institutsbericht - Institut für Geometrie und Topologie - Universität ...

Rahmen des Tractor-Kalküls. Genaugenommen stellt diese Formulierung eine sinnvolle
Erweiterung dar, die in der Theorie der sogenannten fast-Einsteinschen Räume
mündet. Fast-Einsteinsche Räume können als konforme Vervollständigung von asymptotisch
flachen und hyperbolischen Einstein-Räumen interpretiert werden.
Dieses Projekt hat zum Ziel die geometrische Untersuchung und Konstruktion von fast-
Einsteinschen Räumen und ihre Beziehung zu den Fefferman-Graham-Ambientmetriken.
Ein Ansatz zur Konstruktion sind verallgemeinerte warped-products und Konstruktionen
in Kohomogenität 1. Allgemein stellt sich auch die Frage nach Obstruktionen zur
Existenz von fast-Einsteinschen Metriken auf kompakten Räumen und deren Vergleich
mit Obstruktionen im Einstein-Fall.
Veröffentlichungen: [16], [17], [20], [22], [36]
14. F. Leitner: Klassifikation der konformen Holonomiegruppen
Klassische Untersuchungsobjekte der Riemannschen Geometrie sind Krümmung, Geodäten,
Holonomie- und Isometriegruppen. Die konforme Geometrie unterscheidet sich
von ihrere grundlegenden Struktur her sehr stark von der Riemannschen Geometrie.
In der Tat muss man die konforme Geometrie zur Klasse der parabolischen Geometrien
zählen. Dies hat zur Folge, dass bei der Untersuchung andere Methoden wie die
Cartan-Geometrie und das Tractor-Kalkül zur Anwendung kommen. Interessanterweise
ermöglichen diese Methoden der parabolischen Geometrie wiederum eine invariante
Definition der Krümmung, Holonomie und auch der Geodäten.
Ziel unseres Projektes ist es eine algebraische und geometrische Klassifikation der
konformen Holonomiegruppen zu erzielen. Dafür wurden bereits durch die allgemeine
Fefferman-Konstruktion Vorarbeiten geleistet. Die Fefferman-Konstruktion ist grundlegend
für die Klassifikation der irreduziblen Holonomiegruppen. Auf der anderen Seite
ist die Theorie der fast-Einstein-Räume grundlegend für die Klassifikation und Beschreibung
der zerlegbaren Holonomie. In beiden Fällen wurden im Berichtszeitraum
Fortschritte erzielt.
Veröffentlichungen: [16], [19], [22]
M. Stroppel: Nilpotente Lie-Algebren niedriger Dimension: Klassifikation,
Automorphismen
In Zusammenarbeit mit StR Michael Gulde, Dusslingen
Nilpotente Lie-Algebren treten in vielen innermathematischen Fragestellungen, aber
auch in Anwendungen etwa in der Physik auf. Physikalisch sind als Grundkörper
nur die reellen oder komplexen Zahlen von Interesse, innermathematisch und in der
Informatik erscheinen beliebige (insbesondere endliche) Körper relevant. Für Algebren
höherer Dimension wird das Klassifikationsproblem schnell unlösbar hart (selbst über
algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik 0). Dagegen lassen sich für
kleine Dimensionen und unter weiteren Restriktionen (kleine Nilpotenzklasse) spezielle
Argumente entwickeln, die auf klassischer Liniengeometrie beruhen. Ergebnisse aus
diesem Projekt werden auch für das Studium von Gruppen mit vielen Automorphismen
benötigt.
Veröffentlichungen: [49]
M. Stroppel: Polaritäten und polare Unitale in projektiven Ebenen
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