnvoll Stationen
mit unterschiedlichen Sozialformen anzubieten, damit sich dieser Unterricht nicht in
Einzelarbeit erschöpft, sondern auch Partner- und Gruppenarbeit berücksichtigt. Die Stationen
sollten nummeriert und farbig markiert sein. Die Farbe könnte Auskunft über den thematischen
Schwerpunkt, die Sozialform oder den Zugang geben. Da nicht alle Schüler/innen alle Stationen
bearbeiten sollen, ist es auf diese einfache Weise möglich das Lernen trotzdem zu strukturieren,
indem man gewisse Vorgaben macht, z.B.: Jeder muss wenigstens drei blaue, eine rote
und zwei gelbe Stationen bearbeiten. Die Schüler erhalten einen Laufzettel, auf dem sie notieren,
welche Stationen sie bearbeitet haben.
Literatur: Bauer, Roland: Schülergerechtes Arbeiten in der Sekundarstufe I: Lernen an Stationen.
Berlin: Cornelsen.
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SEMIK@work
Anlage 2:
Lernen an Stationen in der Sekundarstufe II –
Einbindung in den Unterricht
Die Einbindung der Unterrichtsmethode "Lernen an Stationen" in einen eher traditionell gestalteten
Unterricht kann ohne Schwierigkeiten erfolgen, sie muss allerdings sorgfältig vorbereitet
werden. Zunächst muss geklärt werden, ob der Stationszirkel nur zur Vertiefung bereits
behandelter Inhalte und/oder zur Erarbeitung neuer Inhalte dienen soll. Der hier vorgestellte
Stationszirkel zum Thema "Matrizenrechnung" ist ein Mischtyp. In Gruppen 1 und 2
(Einführung in die Matrizenrechnung und Geometrie der Matrizen) werden neue Inhalte selbstständig
erarbeitet. Die übergreifenden Aufgaben der Gruppe 3 (Prozesse und Matrizen) dienen
vor allem der Wiederholung, Übung und Vertiefung bekannter Inhalte (z. B. Grundlagen der
Matrizenrechnung, Berechnung von Eigenwerten) in neuen Kontexten.
Selbstverständlich kann die vorgelegte Konzeption ohne größeren Aufwand auf die eigene
Lerngruppe zugeschnitten werden, indem bestimmte Stationen weggelassen werden, die Aufgabenstellung
der einen oder anderen Station umformuliert wird oder einige wenige zusätzliche
Stationen hinzugefügt werden. Um den Schülerinnen und Schüler eine zielgerichtete Auswahl
der Stationen zu ermöglichen, sollten die einzelnen Stationen zu Beginn der Unterrichtsreihe
kurz vorgestellt werden. Dazu bietet sich ein Rundgang an, wenn alle Stationen aufgebaut
bzw. installiert sind.
Da in der Regel mehr Stationen angeboten werden, als von den Schülerinnen und Schülern in
der zur Verfügung gestellten Zeit bearbeitbar sind, können Stationen, an denen außer ausdruckbaren
Arbeitsblättern keine weiteren Materialien bereit gehalten werden auch als Fundus
für Hausaufgaben genutzt werden. Sie müssen dann in der folgenden Stunde von den Schülerinnen
und Schülern anhand der an den Stationen deponierten Lösungen selbst kontrolliert
werden.
Selbstverständlich kann die Arbeit an den Stationen wie im traditionellen Unterricht als Sonstige
Mitarbeit bewertet werden. Denkbar ist auch, dass das Stationenlernen mit einer Leistungsüberprüfung
in Form einer schriftlichen Übung oder einer Klausur abschließt.
Zumindest ist die inhaltliche Zusammenführung der Lerngruppe und der Anschluss an den
weiteren Unterricht überlegt zu organisieren. Da nicht alle Schülerinnen und Schüler dieselben
Stationen bearbeiten, ist es empfehlenswert durch die Ausweisung von Pflichtstationen eine
inhaltliche Grundlage zu schaffen, an die angeknüpft werden kann. Z. B. muss die Erarbeitung
wichtiger neuer Inhalte selbstverständlich Pflicht sein. Es empfiehlt sich, während der Arbeit an
dem hier vorgestellten Stationszirkel der Lerngruppe eine umfangreiche Hausaufgabe zu stellen,
die zur ersten Stunde nach Beendigung der Arbeit an den Stationen anzufertigen ist. Diese
Hausaufgabe verlangt die Bewältigung aller wichtigen (vor allem der neuen) Aspekte des Themas.
Ihre Besprechung dient dann als Zusammenführung der Lerngruppe und als Übergang
in eine andere Unterrichtsform.
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Anlage 3: Kurzbeschreibung der Lernstationen
Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
Zielgruppe: Jahrgangsstufe 12
Inhaltliche Voraussetzungen: Vektorbegriff, geometrische Abbildungen (Kenntnisse
aus der Sek.I)
Neu zu erarbeitende Inhalte: Addition von Matrizen, Vervielfachen von Matrizen,
Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation, Potenzen von Matrizen, Bestimmung
der inversen Matrix, Anwendungen.
Methodische Voraussetzungen: Umgang mit einem Computeralgebrasystem
(z.B. Derive oder TI-89)
Gliederung in 4 Aufgabengruppen:
Gruppe 1: Einführung in die Matrizenrechnung
Gruppe 2: Geometrie der Matrizen
Gruppe 3: Prozesse und Matrizen
Gruppe 4: Wiederholung der Begriffe
Aus jeder Gruppe sind mindestens drei Aufgaben zu bearbeiten.
Um zu gewährleisten, dass alle Rechenoperationen erarbeitet werden, müssen jeweils eine
Station mit dem Symbol �, eine Station mit dem Symbol �, eine Station mit dem Symbol �
und eine Station mit dem Symbol �bearbeitet werden.
Die Lösungen liegen jeweils an der Station zur eigenverantwortlichen Kontrolle und Hilfe bereit.
Die geeignete Arbeitsform an den einzelnen Stationen ist durch folgende Symbole angezeigt:
Einzelarbeit Partnerarbeit Gruppenarbeitt
Die Schülerinnen und Schüler erhalten einen Laufzettel, auf dem sie notieren, welche Stationen
sie bearbeitet haben. Dieser Laufzettel steht auch als Word-Dokument zur Verfügung.
Wichtiger Hinweis: Einige Seiten wurden mit dem Programm MathView (inzwischen unter
dem Namen LiveMath vertrieben) erstellt. Damit die Arbeitsblätter vom Browser verarbeitet
werden können, muss zuerst ein entsprechendes Plug-In installiert werden. Sie finden das
Plug-In unter dem folgenden Link: Plugin Mathview. Das Plugin läuft am besten unter Netsscape,
allerdings funktioniert das Javascript, das bei zwei der Aufgaben (bei den Stationen 8
und 10) benutzt wird, unter Netscape nicht einwandfrei.
Stationsübersicht
Gruppe 1: Einführung in die Matrizenrechnung
Station 1: Produktions- und Auslieferungsplanung - einfache Matrizenoperationen
Voraussetzungen: keine
Inhalt: Anhand von Bestellmatrizen wird das Vervielfachen einer Matrix mit einer reellen Zahl
und die Addition von Matrizen eingeführt und eingeübt.
Medien: HTML- Datei mit interaktiven Übungen
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SEMIK@work
Station 2: Fit for life - Einführung in die Matrizenmultiplikation
Voraussetzungen: Begriff des Vektors als Zahlentupel und der Matrix als Zahlenschema
Inhalt: Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation und der Matrizenmultiplikation anhand einer
Anwendung aus dem Fitnessbereich
Medien: HTML- Datei mit interaktiven Übungen
Station 3: Mehrstufige Produktionsprozesse
Voraussetzungen: Begriff des Vektors als Zahlentupel und der Matrix als Zahlenschema
Inhalt: Anwendung der Matrizenmultiplikation bei Materialverflechtungsprozessen, Assoziativgesetz
Medien: HTML- Datei oder Karteikarte
Station 4: Auch für Matrizen gelten Gesetze
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation, Matrizenaddition, Vervielfachen
einer Matrix
Inhalt: Anhand von Beispielen werden Rechenoperationen geübt und Gesetzmäßigkeiten vermutet.
Das Assoziativgesetz wird exemplarisch für 2x2-Matrizen bewiesen.
Medien: HTML- Datei oder Karteikarte
Station 5: Gauß'scher Algorithmus - Vereinfachen von Matrizen
Voraussetzungen: keine
Inhalt: Idee des Gauß´schen Algorithmus, elementare Umformungen, Ansätze zu Fragen der
Diagonalisierbarkeit
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 6: Codierung von Nachrichten
Voraussetzungen: Lösen von linearen Gleichungssystemen (Gauß'scher Algorithmus)
Inhalt: Berechnung einer inversen Matrix, Einheitsmatrix
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte mit Aufgabenstellung
Gruppe 2: Geometrie der Matrizen
Station 7: Geometrische Abbildungen in der Ebene
Voraussetzungen: Vektor-Begriff, Grundkenntnisse geometrische Abbildungen
Inhalt: Definition der Matrix-Vektor-Multiplikation durch lineare Abbildungen
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 8: Elementare Abbildungen in der Ebene
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation
Inhalt: Veranschaulichung elementarer Abbildungen der Ebene, die durch Matrizen gegeben
werden.
Medien: HTML-Datei, laminiertes Koordinatensystem
Station 9: Eine Drehung im Raum
Voraussetzungen: Matrix-Vektor-Multiplikation, Begriff der Abbildungsmatrix, Kenntnis der
wichtigsten Abbildungsmatrizen in der Ebene, Gauß Algorithmus Inhalt: Bestimmung der Matrix
einer Abbildung im dreidimensionalen Raum mit Hilfe der Matrix-Vektor-Multiplikation und
des Gauß Algorithmus
Medien: HTML-Datei
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Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
Station 10: Grundlegende Elemente der Computergrafik - Abbildungen in der Ebene
durch Matrizen
Voraussetzungen: Matrix-Begriff, Matrizenmultiplikation, Darstellung von ebenen Figuren durch
Matrix ihrer Eckkoordinaten.
Inhalt: Durch Ausprobieren sollen die Abbildungsmatrizen für einfache geometrische Abbildungen
(Drehungen, Spiegelungen, Streckungen) gefunden werden
Medien: HTML-Datei mit MathView-Plugin und interaktiven Übungen
Station 11: Matrixprodukt und Abbildungen
Voraussetzungen: Begriff der Abbildungsmatrix, Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen
in der Ebene, Matrizenmultiplikation.
Inhalt: Veranschaulichung des Matrixproduktes B*A in der Ebene durch die Hintereinanderausführung
von zwei Abbildungen, die durch die Matrizen B und A gegeben sind.
Medien: HTML-Datei
Station 12: Umkehrabbildungen
Voraussetzungen: Matrizenmultiplikation, Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen der
Ebene
Inhalt: Veranschaulichung von verketteten Abbildungen, Finden einer Umkehrabbildung, Begriff
der inversen Matrix
Medien: HTML- Datei mit MathView-Plugin
Station 13: Animation durch Matrizen - Abbildungen in der Ebene durch Matrizen
Voraussetzungen: Matrix-Begriff, Matrizenmultiplikation, Darstellung von ebenen Figuren durch
die Matrix ihrer Eckkoordinaten.
Inhalt: Anhand von zwei vorgegebenen Animationen soll durch Ausprobieren (Verändern einer
vorgegebenen Matrix) erkannt werden, dass durch wiederholte Multiplikation mit einer Abbildungsmatrix
(Matrizenpotenz) ein Bewegungsablauf erzeugt werden kann.
Medien: HTML-Datei mit MathView-Plugin
Station 14: Potenzen von Matrizen
Voraussetzungen: Begriff der Abbildungsmatrix, Matrixmultiplikation, Abbildungsverkettung
durch Matrixmultiplikation, Kenntnis der wichtigsten Abbildungsmatrizen in der Ebene
Inhalt: Mehrfache Verkettung einer Drehung in der Ebene
Medien: HTML-Datei
Gruppe 3: Prozesse und Matrizen
Station 15: Markoff-Kette
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung
Inhalt: Einführung in die Beschreibung von Prozessen durch Matrizen. Anhand der Kunden eines
Bekleidungsunternehmens werden die grundlegenden Begriffe Markoff-Kette, Übergangswahrscheinlichkeit,
Übergangsmatrix, stochastische Matrix und Grenzverteilung eingeführt.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte; CAS notwendig.
Station 16: Biesbosch
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung, Potenzen von Matrizen
Inhalt: Mithilfe der Matrizenrechnung werden die Veränderungen im holländischen Naturschutzgebiet
Biesbosch nach einem Dammbau und die Auswirkungen möglicher Maßnahmen
simuliert.
Medien: HTML-Datei mit MathView-Plugin
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Station 17: Marktforschung - Wandern von Kundenstämmen
Voraussetzungen: Matrix-Vektormultiplikation, Matrizenmultiplikation.
Inhalt: Potenzen von Matrizen beschreiben Zustände in Prozessen. Hier handelt es sich um
"stochastische" Matrizen", mögliches Anschlussproblem:die Abhängigkeit des Grenzprozesses
vom Startwert.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte.
Station 18: Schulfest
Voraussetzungen: Matrizenmultiplikation, stochastische Matrix, *vollständige Induktion, inverse
Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren
Inhalt: Anhand der Anwendungssituation eines Schulfestes werden die Veränderungen der Besucherströme
untersucht. In einem Teil mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad wird die Bestimmung
von Eigenwerten und Eigenvektoren und die Berechnung einer inversen Matrix verlangt.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte
Station 19: Evolutionäre Algorithmen
Voraussetzungen: Grundlagen der Matrizenrechnung
Inhalt: An dem relativ einfachen und überschaubaren Problem der Optimierung einer Konservendose
werden die Grundideen der in der industriellen Anwendung bedeutsamen Evolutionären
Algorithmen eingeführt.
Medien: HTML-Datei und Excel-Dokument
Gruppe 4: Wiederholung der Begriffe
Station 20: Mindmap - Matrizenrechnung
Voraussetzungen: Bearbeitung von mindestens 8 Stationen
Inhalt: Die in dem Lernzirkel erarbeiteten Matrizenoperationen werden in einer Mindmap zusammengestellt.
Zu jeder Operation muss ein geometrisches Beispiel und ein Anwendungsbeispiel
aus der Wirtschaft gefunden werden.
Medien: HTML-Datei oder Karteikarte mit Mindmap und Kärtchen mit Stichworten zum Zuordnen
Station 21: Matrizen-Domino
Voraussetzungen: Bearbeitung von mindestens 8 Stationen
Inhalt: Die in dem Lernzirkel erarbeiteten Begriffe und Regeln müssen sinnvoll zusammengesetzt
werden.
Medien: Dominosteine und Aufgabenstellung.
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Anlage 4: Laufzettel
Lernen an Stationen: Matrizenrechnung
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