Praktikumsbericht - Astronomisches Zentrum Magdeburg

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerEinleitungAb Oktober 2012 beginne ich ein Studium der Angewandten Mathematik an der FH Bielefeld.Um mich auf das Studium vorzubereiten, suchte ich im Internet geeignetePraktikumsmöglichkeiten. Dabei stieß ich auf die Webseite der Astronomischen GesellschaftMagdeburg e.V., die für Schüler, Studenten und interessierte Wissenschaftler Praktika sowiedie Betreuung wissenschaftlicher Projekte anbietet.Ich fand ein Thema auf dem Gebiet der Erforschung dunkler Materie spannend und meldetemich für das Praktikum an, welches ich vom 20.06.2012 bis zum 30.06.2012 durchführte.Im Rahmen des Praktikums beschäftigte ich mich mit der Computersprache Delphi XE2,Methoden der numerischen Integration, dem Aufbau von Spiralgalaxien sowie derDichteverteilung und den Problemen mit der dunklen Materie. Konkret ging es in meinerArbeit darum, eine Dichteverteilung zu finden, welche für große Abstände vom galaktischenZentrum auf eine konstante Rotationskurve führt, ohne kugelsymmetrisches dunkles Halo umdie Galaxie. Dafür musste ich die gewonnen Erkenntnisse über numerischeIntegrationsverfahren anwenden, ein Computersimulationsprogramm schreiben undpotentielle Kandidaten geeigneter Dichteprofile testen.Unterstützt wurde ich in meiner Arbeit von Herrn Dr. Retzlaff, der mir half, mich schnell in dieMaterie einzuarbeiten. Für diese Unterstützung und das ausgesprochen interessante Praktikummöchte ich mich recht herzlich bedanken.Teil 1 des PraktikumsIn der ersten Woche hatte ich die Aufgabe, mich in die Computersprache Delphieinzuarbeiten. Dazu erhielt ich einen Beispielquelltext eines fertigen Programms und fertigteeine Übersicht über die verwendeten Befehle und Ausdrücke an sowie eine Beschreibungdieser an. Anschließend hatte ich Zeit, mich mit verschiedenen Verfahren der numerischenIntegration zu beschäftigten, das waren Integration mithilfe der Sehnen-Trapez-Regel, derKeplerschen Fassregel und Simpsonschen Regel. Zusammenfassung der Regeln:Es soll das IntegralxbI f x)dxxay f (x) und es ist y i f ( x i) ,ib a x NSchrittweite der Integration istSehnen-Trapez-Regel( numerisch berechnet werden. Im Integral steht die Funktionx ist eine Stützstelle der Funktion,. N ist die Anzahle der Intervalle.x i a i x. DieIb a y2NN 1y Ny i i102Keplersche FassregelIx31 y0 4 ySimpsonsche Regelb a y3N1 y2y y ... y 4y y y I ,N ist eine gerade Zahl.0 yN 22 4N 21 3...N 1

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerAuf Basis dieser Regeln habe ich verschiedene Funktionen mit einem selbst geschriebenenProgramm numerisch integriert und die Ergebnisse mit analytischen Rechnungen verglichen,um zu prüfen, ob die Programme richtig laufen.Teil 2 des PraktikumsMotivationIn der zweiten Woche habe ich mich mit Rotationen von Scheibengalaxien, wie zum Beispielder Milchstraße beschäftigt. Die Rotation der Galaxien ist eng verbunden mit der Frage derdunklen Materie und der Strukturbildung im Universum. Bei Untersuchungen der sogenanntenkosmischen Hintergrundstrahlung 1 mit dem Satelliten Planck hatte man im Jahre 1996 eineextrem homogene Strahlungsverteilung festgestellt. Nach den Vorstellungen über dieGalaxienentstehung sollten Galaxien dadurch entstehen, dass kleine Dichteschwankungenzu örtlichen Verdichtungen führten, die sich schließlich zu Galaxien entwickelten. DieseDichteschwankungen sollten sich eigentlich in Schwankungen der Hintergrundstrahlungausdrücken. Doch es zeigte sich sehr schnell ein Problem bei numerischen Untersuchungenzur Galaxienbildung (Navarro, Frenk, White, 1995). Man stellte fest, dass dieDichteschwankungen, die sich aus den Schwankungen der Hintergrundstrahlung ergaben,nicht ausreichten, um Galaxien zu bilden. So erschien es notwendig, zusätzliche nichtbeobachtbare Materie anzunehmen, damit die Galaxienbildung ermöglicht wurde – diesogenannte dunkle Materie 2 . Gegenwärtig ist die Auffassung verbreitet, dass sich zunächstdie dunkle Materie verdichtet hat und durch ihre Schwerkraftwirkung die Verdichtung dernormalen sichtbaren Materie auslöste.Außer den Ergebnissen der Computersimulationsstudien zur Entstehung von Galaxienverdichtete sich die Vermutungfür die Existenz eines Halos ausdunkler Materie um die Galaxiendurch die Beobachtung vonVera Rubin, die feststellte, dassdie Rotationskurven auch überden Bereich der sichtbarenMaterie hinaus annäherndkonstant verlaufen, wie auf derAbbildung links zu sehen ist. VeraRubin war erstaunt über diesesVerhalten, weil sie vermutethatte, dass die Rotationskurven ähnlich wie im Planetensystem mit1 abfallen sollten.Zusätzliche nicht beobachtbare Materie wurde bereits von Zwicky 1933 angenommen, derunter der Annahme der Stabilität von Galaxienhaufen zu hohe Geschwindigkeiten derHaufenmitglieder des Virgo-Haufens festgestellt hatte. Aufgrund all dieser Beobachtungenwird Gegenwärtig davon ausgegangen, dass um die Milchstraße und andere Galaxien, wier1 Die Hintergrundstrahlung ist ein Relikt der Frühphase der kosmischen Entwicklung nach dem sogenanntenUrknall. Dieser thermischen Strahlung entspricht eine Temperatur von 2,7 Kelvin. Darum wird sie auch als 3-Kelvin-Strahlung bezeichnet.2 Dunkle Materie ist eine hypothetische Materieform, die nur der Gravitation und der schwachenWechselwirkung unterliegt, nicht jedoch elektromagnetisch wechselwirkt. Darum ist sie nicht direktbeobachtbar.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke Meyerbereits erwähnt, ein Kugelsymmetrischer Halo aus dunkler Materie besteht, der für die dieKonstanz der Rotationskurven über große Distanzen sorgt 3 .Über das Konzept dunkler Materie kritisch nachzudenken gibt es eine Reihe von Gründen. DieAnnahme dunkler Materie ist wesentlich für das Standardmodell der Kosmologie, um dieRichtigkeit dieses Standardmodells abzusichern ist es also unbedingt notwendig,Schwachstellen auszuschließen. Wenn es keine dunkle Materie gibt, sind wesentliche Teile derKonzeption für die Entwicklung des Universums oder der Gravitationstheorie neu zuüberarbeiten.In der Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V. werden einerseits die Wirkungenalternativer Gravitationstheorien auf das Rotationsverhalten von Galaxien untersucht,andererseits geht man auch der Frage nach, ob eventuell andere geometrischeVerteilungen der Materie langreichweitige konstante Rotationskurven ergeben können, ohne,dass auf ein kugelsymmetrisches Halo aus dunkler Materie zurückgegriffen werden muss.Insbesondere will man wissen, wie sich eine solche Dichteverteilung mathematisch darstellt.Das war die zentrale Fragestellung meiner Praktikumsarbeit, eine Verteilung zu finden, dieohne dunkles Halo zu konstanten Rotationskurven führt, welche ich erfolgreich ermittelt habe.DurchführungDie Annahme eines kugelförmigen Halos aus dunkler Materie führt aus geometrischenGründen zu einer maximalen Abschätzung für die Masse an dunkler Materie, weil dieGravitationswirkung einer solchen Verteilung gerade minimal ist. Wäre alle Materie exakt ineiner Scheibe verteilt, so hätte man eine minimale Masse, um eine entsprechende Rotationhervorzurufen. In meiner Simulation ist daher dieser Extremfall verwirklicht. Ich bin von einerScheibe ausgegangen, die exakt zweidimensional ist und die sich über 100kpc erstreckt. ZumVergleich erstreck sich der sichtbare Bereich in der Milchstraße bis etwa 15kpc und die Sonnebefindet sich in einem Abstand von etwa 8kpc vom Zentrum und sie bewegt sich dort miteiner Geschwindigkeit von etwa 220 km/s.Das Modell für die Rotation wird durch folgendes Doppelintegral beschrieben:V ( x) G x 100kpc2 00r cos xr2 (r) r d dr 2 x r cos x23Die Herleitung dieser Formel ist in der Anlage 2 zu finden. Um die Doppelintegrationdurchzuführen musste das Computerprogramm (s. Anlage 3) um eine weitere Schleifeergänzt werden. In diesem Integral ist (r)die unbekannte Flächendichte. Ichexperimentierte mit zwei Dichteprofilen:Profil 1:Profil 2:rr scal ( ) eundr0 r) (011rr scal.3 Es sei erwähnt, dass eine Alternative zum Konzept der dunklen Materie die Möglichkeit modifizierterGravitationstheorien darstellt.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerDas Profil 1 wird häufig in Computersimulationen zur Beschreibung der Dichteverteilung in dergalaktischen Scheibe verwendet. Dieses Profil erwies sich für die Beschreibung einerkonstanten Rotationskurve als ungeeignet, wie die folgende Grafik zeigt:Bahngeschwindigkeit für das Profil 1 und verschiedene Parameter. Diese Profile ergebenkeine konstante Rotationskurve für große Entfernungen.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerDem gegenüber zeigte sich sehr schnell, dass das Profil 2 die geforderten Anforderungenerfüllt, wenn 1,3gewählt wird. Das ist auf der nächsten Grafik gut zu sehen:Bahngeschwindigkeit für das Profil 2 und verschiedene Parameter. Wie man sieht, ergibt sichfür α=1,3 eine konstante Rotationskurve.Die Profilverläufe sind hier zu sehen:Die Flächendichte für das Profil 1 und verschiedene Parameter.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerDie Flächendichte als Funktion des Abstandes für das Profil 2.Schlussfolgerungm m 3R1 2In das Newtonsche Gravitationsgesetz F1 ,2 G R1,2gehen die Massen, derAbstand und die Orte er Teilchen ein. Das heißt, die Kraftwirkung ist außer von den Massenauch von den Positionen der Teilchen abhängig. Zur Bestimmung einer Masse aus derKraftwirkung ist daher grundsätzlich die Kenntnis des Ortes der Kraftquelle erforderlich. Ein unddieselbe Kraftwirkung kann durch unterschiedliche Massen hervorgerufen werden, wenndiese sich an unterschiedlichen Positionen befinden. Dieses Problem überträgt sich auf dieAbschätzung von Massen in einer Verteilung. Da dunkle Materie nicht direkt beobachtetwerden kann, sondern nur über die Gravitationswirkung, müssen hypothetische Annahmenüber ihre Verteilung getroffen werden. Darum sind die so ermittelten Massenangabengrundsätzlich hypothetischer Natur. Meine Simulation zeigt eben genau das.1,2

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerAnlage 1Aufgabenstellung für das PraktikumZielstellung 1: Einarbeitung in die Computersprache DelphiAufgabenstellung:Sie erhalten ein Computerprogramm zur Berechnung der galaktischen Massenverteilung.Fertigen Sie für alle in dem Programm vorkommenden Befehle und Ausdrücke eineKurzbeschreibung an. Diese Beschreibung soll für Sie die Arbeit beim Programmierenerleichtern.Materialien:Computerprogramm (Quellcode)Literatur: Borland Delphi 5Zielstellung 2: Einarbeitung in die analytische Berechnung Bestimmter Integrale.Aufgabenstellung:Arbeiten Sie das Kapitel 16, ab S. 86 „Einführung in die Integralrechnung“, Mathematik fürIngenieure und Fachschulen, durch.Fertigen Sie eine Übersicht über die Grundregeln an.Lösen Sie die Aufgaben 16.2, 16.3 auf S. 120 und 16.6 auf S. 121.Materialien:Mathematik für Ingenieure und Fachschulen, Band IIMathematische Formeln, BartschZielstellung 3: Einarbeitung in die Integration weiterer Funktionen.Aufgabenstellung: Arbeiten Sie das Kapitel 17, ab S. 124 durch.Erarbeiten Sie eine Übersicht über die Formen der Integration und rechnen Sie zu jeder Formjeweils 2 Beispiele durch.Lösen Sie die Aufgaben 17.4 d und 17.5 a auf S. 144.Materialien:Mathematik für Ingenieure und Fachschulen, Band IIMathematische Formeln, BartschZielstellung 4: Einarbeitung in die numerische IntegrationArbeiten Sie das Kapitel 20.2, ab S 204 durch.Lösen Sie die Aufgabe 20.3 S. 209 zur grafischen Integration.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerSchreiben Sie zur Lösung der Aufgaben 20.5 ein Computerprogramm.Materialien:Mathematik für Ingenieure und Fachschulen, Band IIMathematische Formeln, BartschIhre Aufzeichnungen über Computerbefehle und AusdrückeZielstellung 5:GalaxienDurchführung einer eigenständigen Untersuchung zur Massenverteilung inArbeiten Sie die Herleitung der Integralformel durch (Arbeitsblatt).Schreiben Sie ein Computerprogramm für die numerische Integration für ein vorgegebenesDichteprofil.Suchen Sie durch Experimentieren mit verschieden Funktion ein Dichteprofil, welches fürgroße Abstände auf eine konstante Rotationsgeschwindigkeit führt.Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einem kleinen Aufsatz vor und stellen Sie die Rotationskurven undDichteprofile, mit denen Sie experimentiert haben, grafisch dar.Materialien:ArbeitsblattIhre Aufzeichnungen

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerAnlage 2Arbeitsblatt zum PraktikumAufgabenstellungGesucht ist eine radialsymmetrische Massenverteilung mit der Flächendichte (r)mit derEigenschaft, dass die Kreisbahngeschwindigkeit V (x)der Testmasse im Punkt B um denMittelpunkt A für x die Bedingung V konst. 0 erfüllt.DefinitionenIm Punkt A befindet sich der Ursprung desKoordinatensystems. Im Punkt B die Testmasse m . C istein beliebiger Punkt der Ebene, in dem sich dasMassenelement dm befindet.Die relevanten Ortsvektoren sind durch die Zeichnunggegeben. xDamit gilt: R r x . Mit x 0 r cosr r cos x folgt: R 2 und der Abstand ist: R r 2x r cos xrsin rsinDer Ortsvektor x ist erkennbar parallel zur x-Achse des Koordinatensystems.TsowiePhysikalische BeschreibungDie Kreisbahngeschwindigkeit eines Massenpunktes ergibt sich aus dem Gleichgewichtzwischen Gravitationskraft und Fliehkraft. F T F GravEntlang der x-Achse interessiert uns nur der Betrag. Für die Trägheitskraft gilt:F2V ( x) xTm T.Für die Newtonsche Gravitationskraft eines Massenelementes dm gilt:Damit ergibt sich die Gravitationskraft durch das Integral:FGravdF G mTGravM0dm G mT R .3RR dm . Dabei ist3RM die Gesamtmasse der Galaxie. Aus Symmetriegründen kompensieren sich die y-Komponenten der Kraft und es interessiert nur die x-Komponente:2.FGrav G mTM0r2r cos x 2 x r cos x23dmDas Massenelement dm läßt sich durchdie Gravitationskraft:dm ( r) r d dr beschreiben. So ergibt sich für

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerFGrav G mT 2 00r2r cos x 2 x r cos x23 (r) r d drMit dieser Beziehung ergibt sich für die Bahngeschwindigkeit:V ( x) G x 2 00r cos xr2 (r) r d dr 2 x r cos x23r x und Bei der Integration ist die Polstelle bei 0 2 auszusparen. Das kann erfolgen,indem Abstände R 0, 1kpcnicht in die Integration einbezogen werden. Gegebenen Falls istder Einfluss der Wahl der Schranke auf das Simulationsergebnis zu untersuchen.NebenbetrachtungDie Geschwindigkeit V (x)ist konstant, wenn V 2 ( x ) konstant ist und V 2 ( x ) ist konstant, wennder Ausdruckx 2 00( r cos x) (r) rr2 2 x r cos x23 d drK konst.bezüglich x konstant ist. Diese Konstanz soll natürlich nur für hinreichend große Werte vonx gelten, d.h. ab etwa 6 kpc.Das betrachtete Integral ist ein unbestimmtes Integral, da die eine Integrationsgrenzeunendlich ist. Darum kann man das Integral auch als Grenzwert schreiben:p 2K(x) x limp0 0( r cos x) (r) rr2 2 x r cos x23 d drDieser Grenzwert muss nicht wirklich ermittelt werden, es reichen aus praktischen Gründenhinreichend große Werte für p in der Größenordnung von 100 kpc aus.Auf der anderen Seite ist die folgende Betrachtung hilfreich, dass K lim K(x) konst.gilt,dK(x)dxwenn lim 0 , d.h., wenn die Ableitung verschwindet.xMethode Das Profil der Dichte (r), mit dem experimentiert wird, das wird als Funktiondeklariert. Zunächst wird eine Schleife definiert, in der die Variable x durchlaufenwird, x1 x xL. Die Schleife soll bei dem Wert x x 1 0 beginnen und bei demWert x xL 50kpcenden. Die Schrittweite x 1kpcsei vorgegeben, kann aberbei Bedarf verändert werden..x

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke Meyer xL x1 Die Anzahl der Schritte wird mit Hilfe von L round xEndwert der for-Schleife an. Mit der Schleifenvariablen i 1...Lberechnet und gibt den wird der aktuelle Wert x x ( i 1) xberechnet. Innerhalb dieser x-Schleife wird der jeweilige Wert K(x)berechnet und das Wertepaarx, K(x)wird in einer Datei gespeichert. K Es werden weiter die Wertepaare xx gelten die Definitionen: ixxi2x, in einer weiteren Datei gespeichert. Dabei1und K K( xi K xi) ) 1(xxdK ( x)dxi L Differenzenquotient ist eine Approximation für den Differentialquotienten1. Dieser. Manbeachten, dass dieser Differenzenquotient nur bis zum Indexwert 1berechnetwerden kann.Es werde außerdem die Bahngeschwindigkeit berechnet und gespeichert. Für dieBahngeschwindigkeit gilt: V( x)G K(x)x , V ( x)ineiner eigenen Datei gespeichert. , d.h. es wird das Wertepaar Außerhalb der x-Schleife wird auch das Dichteprofil , ( x)x in einer eigenen Dateigespeichert. Dabei werden die gleichen Schleifenparameter wie in der x-Schleifeverwendet.BeispielEin Beispiel für ein Programm zur Berechnung eins Doppelintegrals in Polarkoordinaten ist amBeispiel der numerischen Berechnung einer Kreisfläche gegeben, wobei bereits diezusätzliche Schleife für die x-Abhängigkeit implementiert ist. Berechnet wird die Flächegemäß:A R 2 00r d drIm Programm wird A als Masse bezeichnet. Die Struktur ist so aufgebaut, dass im Programmdas innere Integral selbst als Funktion definiert wird:RA g( r) dr mit g ( r) f ( ) dund f ) r020( . Es heißt dort aber nicht g(x). Man musssich nicht darüber wundern, dass in f ()gar keine Abhängigkeit vom Winkel steht. Das liegtam konkreten Fall für die Flächenberechnung. In dem zu entwickelnden Programm wird andie Stelle von f ()die Funktion K (x)treten. Sie enthält dann auch den Winkel.Das Programmbeispiel ist auf der folgenden Seite dargestellt.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerProgrammbeispielunit Unit1;interfaceusesWindows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls,Forms, Dialogs,StdCtrls, ExtCtrls, ComCtrls;typeTForm1 = class(TForm)Button1: TButton;ProgressBar2: TProgressBar;ProgressBar3: TProgressBar;procedure Button1Click(Sender: TObject);procedure Button1KeyDown(Sender: TObject; var Key:Word;Shift: TShiftState);procedure FormKeyDown(Sender: TObject; var Key:Word;Shift: TShiftState);private{ Private-Deklarationen }public{ Public-Deklarationen }end;varForm1: TForm1;implementation{$R *.DFM}var w,x,r:extended;K,L,N:integer;w0,r0,x0,wK,rL,xN:extended;dw,dr,dx:extended;fFile:Textfile;function f(w:extended):extended;beginf:=r;end;function Integral_dw(r:extended):extended;var summeW,q:extended;iw:integer;beginsummeW:=0;for iw:=1 to K-1 dobeginw:=w0+iw*dw;q:=f(w);summeW:=summeW+q;Application.ProcessMessages;end;Integral_dw:=0.5*(wK-w0)*(f(w0)+2*summeW+f(wk))/K;end;function Integral_dr(x:extended):extended;var summeR,q:extended;ir:integer;beginform1.progressbar2.Min:=1;form1.progressbar2.Max:=L-1;summeR:=0;for ir:=1 to L-1 dobeginr:=r0+ir*dr;q:=Integral_dw(r);summeR:=summeR+q;form1.ProgressBar2.Position:=ir;Application.ProcessMessages;end;Integral_dr:=0.5*(rLr0)*(Integral_dw(r0)+2*summeR+Integral_dw(rl))/L;form1.ProgressBar2.Position:=0;end;procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);var i:integer;Masse:extended;s:String;begincaption:='Programm rechnet.';N:=10;x0:=0;xn:=10;dx:=(xn-x0)/N;L:=40000;r0:=0;rL:=1;dr:=(rl-r0)/L;K:=40000;w0:=0;wK:=2*Pi;dw:=(wk-w0)/K;progressbar3.Min:=0;progressbar3.Max:=N+1;assignFile(fFile,'Masse.txt');{$i-}rewrite(fFile){$i+};for i:=1 to N+1 dobeginx:=x0+(i-1)*dx;Masse:=Integral_dr(x);writeLn(fFile,x,';',Masse);progressbar3.Position:=i;Application.ProcessMessages;end;closeFile(fFile);str(masse:5:5,s);caption:='Rechnung beendet. Integral = '+s;progressbar3.Position:=0;end;procedure TForm1.Button1KeyDown(Sender: TObject; varKey: Word;Shift: TShiftState);beginif Key=VK_ESCAPE then close;end;procedure TForm1.FormKeyDown(Sender: TObject; varKey: Word;Shift: TShiftState);beginif Key=VK_ESCAPE then close;end;end.

PraktikumsberichtPraktikum zur Angewandten Mathematik am Institut für Astronomische Bildung und Forschungder Astronomischen Gesellschaft Magdeburg e.V.Wiebke MeyerDie wichtigsten Abschnitte des Programms sind durch Rahmen hervorgehoben. DasProgramm speichert auch die jeweiligen Ergebnisse in eine Datei.ParameterEs werden der Simulation die folgenden Parameter zugrunde gelegt:GravitationskonstanteG 6 ,6710113m2s kg18 Der Abstand in kpc muss in Meter umgerechnet werden, dann ist1kpc 30,8610m .kgDie Dichte ist eine Flächendichte und muss in der Berechnung in verwendet2mwerden. Doch für die Datenausgabe ist sie inM s2pcje Quadratparsec. Dazu benötigen wir die folgenden Angaben:30 Sonnenmasse M s 1,98510kgQuadratparsec230 21pc 952,339610manzugeben, d.h. in SonnenmassenBereits genannte Größen sind: p 100kpc x1 x xLmit x x 1 0 und x xL 50kpc. Um eine Vergleich mit realen Galaxien zu ermöglichen, ist die Dichte (r)durch Wahleines inneren Faktors so zu eichen, dass für einen Abstand von x 8kpcdieGeschwindigkeitkmV ( x) 220 folgt.sDichteprofileEs kommen die folgenden und auch selbst gewählten Profile in Frage:Profil 1:(r0) errscalProfile 2: r) (011rr scalDabei sind 0und rscalParameter der Dichte. Diese sollen so gewählt werden, dass die imAbschnitt Parameter genannten Bedingungen erfüllt werden.