Lösungen der Aufgaben aus Kapitel 8 - gxy.ch

( 3)(b) ⃗n 1 = −25Einen Normalenvektor von ε 2 erhält man über das Kreuzprodukt des Richtungsvektors⃗v von g und einem weiteren Richtungsvektor dieser Ebene, nämlich dem Vektorzwischen dem Punkt P und dem Punkt A(2|2|1) der Geraden g.⃗v × −→ AP =( 5−12)( 1−33)=( 3−13−14)= ⃗n 2∢ ( ∣ ∣) ( ) ∣⃗n1 · ⃗n 2 35ε 1 , ε 2 = ∢ ⃗n1 ,⃗n 2 = arccos ∣ ∣ ∣∣ ⃗n1 · ∣⃗n2 = arccos √ √ = 72.93 ◦38 · 37416. (a) Der Schnittwinkel zwischen der Gerade und der Ebene ist der Komplementwinkel 1zum (spitzen) Schnittwinkel zwischen g und dem Normalenvektor von E.( 21)Richtungsvektor der Geraden: ⃗v =Normalenvektor der Ebene: ⃗n =∢ ( ⃗v,⃗n ) = arccos∢ ( g, ε ) = 90 ◦ − 82.34 ◦ = 7.66 ◦−2( 3−40)∣∣ ⃗v · ⃗n |6 − 4 + 0|∣ ∣ ∣∣ ⃗v · ∣⃗n = arccos √ √ = arccos 2 4 + 1 + 4 9 + 16 15 = 82.34◦oder direkt: ∢ ( g, ε ) = arcsin 2 15 = 7.66◦ [siehe Fundamentum](b) ∢ ( g, ε ) = 0 ◦ (Ebene und Gerade sind parallel) Lösungsweg: siehe (a)21. Da bei einem geraden Kreiskegel die Kegelachse senkrecht auf der Grundkreisebene steht,ist der Vektor −−→ ( −10)MS = −2 ein Normalenvektor der Grundkreisebene.11ε: 10x + 2y − 11z + D = 0 ⇒ M ∈ ε ⇒ ε: 10x + 2y − 11z + 5 = 0Schneiden wir die Gerade g durch SP mit ε, so erhalten wir einen Punkt Q auf derGrundkreislinie.−→( 82) ( xyz) ( −7) ( 41)SP = · · · = ⇒ g: = −3 + t−614 −3g ∩ ε: 10(−7 + 4t) + 2(−3 + t) − 11(14 − 3t) + 5 = 0−225 + 75t = 0 ⇒ t = 3 ⇒ Q(5|0|5)Kegelradius: r = ∣ ∣ −−→ MQ ∣ ∣ = · · · = 3Kegelhöhe: h = ∣ ∣ −−→ MS ∣ ∣ = · · · = 15Kegelvolumen: 1 3 π r2 h = 45π22. (a) Damit ein Quadrat entsteht, müssen die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sein:(1) ∣ −→ AB ∣ ∣ = −→ ∣BC (2) −→ AB ⊥ −→ BC1 Ergänzungswinkel auf 90 ◦ 5