die kritische Dichte - Astronomisches Zentrum Magdeburg

Rätselhaftes über Schwarze Löcher und dasUniversum – die kritische DichteKlaus RetzlaffZusammenfassung: Die kritische Dichte ist eine Dichte, deren Überschreitung zurBildung eines schwarzen Loches führt. Bei der Betrachtung der kritischen Dichtefür verschiedene Objekte, ergeben sich überraschend geringe Werte, je nachObjektgröße. Unter anderem wird die kritische Dichte des beobachtbarenUniversums betrachtet – das Resultat ist unerwartet und rätselhaft.Schwarze Löcher sind sowohl eineKonsequenz der Newtonschen, alsauch der EinsteinschenGravitationstheorie.DieLichtgeschwindigkeit im Vakuumist die höchste Geschwindigkeit inder Natur. Das ist eine dersichersten Grundlagen der Physik.Legt man die NewtonscheGravitationstheorie zugrunde undsetzt die Fluchtgeschwindigkeit füreinekugelsymmetrischeMassenverteilung gleich derLichtgeschwindigkeit 1 , so findetman die Beziehung:c 2 MRNewton0(1)Die Lichtgeschwindigkeit ist hiergleich der 2. kosmischenGeschwindigkeit. M ist dieGesamtmasse und R 0 ist derGravitationsradius. Die Gleichung22 drds 2M12c R2 2 2r ( d sin ( )d2M2(1 ) c dt2c R2(2)Massenverteilung aus der Sichteines äußeren Beobachters. Eshandelt sich um die berühmteSchwarzschild-Lösung 2 derEinsteinschen Feldgleichungen.Untersucht man diese Metrik aufPolstellen, so findet man diese im1. Term, wenn der Nenner Nullwird:1c2MR2 Einstein00(3)Formt man diesen Ausdruck nachder Lichtgeschwindigkeit um,findet man:c 2 M. (4)REinstein0Die Übereinstimmung von (1) und(4) ist sofort zu sehen. Das heißt,die Metrik (2) hat eineSingularität genau unter denBedingungen, die im Rahmen derNewtonschen Theorie kein Lichtaus dem Inneren desGravitationsradius R 0 mehrentweichen lassen. Das istnatürlich auch bei Einstein so.Die Gravitationsradien stimmen inbeiden Theorien überein.beschreibt in der EinsteinschenAllgemeinen Relativitätstheoriedie Geometrie einerkugelsymmetrischenR0 RNewton0 REinstein02 M2c(5)1 Es ist hier stets die Vakuumlichtgeschwindigkeitgemeint.2 Die Schwarzschild-Lösung wurde bereits 1916von Karl-Schwarzschild gefunden.K. Retzlaff Seite 1 25.04.2012

Rätselhaftes über Schwarze Löcher und dasUniversum – die kritische DichteKlaus RetzlaffGenau an dieser Stelleverschwindet andererseits dieZeit-Zeit-Komponente desmetrischen Tensors, d.h. für einenäußeren Beobachter der Prozessegefrieren die Abläufe amGravitationsradius ein, dieZeitdehnung ist unendlich. Dochdie Eigenschaften der Metriksollen hier nicht weiterbesprochen werden. Halten wirnur fest: Da nichts schneller istals das Licht, kann nichts denGravitationsradius verlassen.Schwarze Löcher sind dieKonsequenz sowohl derNewtonschen als auch derEinsteinschen Gravitationstheorie.Wir möchten anmerken, dass inden Zentren der Galaxien dieExistenz schwarzer Löcherbehauptet wird. Mit Sicherheitexistieren dort Objekte, die manals superdicht bezeichnen kann,ob es sich im Sinne der Theorieum Schwarze Löcher handelt,kann aber nicht einfach behauptetwerden. Einstein sah die mit denSingularitäten 3 verbundenenunphysikalischen Zustände immerfür problematisch an und war derÜberzeugung, dass seine Theoriein so starken Gravitationsfeldernihre Gültigkeit nicht mehrbehaupten dürfe. In der Tat gibtes andere Gravitationstheorien,wo diese Polstellen nichtauftreten 4 . Man sollte daher nichtleichtfertig von SchwarzenLöchern reden.Hier werden wir eine andereKonsequenz der Newton-Einsteinschen Gravitationstheorieuntersuchen. Wir wollen der Fragenachgehen, wie hoch diekritischen Dichten sein können,die zur Bildung eines SchwarzenLochs führen würden, wenn wirdie volle Gültigkeit der Newton-Einsteinschen Gravitationstheorieunterstellen.Für diese Untersuchung gehen wirvon einer kugelsymmetrischenVerteilung der Massen aus. DasVolumen dieser Verteilung isteinfach das Kugelvolumen:V433 R(6)R ist hier zunächst ein beliebigerRadius. Setzen wir aber denGravitationsradius ein, so ergibtsich ein entsprechendes VolumenV 0 , das wir durch den Indexkennzeichnen:V04 3 R0(7)3Damit können wir die mittlerekritische Dichte definieren:M 3M0 . (8)V 4 R0303 Die Singularität am Gravitationsradius kann wegtransformiert werden – ein in das Schwarze Lochstürzender Beobachter bemerkt amSchwarzschildradius keine Besonderheit. DieseSingularität ist nicht das Problem, das Problem istdie nicht vermeidbare Singularität im Zentrum, diebeim Gravitationskollaps auftritt.Aus einer gegebenen Masse unddem ihr nach Newton, bzw.4 Beispiele sind die Bezugstetradentheorie oder dieTrägheitsfreie Mechanik von Treder. In diesenTheorien gibt es Selbstabschirmungseffekte, die dasGravitationsfeld limitieren.K. Retzlaff Seite 2 25.04.2012

Rätselhaftes über Schwarze Löcher und dasUniversum – die kritische DichteKlaus RetzlaffEinsteinzugeordnetenGravitationsradius läßt sichmittels (8) die kritische Dichtebestimmen. In der folgendenTabelle stellen wir die Daten fürdie folgenden Objekte zusammen.Tabelle: Die Masse, Gravitationsradius und kritische Dichte fürverschiedene Objekte des Universums und das Universum selbst..Objekt MR 0 0in kg3in min kg / m31Elektron 9,111027Proton 1,67 1024Erde 5,979 1030Sonne 1,985 10Milchstraße 2,157 10bis 15 kpc52Kosmos (A) 10 53Kosmos (B) 10 54Kosmos (C) 10 41Die Masse des beobachtbarenUniversums kann nur grobabgeschätzt werden, sie liegt im5254Bereich zwischen 10 kg und10 kg .Der Wert von5310 kg ist derwahrscheinlichste.Zunächst bemerken wir bei derBetrachtung der Werte, dass mitzunehmender Objektgröße diekritische Dichte immer weiterabnimmt.Der Gravitationsradius derElementarteilchen liegt deutlichunter der Compton-Wellenlängedieser TeilchenhC . (9)m cDie Compton-Wellenlänge ist für12das Elektron 2,246 10m und fürdas Proton15 1,32110m .1.352 102,483108,874 102,946 103,167 101,484 101,484 101,484 10K. Retzlaff Seite 3 25.04.2012575433142526278,798 102,609 102,042 101,853101,574 107,3 107,3 107,3 1025272913913330193Für die Erde und die Sonne sinddie kritischen Dichten nochextrem hoch.Legt man eine Hubbel-Konstantekmvon H0 72 zugrunde unds Mpcbestimmt daraus das Weltalterund den Weltradius, so findet man26für den Weltradius 1,26910m .Die mittlere Dichte im Universumwird in verschiedenen Quellenzwischen1027...51027kgm3geschätzt.Dieses Resultat für den Kosmos 5ist einigermaßen erstaunlich undrätselhaft, denn diese Wertestimmen ja recht genau mit denWerten für den errechneten5 Auf die Idee für diese Rechnung bin ich durcheinen Hinweis aus dem sehr lesenswerten Buch„Vom Urknall zum Durchknall“ von AlexanderUnzicker gekommen, der dort auf diesenTatbestand hingewiesen hat – so habe ich einfachnachgerechnet.

Rätselhaftes über Schwarze Löcher und dasUniversum – die kritische DichteKlaus RetzlaffGravitationsradius und den Wertder kritischen Dichte für einenGravitationskollaps überein. Wiekommt es zu dieser eigenartigenKorrelation? Welche Bedeutunghat sie?K. Retzlaff Seite 4 25.04.2012