institutsbericht - Institut für Geometrie und Topologie - Universität ...

in der Arbeit [40]. Weitere konkrete Triangulierungen höherdimensionaler Mannigfaltigkeiten
wurden in [3] gefunden. Speziell geht es um ein Beispiel einer 16-Ecken-
Triangulierung von (S 2 ×S 2 ) #7 , die sich 2-Hamiltonsch in das 4-dimensionalen Skelett
des 8-dimensionalen Kreuzpolytops einbetten lässt. Dies ist ein Fall von Gleichheit in
einer Ungleichung, die erstmals 1997 in der Dissertation von Eric Sparla (am damaligen
Math. Inst. B) angegeben wurde.
7. W.Kühnel: Polyedrische Gitter-Zerlegungen
in Zusammenarbeit mit Prof.U.Brehm (TU Dresden)
Gitter-Triangulierungen des 3-dimensionalen Raumes sowie triangulierte 3-Tori als
Quotienten davon wurden in der Arbeit [44] untersucht, eine Kurzversion steht in [12].
Im Anschluss daran stellt sich die Frage, wie das in höheren Dimensionen aussehen
mag. Insbesondere die lokal höchstsymmetrischen Fälle scheinen klassifizierbar, auch
wenn die Bausteine keine Simplices sind, sondern Würfel, Rhombendodekaeder etc.
Dies ist das Ziel eines weiteren Projekts, das noch nicht abgeschlossen ist.
8. W.Kühnel: geometrische Einbettungen von Graphen
in Zusammenarbeit mit Prof. Jin-ichi Itoh (U Kumamoto, Japan)
Einbettungen von Graphen in den euklidischen Raum sind geometrisch besonders ausgezeichnet,
wenn keine Hyperebene den graphen in mehr als zwei Zusammenhangskomponenten
zerlegt (sog. Zwei-Stück-Eigenschaft, TPP). Es gab die Vermutung, dass jeder
4-zusammenhängende Graph eine solche Einbettung in den 3-dimensionalen Raum
zulässt. Während des Gastaufenthaltes von J.Itoh an der Universität Stuttgart im
Jahre 2010 wurde dies jetzt bewiesen unter Verwendung von neueren Resultaten von
Matthias Kriesell (Odense, DK) über nichtzerlegende Teilgraphen.
Preprint: J. Itoh & W. Kühnel, Convex and two-piece-property embeddings of graphs,
http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiffgeo/Kuehnel/preprints/conv5.pdf
9. W.Kühnel: Straffe Flächen mit Rand
in Zusammenarbeit mit Dr. Gil Solanes (UAB Barcelona)
Eine kompakte Fläche M mit oder ohne Rand im euklidischen Raum heißt straff, wenn
die totale Absolutkrümmung ihren minimal möglichen Wert annimmt. Für Flächen mit
Rand ist dies äquivalent zu der Gleichung � �
|K|do + |κ|ds = 2π(2 − χ(M).
M\∂M ∂M
Die Existenz straffer Flächen mit mehreren Randkomponenten war bekannt, aber für
genau eine Randkomponente war sehr wenig bekannt, z.B. die Nicht-Existenz eines
straffen differenzierbaren Möbiusbandes. In einer Ankündigung (Bull. AMS 80 (1974),
361-362) hatte J.White behauptet, es gäbe keine straffen differenzierbaren Flächen
im E3 , die orientierbar vom Geschlecht g ≥ 1 sind und genau eine Randkomponente
haben. Polyedrische Beispiele waren seit längerem bekannt. Im Anschluss daran
wurde jetzt die Behauptung von White widerlegt: Für jede orientierbare Fläche vom
Geschlecht g ≥ 1 und für alle nichtorientierbaren Flächen mit χ = −3 oder χ ≤ −5
gibt es straffe differenzierbare Immersionen in den E3 mit genau einer Randkomponente.
Dabei muss notwendig die konvexe Hülle des Randes mit der konvexen Hülle
der ganzen Fläche übereinstimmen. Im Falle des gelochten Torus M mit χ(M) = −1
verteilt sich die Krümmung wie folgt: �
�
|K|do = 2π, |κ|ds = 4π.
Veröffentlichung: [45]
M\∂M
3
∂M