Grundlagen der Stochastik - Georg-August-Universität Göttingen

8 1 Grundbegriffe
1.1.2 Relative Häufigkeiten
Wir wollen nun Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Unsere Motivation dafür sind sogenannte
relative Häufigkeiten:
1.8 Definition:
Sei Ω0 ein diskreter Grundraum. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses A ⊆ Ω0 in einer Folge von
Relationen ω1,ω2,...,ωn aus gleichwertigen Experimenten ist definiert als
Beispiel 1.9:
rn (A) := 1
n # {j = 1,...,n | ωj ∈ A}
Bei 300 Würfen einer Reißzwecke landet 124 mal die Spitze oben, sonst landet der Kopf oben. Sei ” 1“
das Ergebnis ” Spitze nach oben“ und ” 0“ das Ergebnis ” Kopf nach oben“. Dann ist
Ω := {0,1} 300 = {(ω1,...,ω300) | ωi ∈ {0,1} ∀ 1 ≤ i ≤ 300}
ein geeigneter Grundraum für dieses Experiment. Außerdem setzt man Ω0 := {0,1} als den Grundraum
für einen einfachen Wurf der Reißzwecke fest. Entsprechend ist für n = 300 also
und es gilt rn ({1}) = 1
300 · 124.
Ω = Ω n 0
Wir wollen nun einige offensichtliche Eigenschaften relativer Häufigkeiten in einem Lemma festhalten:
1.10 Lemma:
Es gelten die folgenden Relationen:
• 0 ≤ rn (A) ≤ 1 ∀ A ⊆ Ω0.
• rn (Ω0) = 1.
• rn (A + B) = rn (A) + rn (B) für A,B ⊆ Ω mit A ∩ B = ∅.
Die Idee ist nun, dass die relativen Häufigkeiten rn (A) für n ��
∞ gegen die Wahrscheinlichkeit P (A)
eines Ereignisses A konvergieren. Das macht in sofern Sinn, dass man beobachten kann, wie sich die
relativen Häufigkeiten für immer größer werdendes n stabilsieren. Um diese Aussage auch beweisen zu
können, brauchen wir nun eine geeignete Axiomatik.
1.1.3 Axiomatik nach Kolmogoroff (1939)
1.11 Definition:
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω,P), wobei Ω ein diskreter Grundraum und
P eine auf den Teilmengen P (Ω) definierte reellwertige Funktion ist, welche die folgenden Axiome erfüllt:
(A1) Positivität
Es gilt P (A) ≥ 0 für alle A ⊆ Ω.
(A2) Normiertheit
Es gilt P (Ω) = 1.
(A3) σ-Additivität
Für jede Folge paarweise disjunkter Teilmengen A1,A2,... ⊆ Ω gilt
�
∞�
�
∞�
P = P (Ai)
i=1
Ai
P heißt Wahrscheinlichkeitsmaß oder auch (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung auf Ω. P(A) ist die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ⊂ Ω.
i=1