Besondere Linien im Dreieck mit GeoGebra

Unterrichten mit neuen MedienBesondere Linien im Dreieck mit GeoGebrahttp://www.lehrer-online.de/url/dreieck-geogebraAutorin: Sandra Schmidtpott, Markus HohenwarterDer Computereinsatz ergänzt die Arbeit mit Bleistift, Zirkel und Geodreieck: Die Schülerinnenund Schüler führen mit der Software GeoGebra selbstständig geometrische Konstruktionendurch und nutzen zudem „gebrauchsfertige“ Java-Applets.Die „Besonderen Linien im Dreieck“, ein klassisches Thema des Geometrieunterrichts derSekundarstufe I, ist für Schülerinnen und Schüler oft eine willkommene Abwechslung zu LinearenGleichungen, Termen und zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Bei der Durchführungdieser Unterrichtseinheit zu den Mittelsenkrechten, Winkelhalbierden, Seitenhalbierendenund Höhen im Dreieck kam es darauf an, den Schülerinnen und Schülern sowohl zeichnerischeGenauigkeit als auch mathematische Exaktheit und die mathematische Beweisideenahe zu bringen. Beim ersten Ziel waren die klassischen Zeichenknechte der Mathematik,Zirkel, Geodreieck und gespitzter Bleistift, unerlässlich. Für das Erreichen des zweiten Zielswurde das Computerprogramm GeoGebra eingesetzt.LernzieleDie Schülerinnen und Schüler sollen• die Eigenschaften der Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden undHöhen im Dreieck kennen und anwenden.• die Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden mithilfe des Zirkels konstruieren undzeichnen.• den Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten kennen und konstruieren.• den Inkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden kennen und konstruieren.• den Schwerpunkt des Dreiecks als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden kennen und konstruieren.• erkennen, dass sich auch die Höhen eines Dreiecks in einem Schnittpunkt schneiden,dem Höhenschnittpunkt.• den Satz des Thales kennen, anwenden und den Beweis skizzieren.• die Eulersche Gerade und deren Besonderheiten kennen.KurzinformationThema Besondere Linien im Dreieck mit GeoGebraAutorin Sandra Schmidtpott, Markus HohenwarterFach MathematikZielgruppe Klasse 8Zeitraum etwa 6-8 StundenTechnische Voraussetzungen Computer in ausreichender Anzahl (Partnerarbeit),Beamer, Java (http://www.java.com, Version 1.4 oderhöher), GeoGebra (http://www.geogebra.at, kostenloserDownload aus dem Internet)© 2005, Schulen ans Netz e.V. 1PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Lehrer-OnlineDidaktisch-methodischer KommentarDie Schülerinnen und Schüler sollten zum einen mit GeoGebra selbstständig und selbst entdeckendam Computer arbeiten. Trotz aller Freiheiten für die Experimentierfreudigkeit mussteich sicherstellen, dass sich der Lerneffekt am und vor dem Rechner auch unmittelbar inden Heften in Form von Konstruktionen niederschlägt, die per Hand ausgeführt wurden. DieserSpagat ist jedoch gelungen, was sich in den guten Ergebnissen der Lernkontrolle amEnde der Unterrichtseinheit zeigte.Einführung in GeoGebraZu Beginn der Unterrichtseinheit haben die Schülerinnen und Schüler per Beamer eine kurzeEinweisung in die Funktionsweise von GeoGebra erhalten. Ein Handout wurde nicht verteilt.Das Programm ist so benutzerfreundlich, dass bei einer anschaulichen Einführung daraufverzichten werden kann. Auf der GeoGebra-Homepage (http://www.geogebra.at) finden sichausführliche Anleitungen, die Lehrkräften eine schnelle Einarbeitung in die Funktionen ermöglichen:Eigene Konstruktionen mit GeoGebraDas Online-Arbeitsblatt mit den Arbeitsaufträgen für die Schülerinnen und Schüler wurdemithilfe des Homepage-Generators von lo-net (http://www.lehrer-online.de/url/lo-net.de) erzeugt.Die Aufgaben wurden innerhalb von drei Unterrichtsstunden bearbeitet. Im Vorfeld derUnterrichtseinheit wurde auf allen Rechnern GeoGebra installiert.Arbeitsblatt• Online-Arbeitsblatthttp://www.lo-net.de/class/lehreronline-dreieck/generator.htmArbeitsaufträge und Links zum Thema "Besondere Linien im Dreieck"• linien_im_dreieck_ab.rtfRTF-Version des Online-ArbeitsblattesMusterlösungenDie folgenden Dateien (Musterlösungen) können Sie mit der kostenfreien GeoGebra-Software öffnen:• umkreis.ggbSchnittpunkt der Mittelsenkrechten• höhenschnittpunkt.ggbSchnittpunkt der Höhen im Dreieck• inkreis.ggbSchnittpunkt der Winkelhalbierenden• seitenhalbierende.ggbSchnittpunkt der SeitenhalbierendenDie Ergebnisse wurden im Heft protokolliert und im Unterricht vorgetragen. Um den Lernerfolgzu sichern, wechselten mit Computerarbeit ausgefüllte Stunden und Stunden mit Unterrichtsgesprächenimmer wieder ab. In den computerfreien Stunden wurden auch die Ergebnisseder per Hand gelösten Aufgaben miteinander verglichen und das saubere Zeichnen mitZirkel und Lineal wurde geübt. Während die meisten Schülerinnen und Schüler die Arbeit mitGeoGebra bevorzugten, favorisierte nur eine kleine Gruppe die Arbeit mit Zirkel und Lineal,deren Einsatz aber unerlässlich ist. Da GeoGebra nur für die Konstruktion der Mittelsenkrechtenund Winkelhalbierenden eigene Funktionen bietet, mussten die Schülerinnen undSchüler bei der Konstruktion der Höhen und der Seitenhalbierenden aus den Eigenschaftender beiden Linien schließen, welche Konstruktionsschritte anzuwenden waren (bis auf wenigeAusnahmen hat dies gut funktioniert):© 2005, Schulen ans Netz e.V. 2PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Lehrer-Online• Höhe: steht senkrecht auf der Seite und geht durch den gegenüberliegenden Eckpunkt• Seitenhalbierende: teilt die Seite und geht durch den gegenüberliegenden EckpunktDer Satz des ThalesUm den Schülerinnen und Schülern die mathematische Beweisidee nahe zu bringen, habensie an den einzelnen Rechnern verschiedene beliebige Dreiecke gezeichnet und alle sind zudemselben Ergebnis gekommen - der Aussage des Satz des Thales. Nachdem der Satzempirisch gefunden wurde erfolgte der mathematische Beweis. Dazu haben die Schülerinnenund Schüler keine eigenen Konstruktionen mit GeoGebra durchgeführt, sondern zwei„gebrauchsfertige“ Java-Applets benutzt:• Satz des Thaleshttp://www.geogebra.at/de/examples/thales_beweis/thales.htmlJava-Applets zum Beweis des SatzesDie Beweisidee, die sich unmittelbar an das erste der beiden Applets anschließt, ist in einerder folgenden Unterrichtsstunden noch einmal ausführlich thematisiert worden. Der Beweisund die Beweisskizze wurden den Schülerinnen und Schülern schnell verständlich.Die Eulersche GeradeAls kleine mathematische Spielerei am Rande haben die Lernenden noch mit einem weiterenJava-Applet gearbeitet. Hier lernten sie sehr anschaulich die Eulersche Gerade kennen,die der Lehrplan zwar nicht berücksichtigt, deren Besprechung sich aber in dem hier vorgestelltenKontext anbietet. Mithilfe des Applets erkannten die Schülerinnen und Schüler, dassbei einem gleichseitigen Dreieck die Schnittpunkte der Höhen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierendenzusammenfallen und die „Eulersche Gerade“ in diesem Fall zu einem Punktwird.• Merkwürdige Punktehttp://www.geogebra.at/de/examples/euler_gerade/euler_gerade1.htmlJava-Applets zur Eulerschen GeradeInternetadressenOnline-Arbeitsblatthttp://www.lo-net.de/class/lehreronline-dreieck/generator.htmArbeitsaufträge und Links zum Thema "Besondere Linien im Dreieck"Satz des Thaleshttp://www.geogebra.at/de/examples/thales_beweis/thales.htmlJava-Applets zum Beweis des Satzes auf der GeoGebra-HomepageMerkwürdige Punktehttp://www.geogebra.at/de/examples/euler_gerade/euler_gerade1.htmlJava-Applets zur Eulerschen Gerade auf der GeoGebra-HomepageZusatzinformationenDynamische Mathematik mit GeoGebrahttp://www.lehrer-online.de/url/geogebraVorstellung der Software mit einer Übersicht über alle Lehrer-Online-Unterrichtseinheiten mitGeoGebra© 2005, Schulen ans Netz e.V. 3PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Lehrer-OnlineInformationen zu den AutorenSandra Schmidtpott (schmidtpott@lehrer-online.de)unterrichtet die Fächer Mathematik und Geographie an der Elsa-Brändström-Schule(http://www.ebs-hannover.de) in Hannover und unterstützt die Redaktion von Lehrer-Onlineals Fachberaterin.Markus Hohenwarter (Markus.Hohenwarter@sbg.ac.at)ist zurzeit Dissertant an der Abteilung für Didaktik der Mathematik, Universität Salzburg. SeinDissertationsprojekt GeoGebra wird von der Österreichischen Akademie der Wissenschaftengefördert.© 2005, Schulen ans Netz e.V. 4PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com