LÃ¶sungen der Aufgaben aus Kapitel 8 - gxy.ch

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Parametrisierte Koordinaten x = 3+t, y = −2 −t, z = 2+2t in die MNE einsetzen:2(3 + t) + (−2 − t) − 4(2 + 2t) − 17 = 06 + 2t − 2 − t − 8 − 8t − 17 = 0Einsetzen ergibt: P(0|1|−4)−21 − 7t = 0Lösung mit mit Abstandsgleichung:t = −3Gesuchter Punkt auf g: P(3 + t|−2 − t|2 + 2t)−→) ( −121) )AP = − =−→BP =( 3+t−2−t2+2t( 3+t−2−t2+2t)( 34)− =−7( 4+t−4−t1+2t(t−6−t9+2t)Es muss gelten: ∣ −→ AP ∣ ∣ = −→ ∣BP √(4 + t)2 + (−4 − t) 2 + (1 + 2t) 2 = √ t 2 + (−6 − t) 2 + (9 + 2t) 216 + 8t + t 2 + 16 + 8t + t 2 + 1 + 4t + 4t 2 = t 2 + 36 + 12t + t 2 + 81 + 36t + 4t 2Einsetzen ergibt: P(0|1|−4)(b) P(1|0|3) Lösungsweg: siehe Aufgabe (a)33 + 20t + 6t 2 = 117 + 48t + 6t 2−84 = 28tt = −38. (a) Der Normalenvektor von E ist gleichzeitig ein Richtungsvektor der gesuchten Ebene:( ) 430⃗n E = = ⃗uDer Vektor von P nach Q ist der andere Richtungsvektor der gesuchten Ebene:−→( 2)PQ = −1 = ⃗v1Normalenvektor der gesuchten Ebene:( ) ( 430 2) )⃗u × ⃗v = × −1 = = ⃗n F1( 3−4−10Gleichung der gesuchten Ebene:) ( ) 130−D = · = 3 − 12 + 0 = −9 ⇒ F : 3x − 4y − 10z + 9 = 0( 3−4−10(b) F : 29x − 38y − 7z − 51 = 0Lösungsweg: siehe (a)2
9.⃗nPt⃗nεP ′(ε projizierend dargestellt)(a) ⃗n =⇒ g:( 4−31)ist ein Normalenvektor von ε( xyz)( 04) ( 4)= + t −3 steht senkrecht auf ε−5 1g ∩ ε: (parametrisierte Koordinaten von g in ε einsetzen)4(0 + 4t) − 3(4 − 3t) + (−5 + t) + 4 = 026t − 13 = 0 ⇒ t = 0.5Mit t = 0.5 erreichen wir also vom Punkt P aus die Ebene ε. Mit dem doppeltenWert 2t = 1 gelangen wir zum gesuchten Spiegelpunkt von P.( xyz) ( 04) ( 4) ( 41)= + 1 · −3 = ⇒ P ′ (4|1|−4)−5 1 −4(b) ⃗n =⇒ g:( 1−23)ist ein Normalenvektor von ε( xyz)( 40) ( 1)= + t −2 steht senkrecht auf ε−2 3g ∩ ε: (die parametrisierten Koordinaten von g in die Ebenengleichung einsetzen)1 · (4 + t) − 2(0 − 2t) + 3(−2 + 3t) − 5 = 0 ⇒ 14t − 7 = 0 ⇒ t = 0.5Den Wert von t verdoppeln und in g einsetzen:( xyz) ( 40) ( 1) ( 5)= + 1 · −2 = −2 ⇒ P ′ (5|−2|1)−2 3 110. Der Verbindungsvektor −−→ (PP ′ 43=Ebene ⇒ 4x + 3y − 9z + D = 0−2) ( ) 007−( 43)= ist ein Normalenvektor der gesuchten−9Der Mittelpunkt M der Strecke PP ′ ist ein Punkt der gesuchten Ebene:( xyz) [( ) (= 1 007 43)] )+ = ⇒ M(2|1.5|2.5)2−2( 21.52.5M ∈ ε: 4 · 2 + 3 · 1.5 − 9 · 2.5 + D = 0 ⇒ D = 10 ⇒ ε: 4x + 3y − 9z + 10 = 011. (a) Die gespiegelte Gerade geht durch den Durchstosspunkt D = g ∩ E und den an derEbene E gespiegelten Punkt A(7|−2|4).Durchstosspunkt: (x = 7 + 2t, y = −2, z = 4 + t)3
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Seite 5 und 6: ( 3)(b) ⃗n 1 = −25Einen Normale
Seite 7 und 8: (b) Das Dreieck ist zu einem Quadra
Seite 9 und 10: 32. (a)|4x − 2y − 4z + 3|√ 16

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