Grundlagen der Stochastik - Georg-August-Universität Göttingen

8 Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse 87
8 Erzeugende Funktion und Verzweigungsprozesse
In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass man Wahrscheinlichkeitsverteilungen Funktionen 3 zuordnen
kann, sodass kompliziertes Rechnen mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen (z.B. Faltungen) zum einfachen
Rechnen mit den zugehörigen Funktionen wird (z.B. Produkt der Funktionen).
In der Wahrscheinlichkeits- und Maßtheorie wird dies bei Momenterzeugenden Funktionen und bei
Fourier-Transformationen genutzt.
Wir betrachten hier nun als einfacheres Beispiel für analytische Methoden:
8.1 Definition (Erzeugende Funktion):
Sei X eine diskrete Zufallsvariable auf dem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P) mit Werten in N0.
Sei pk = P(X = k) für k ∈ N0. Die erzeugende Funktion (der Verteilung) von X ist die Funktion
Bemerkung 8.2:
Wegen gX(1) = ∞�
k=0
Insbesondere gilt gX(1) = 1.
gX(t) :=
∞�
k=0
pk · t k .
pk = 1 und pk ≥ 0 folgt, dass gX(t) für alle t ∈ [−1,1] konvergiert (sogar absolut).
Folglich können wir den Differenzierbarkeitssatz für Potenzreihen anwenden, das liefert das folgende
8.3 Lemma:
Für t ∈ (−1,1) ist die j-te Ableitung gegeben durch
8.4 Satz:
g (j)
X (t) =
∞�
k · (k − 1) · ... · (k − j + 1) · pk · t (k−j) .
k=j
Die Verteilung von X ist durch gX festgelegt.
Beweis:
Es gilt P(X = 0) = p0 = gx(0) und mit obigem Lemma g (j)
x (0) = j! · pj, das heißt
Es folgt die Behauptung.
Beispiel 8.5:
Sei X ∼ Poi(λ). Dann gilt
k=0
pk
P(X = j) = 1
· g(j)
X j! (0).
∞�
gX(t) = exp(−λ) · λk
·t
� ��
k!
�
k ∞� (λt)
= exp(−λ)
k
= exp(−λ) · exp(λ · t)
k!
Diese Funktion sieht für λ = 2 wie folgt aus:
3 Das meint entweder R
2
1
k=0
−1 0 1 t
Abbildung 10: Die erzeugende Funktion gX für X ∼ Poi (2).
��
R oder C
��
C!