LÃ¶sungen der Aufgaben aus Kapitel 8 - gxy.ch

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29. Parallelebene: F : 4x − 4y − 7z + D = 0P ∈ F: 4 · 3 − 4 · (−4) − 7 · 1 + D = 0 ⇒ 12 + 16 − 7 + D = 0 ⇒ D = −21Abstand der Ebenen E und F:d(E, F) = d(E, P) =|4 · 3 − 4 · (−4) − 7 · 1 + 6|√ 16 + 16 + 49= 279 = 330. (a) Lösung mit Hilfe des Spatprodukts:∣ [ ] −−→ ∣ [( )⃗v g × ⃗v h · P g P h ∣011 ×d =∣∣ ⃗vg × ⃗v h =( )∣011 ×Lösung mit Hilfe einer Parallelebene:( 6)]−12( 42)∣ ∣∣·−2( 6)∣−1 ∣∣=2∣36∣(−6) ( 42)∣ ∣∣·−2)∣∣ ∣∣= 369 = 4∣( 36−6(Bei diesem Lösungsweg muss die Theorie zur Koordinatengleichung einer Ebenen bekannt sein.)Wenn wir die Gerade g in eine Hilfsebene G einbetten, die parallel zur Geraden hist, dann hat jeder Punkt auf h den gleichen Abstand von G und damit auch von g.Um den Abstand der Ebenen zu berechnen, müssen wir nur noch den Abstand einesPunktes von h von der Hilfsebene G berechnen. (Die Rollen von g und h können beidiesem Lösungsweg auch vertauscht werden.)( ) 011Normalenvektor von G: ⃗v g × ⃗v h = ×( 6−12)=( 36−6)( 12)= 3 ·−2Gleichung der Ebene G: ((−1|0|3) ∈ G)( 12) ( −103)−D = · = 1 · (−1) + 2 · 0 − 2 · 3 = −7−2⇒ G: x + 2y − 2z + 7 = 0Abstand vom Punkt (3|2|1) ∈ h von G:d(h, G) = 1 · 3 + √ 2 · 2 − 2 · 1 + 7 = 12 = 4 = d(h, g)1 + 4 + 4 3(b) d = 1Lösungsweg: siehe (a)31. (a) Als Bezugsstrecke berechnen wir zuerst den Abstand von O(0|0|0) von der gegebenenEbene. (Man könnte auch irgend einen anderen Punkt wählen, aber so erhält maneine einfache Rechnung.)d(O, E) =−15√ = −15121 + 4 + 100 15 = −1Da die gesuchte Parallelebene einen Abstand von d = 3 Einheiten von E haben soll,muss der Ursprung O von dieser Ebene entweder den Abstand d 1 = −4 oder denAbstand d 2 = 2 haben. Dies führt zu den GleichungenD 115 = −4 ⇒ D 1 = −60 undund du den Lösungen:D 215 = 2 ⇒ D 2 = 30E 1 : 11x − 2y + 10z − 60 = 0 und E 2 : 11x − 2y + 10z + 30 = 0(b) E 1 : 24x − 7z + 105 = 0 und E 2 : 24x − 7z − 95 = 0Lösungsweg: siehe (a)8
32. (a)|4x − 2y − 4z + 3|√ 16 + 4 + 16=|x + 2y − 2z + 5|√ 1 + 4 + 4|4x − 2y − 4z + 3|6=|x + 2y − 2z + 5|3|4x − 2y − 4z + 3| = |2x + 4y − 4z + 10||| · 64x − 2y − 4z + 3 = 2x + 4y − 4z + 10 ⇒ ω 1 : 2x − 6y − 7 = 04x − 2y − 4z + 3 = −(2x + 4y − 4z + 10) ⇒ ω 2 : 6x + 2y − 8z + 13 = 0(b)|6x + 6y + 17z − 2| |15x − 10y − 6z + 9|√ = √ 36 + 36 + 289 225 + 100 + 36|6x + 6y + 17z − 2|19=|15x − 10y − 6z + 9|19|6x + 6y + 17z − 2| = |15x − 10y − 6z + 9||| · 196x + 6y + 17z − 2 = 15x − 10y − 6z + 9 ⇒ ω 1 : 9x − 16y − 23z + 11 = 06x + 6y + 17z − 2 = −(15x − 10y − 6z + 9) ⇒ ω 2 : 21x − 4y + 11z + 7 = 033. (a) Winkelhalbierende Ebenen:|3x − 4y + 2|√ 9 + 16=|4x + 3z + 7|√ 16 + 9|3x − 4y + 2|5=|4x + 3z + 7|5|3x − 4y + 2| = |4x + 3z + 7||| · 53x − 4y + 2 = 4x + 3z + 7 ⇒ ω 1 : x + 4y + 3z + 5 = 03x − 4y + 2 = −(4x + 3z + 7) ⇒ ω 2 : 7x − 4y + 3z + 9 = 0g ∩ ω 1 = {P 1 }:1 · (0 + t) + 4 · (1 − t) + 3 · (2 + 0) + 5 = 0t + 4 − 4t + 6 + 5 = 0−3t + 15 = 0t = 5 ⇒ P 1 (5|−4|2)g ∩ ω 2 = {P 2 }:7 · (0 + t) − 4 · (1 − t) + 3 · (2 + 0) + 9 = 07t − 4 + 4t + 6 + 9 = 011t + 11 = 0t = −1 ⇒ P 2 (−1|2|2)9
Seite 1 und 2: Vektorgeometrie Kapitel 8 Lösungen
Seite 3 und 4: 9.⃗nPt⃗nεP ′(ε projizierend
Seite 5 und 6: ( 3)(b) ⃗n 1 = −25Einen Normale
Seite 7: (b) Das Dreieck ist zu einem Quadra

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