Grundlagen der Stochastik - Georg-August-Universität Göttingen

28 2 Kombinatorik
2.2 Das Stimmzettelproblem
Die Auszählung der Stimmen einer Wahl hat ergeben: Kandidat A gewinnt mit a Stimmen gegenüber
Kandidat B mit b Stimmen, a > b. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
2.17 Satz:
Wenn a > b, so ist
E:= ” A liegt während der gesamten Auszählung in Führung“.
und hängt damit nur vom Quotienten b
a ab.
Beweis:
P(E) =
1 − b
a
1 + b
a
Wir stellen die Auszählung der Stimmzettel als Pfad da. Der Pfad
entspräche dann also der Auszählung
“B,B,A,A,A,B,A,A,B“
” erste Stimme für B, zweite Stimme für B, dritte Stimme für A usw. “
Graphisch kann man sich diesen beispielhaften Pfad wie folgt verdeutlichen:
Stimmen für A
Wir betrachten dazu also
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
Stimmen für B
Abbildung 1: Der Auszählungspfad ” B,B,A,A,A,B,A,A,B“
Ω = {Pfade von (0,0) nach (b,a)}
als Laplace-Raum. Ein Pfad aus Ω wird offenbar schon durch die Zeitpunkte der A-Stimmen eindeutig
festgelegt und hat logischerweise Länge a + b, daher gilt
� �
a + b
#Ω =
b
Wir wollen Ω jetzt disjunkt zerlegen. Sei dazu
E1 = {Pfade oberhalb der Diagonalen}
E2 = {Pfade durch (0,1) , die nicht oberhalb der Diagonalen liegen}
E3 = {Pfade, die durch (1,0) verlaufen}
Da jeder Pfad, welcher oberhalb der Diagonalen verläuft, automatisch durch (0,1) verlaufen muss, gilt
dann
3�
Ω =
i=1
Ei