Grundlagen der Stochastik - Georg-August-Universität Göttingen

10 1 Grundbegriffe
1.16 Lemma (weitere Rechenregeln):
Sei (Ω,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. A,B und Ai seien Ereignisse für i ∈ N. Dann gilt:
(R3) P(A) = 1 − P(A c )
(R4) P(A) ≤ 1 für alle A ⊂ Ω
(R5) P(A \ B) = P(A) − P(B) falls B ⊂ A
(R6) P(B) ≤ P(A), wenn B ⊂ A (Monotonie)
(R7) Für beliebige endliche oder unendliche Folgen A1,A2,A3,... gilt (Boole’sche Ungleichung)
�
�
P
�
≤ �
P(Ai)
i
Ai
(R8) Falls A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ ..., so gilt (Stetigkeit von unten)
�
∞�
�
P Ai = lim P(Ai)
i→∞
i=1
(R9) Falls A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ..., so gilt (Stetigkeit von oben)
�
∞�
�
P Ai = lim P(Ai)
i→∞
Beweis:
i=1
Zum Beweis werden nur die Kolmogoroff-Axiome sowie die Folgerungen (R1) und (R2) benutzt:
(R3) Es gilt Ω = A ∪ Ac mit A,Ac disjunkt und damit 1 (A2)
= P(Ω) = P(A ∪ Ac ) (R2)
Durch Umstellen erhält man P(A) = 1 − P(A c ).
(R4) Da P(A c ) (A1)
≥ 0 folgt mit (R3) P(A) = 1 − P(A c ) ≤ 1.
i
= P(A) + P(A c ).
(R5) Da A = (A \ B) ∪ B eine disjunkte Vereinigung ist, gilt laut (R2) P(A) = P(A \ B) + P(B).
(R6) Nach Rechenregel (R3) ist P(B) = P(A) −P(A \B). Außerdem ist P(A \B) (A1)
≥ 0 und es folgt die
Behauptung.
(R7) Setze B1 := A1,B2 := A2 \ A1,B3 := A3 \ (A1 ∪ A2),... d.h.
Bn := An \ (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An−1) für n ∈ N
Die Bi sind paarweise disjunkt und Bi ⊂ Ai für alle i ∈ N. Es gilt also
�
Bi = �
und damit
P
� �
i∈N
Ai
�
= P
(R8) Setze die Bi wie eben. Dann gilt:
�
∞�
P
i=1
� �
Ai
i∈N
�
i∈N
Bi
�
(A3)
= P
(A3)
=
i∈N
Ai
�
= P(Bi) (R4)
≤ �
P(Ai)
i∈N
� ∞�
i=1
Bi
∞�
P(Bi)
i=1
= lim
n→∞
i=1
(R2)
= lim
n→∞ P
�
n�
P(Bi)
� n�
i=1
= lim
n→∞ P(An)
Bi
�
i∈N