Ideales Fermigas und Thomas-Fermi-Näherung

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3 Thomas-Fermi-Näherung für Weiße Zwerge Theoretische Happen: Ideales FermigasDie Lösung der Poissongleichung mit Randbedingungen (58) ist eindeutig, gegeben durchGl. (56).In einem weißen Zwerg nimmt die Materie die Form eines Plasma an, bestehend aus freibeweglichen Elektronen und positiv geladenen Atomkernen, etwa zweifach geladenen Heliumkernen.Das ganze System ist im hohen Maß ladungsneutral. Auf jedes Elektron entfälltdann eine einfach positiv geladene Menge von Kernmaterie der Masse m K = µm N , worinm N ≈ 1, 67×10 −27 kg die Nukleonenmasse und µ = 〈A/Z〉 das mittlere Verhältnis von MassezahlA zu Kernladungszahl Z, typischerweise µ ≈ 2. Mit n die Teilchendichte der Elektronen,und unter Vernachlässigung der Elektronenmasse m ≈ 9, 109 × 10 −31 kg gegenüberder Nukleonenmasse – schließlich ist m/m N ≈ 1/1836 – ist die Massedichte gegebenund es verbleibt, die Elektronendichte näher zu bestimmen.ϱ(⃗x) = µm N n(⃗x) , (60)Die Elektronen bilden ein Fermigas. In der Thomas-Fermi-Theorie bestimmt der Fermiimpulsder Elektronen p F gemäß (8) die Elektronendichte n, entsprechendϱ = µ (mc)33π 2 3 m N(p F /mc) 3 = (0.97 × 10 6 g/cm 3 )µ(p F /mc) 3 , (61)und da die Massedichte in weißen Zwergen typischerweise eine Tonne pro cm 3 , ist p F ∼mc, die Elektronen also relativistisch. Die entsprechende Fermienergie ∼ mc 2 entsprichteiner Temperatur von 0.5 × 10 10 K. Die Temperatur weißer Zwerge ist weit darunter, d.h.thermische Effekte dürfen getrost vernachlässigt werden. Kurz: die Elektronen bilden einT = 0 entartetes Fermigas.Greift man sich nun ein bei ⃗x zentriertes Volumenelement ∆V heraus, das einerseits so kleingewählt wurde, dass in ihm das Gravitationspotential überall nahezu den festen Wert Φ(⃗x)hat, andererseits groß genug, dass sich in ihm zu jedem Zeitunkt genügend viele Elektronenbefinden (und ebensoviele in den Kernen gebundene Protonen), kann dieses Subsystem alsmehrkomponentiges Gas behandelt werden. Die Gesamtenergie im Volumen ∆V setzt sichdann zusammen aus der kinetischen Energie der in ihm befindlichen Elektronen und Kerne,ihrer Coulombenergie, und der potentiellen Energie der Gravitation. Unter der Annahme,dass das System jederzeit strikt Ladungsneutral ist die Coulombenergie gleich Null. Somitverbleiben die potentielle Energie der Gravitation, die kinetischen Energien der Elektronenund die kinetische Energie der Kerne. Unter Vernachlässigung der Elektronenmassegegenüber der Nukleonenmasse ist die gesamte potentielle Energie der Gravitation im betrachtetenVolumen ∆V∆E grav (⃗x) = ∆N e (⃗x)µm N Φ(⃗x) , (62)wobei ∆N e (⃗x) die Zahl der Elektronen in dem bei ⃗x zentrierten Volumen ∆V , also ∆N e =n(⃗x)∆V .Unter Berücksichtigung einer relativistischen Kinematik für die Elektronen, der Annahmestrikter Ladungsneutralität, und bei Vernachlässigung der kinetischen Energie der Kerne, 6lautet die Gleichgewichtsbedingung für das Sterneneninnere in der Thomas-Fermi-Näherung√p 2 F (⃗x)c2 + m 2 c 4 + µm N Φ(⃗x) = ε F ortsunabhängig für 0 ≤ r = |⃗x| ≤ R , (63)6 Selbst wenn die Kerne identische Fermionen, wäre die Fermienergie des Kernsystems ∼ (m e c) 2 /m Kum den Faktor m e /m K 10 −3 kleiner als die Fermienergie der Elektronen.c○Martin Wilkens 10 2. November 2012
3 Thomas-Fermi-Näherung für Weiße Zwerge Theoretische Happen: Ideales Fermigaswobei ε F die Fermienergie des Gesamtsystems. Man beachte, dass die potentielle Energie dieNukleonenmasse involviert – vgl. (62). Ausserhalb des Sterns, also für r > R wo ϱ = 0 – undauch p F = 0 – ist Φ(⃗x) = − GM . Setigkeit am Sternenrand r = R fixiert die Fermienergie,rε F = mc 2 − µ GMm NR. (64)√Umstellen von Gl. (63) liefert Φ(⃗x) = − mc2µm N1 + (pF /mc) 2 + const.. Für die in Gl. (61)angegebene Massedichte nimmt die Poissongleichung (57) nun die Form an√( ) 2 ( ) 3Λ 2 pF (⃗x) pF (⃗x)∗∆ 1 + = −(65)mcmcworin Λ ∗ eine Konstante der Dimension “Länge”,√3π 1 m PlΛ ∗ =¯λ C = 7.8 × 10 8 1 cm . (66)4 µ m N µHier bezeichnet m Pl die Planckmasse, m Pl = √ c/G, und ¯λ C die Comptonwellenlänge desElektrons, λ C = /(mc). Abgesehen von der systemspezifischen Kompositionskonstanten µist die Längenskala eines weißen Zwerges ausschließlich durch Naturkonstanten bestimmt.Die Wurzel in (65) gibt die kinetische Energie in Einheiten der Ruheenergie mc 2 . DieseEnergie ist maximal im Zentrum des Sterns – schließlich ist die Gravitation anziehend,daher Φ in Richtung Zentrum monoton fallend, angesichts der Gleichgewichtsbedingung(63) die kinetische Energie in Richtung Zentrum monoton wachxend. Der Maximalwert, inEinheiten der Ruheenergie mc 2 η :=√1 +( ) 2 pF (0)(67)mcdient im Folgenden dazu, die weißen Zwerge zu klassifizieren. Im nichtrelativistischen Regimeη ≈ 1 (man beachte η ≥ 1), im ultrarelativistischen Regime η → ∞.Führt man an dieser Stelle eine Hilfsfunktion φ und eine dimensionslose Radialkoordinateζ ein,√φ(ζ) := 1 ( ) 2 pF (r)1 +wobei ζ := ηr/Λ ∗ , (68)η mcliest sich die Poissongleichung (65)(1 dζ 2 dφ ) { ( ) 3/2=− φ 2 − 1 für ζ mit φ > η −1ζ 2 η 2dζ dζ0 für ζ mit χ ≤ η −1 ., (69)sog. Chandrasekhar-Gleichung. Die Randbedingungen der bei ζ = 0 singulären Gleichunglassen sich aus der Defintion der Hilfsfunktion, Gl. (68), und (58) und ablesen,φ(0) = 1 ,dφ(0) = 0 . (70)dζc○Martin Wilkens 11 2. November 2012
Seite 4 und 5: 2 Thomas-Fermi Näherung für Atome
Seite 12 und 13: 3 Thomas-Fermi-Näherung für Weiß

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