Grundlagen der Stochastik - Georg-August-Universität Göttingen

26 2 Kombinatorik
Beweis:
Für A1 gibt es � � k
Möglichkeiten, Elemente auszuwählen. Dann ist #(A \ A1) = k − k1 und es gibt für
k1
A2 nur noch � � k−k1 Möglichkeiten, Elemente auszuwählen. Für A3 bleiben k2
� � k−k1−k2 Möglichkeiten usw..
k3
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten A in Teilmengen der Größe k1,...,kn zu zerlegen beträgt also
� � � � � � � �
k k − k1 k − k1 − k2 k − k1 − k2 − ... − kn−1
· ·
· ... ·
=
=
Das zeigt die Behauptung.
k1
k2
k!
k1!(k − k1)! ·
k!
k1! · k2! · ... · kn!
k3
(k − k1)!
k2!((k − k1 − k2)! ·
Beispiel 2.12 (zum Vergleich zu Beispiel 2.7):
Wir wollen nun das obige Beispiel noch einmal bzgl. des Grundraums
kn
(k − k1 − k2)!
· ... ·
k3!(k − k1 − k2 − k3)!
ΩI = {(a1,...,ak) | ai ∈ 1,...,n für 1 ≤ i ≤ k}
und der Laplace-Verteilung betrachten. Es werden 10 von 1 bis 10 nummerierte Kugeln auf 6 Fächer
verteilt. ai ist das Fach der i-ten Kugel. Sei
Ak1,k2,...,k6 = {(a1,...,a6) | genau k1 der ai’s sind 1, k2 der ai’s sind 2, ..., kn der ai’s sind 6}
Laut Lemma 2.11 ist
und daher gilt
Einsetzen in (2.2) liefert nun
#Ak1,...,k6 =
P(Ak1,k2,...,kn
�
k
k1,...,k6
�
1 k!
) = ·
nk k1! · ... · kn!
P(A3,0,2,4,0,1) =
1
610 ·
10!
≈ 0,0002
4! · 0! · 2! · 3! · 0! · 1!
P(A10,0,0,0,0,0) = 1 10!
· ≈ 0,000000017
610 10!
P(A2,2,2,2,1,1) = 1 10!
·
≈ 0,0037
610 2! · 2! · 2! · 2! · 1! · 1!
Trotzdem: Gewisse Elementarteilchen (Bosonen) verteilen sich auf verschiedene Energiezustände gemäß
der Laplace-Verteilung auf ΩIV.
2.1 Binomial- und Hypergeometrische Verteilung
Wir betrachten eine Urne mit N Kugeln, wobei R rote Kugeln und N − R weiße Kugeln enthalten sind.
Daraus wird eine Stichprobe im Umfang von n Kugeln auf 2 Arten (mit und ohne Zurücklegen) gezogen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit genau r rote Kugeln zu ziehen.
2.1.1 Ziehen mit Zurücklegen (Binomialverteilung)
Gegeben sei
ΩI = {(a1,a2,...,an) | 1 ≤ ai ≤ N}
mit der Laplace-Verteilung. Es seien die Kugeln 1,2,...,R die roten Kugeln. Gesucht ist P(Er), wobei
Er = {(a1,a2,...an) | #{i | ai ∈ {1,2,...,R}} = r}
Er entspricht den r roten Kugeln, anders gesagt den r ” Erfolgen“.
Wir wollen nun #Er bestimmen:
Sie I ⊂ {1,2,...,n} die Indexmenge der Ziehungen, bei denen eine rote Kugel gezogen wurde. Dann ist
Er die disjunkte Vereinigung aller Ereignisse
EI = {(a1,a2,...,an) | ai ∈ {1,2,...,R} ⇔ i ∈ I}
� kn
kn
�
(2.2)