Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 8 - gxy.ch

(b) Das Dreieck ist zu einem Quadrat zu ergänzen: (Skizze anfertigen)⃗r D = ⃗r A + −→ AD = ⃗rA + −→ ( ) ) ( 1215)BC = 100 + = ⇒ D(1|5|−4)−4( −11−5−4(c) Das Quadrat ABCD hat den Flächeninhalt G = 162 und ist die Grundfläche derPyramide:V Pyramide = 1 3 · G · h ⇒ 1944 = 1 · 162 · h ⇒ 1944 = 54 · h ⇒ h = 363(d) Da die Pyramide gerade ist, steht ihre Höhe senkrecht über dem Mittelpunkt M derGrundfläche.Normalenvektor auf der Ebene ABC(D):−→AB × −→ ( −3) ( −11) ( 72)BC = −3 × −5 = −144 = 18 ·12 −4 −18)⃗n = ⇒ ∣ ∣ √ √ ⃗n = 16 + 64 + 1 = 81 = 9( 4−8−1Also ist ∣ ∣ 4 · ⃗n∣ ∣ = 36 = hMitte der Grundfläche:) ( ) ( )⃗r M = 2( 1 ⃗rA + ⃗r B =1 10 564128 =2( ) ( 564 4)⃗r S1 = ⃗r M + 4 · ⃗n = + 4 · −8 =−1( ) )564⃗r S2 = ⃗r M − 4 · ⃗n = − 4 · =( 4−8−1( 21)−260( −11388)27. (a) P in die Hessesche Normalform einsetzen:∣∣ 4 · 3 + 7 · 5 − 4 · 1 + 2 d = √ = 45 16 + 49 + 16 9 = 5(b) P in die Hessesche Normalform einsetzen:d = |6 · 7 − 9 · (−2) − 2 · (−5) + 7∣ ∣√ 36 + 81 + 4= 7711 = 7( 4)−8−1⇒⇒S 1 (21|−26|0)S 1 (−11|38|8)28. (a) Gleichung der Ebene durch BCD:−→( 01)−−→( −102)BC = BD =−2−→BC × −−→ ( 01) ( −102) ( ) 221BD = × = = ⃗n−2( ) ( ) 221 210−D = · = 4 + 2 + 0 = 6 ⇒ ε: 2x + 2y + z − 6 = 0Höhe der Pyramide = Abstand des Punktes A von ε:h = d(A, ε) HNF=(b) Seitenkante −→ AC =|2 · 0 + 2 · 0 + 0 − 6|√ = 6 4 + 4 + 1 3 = 2( ) 120∢ ( ∣−→ ) −→ ∣AC · ⃗n AC,⃗n = arccos ∣ −→ AC ∣ ∣ ∣ = √ 6 = arccos √ 2 = 26.57 ◦· ∣⃗n 5 · 3 5∢ ( −→ AC, BCD)= 90 ◦ − 26.57 ◦ = 63.43 ◦7