Ideales Fermigas und Thomas-Fermi-Näherung

2 Thomas-Fermi Näherung für Atome Theoretische Happen: Ideales Fermigas⊲ Lösung 1 Für relativistische Teilchen ist die die Einteilchenenergie ε ⃗k =Die Grundzustandsenergie infolgedessen| ⃗ k|≤k∑ F √√E 0 ≡ 2 m 2 c 4 + c 2 2⃗ k 2 = 2 ·1 += 2 ·wo I das Integral⃗ kV(2π) 3 · 4π · mc2 ·( mcI =V(2π) 3 · 4π · mc2 ∫ kF0√m 2 c 4 + c 2 2⃗ k 2 .( ) 2 kk 2 dk (16)mc) 3I (17)∫ α0√1 + x2 x 2 dx (18)mit α = k F /(mc). Mit der Substiution x = sinh(y/4), dx = cosh(y/4)dy/4,ergoI = 1 4∫ βwo β implizit gegeben0cosh 2 (y/4) sinh 2 (y/4)dy = 1 16∫ β0sinh 2 (y/2)dy = 1 {sinh β − β} , (19)32( mc) 3E 0 /V = mc 2 1{sinh β − β} (20) 32π2 α ≡ k (√ )Fmc = sinh(β/4) bzw. β = 4 ln 1 + α2 + α. (21)2 Thomas-Fermi Näherung für AtomeIn einem neutralen Z-Elektronen Atom tummeln sich Z negativ geladene Elektronen umeinen Z-fach positiv geladenen Kern. Mit Ausnahme Z = 1 ist es hoffnungslos, den Grundzustanddieses komplizierten Vielteilchensystems exakt zu berechnen. Man ist auf NäherungsverfahrenangewiesenEin solches Näherungsverfahren ist die Molekularfeldnäherung von Thomas und Fermi. Indieser Näherung wird angenommen, dass jedes Elektron ein und dasselbe zeitunabhängige,effektive Potential verspürt, das einerseits durch den Kern, andererseits durch die Verteilungder Elektronen selbst bestimmt ist. Kern und Elektronen sind Quelle eines Coulombfeldes.Für gegebene Teilchendichte n(⃗x) der Elektronen ist nach den Regeln der klassischen Elektrostatikdas effektive Einteilchenpotential gegebenU(⃗x) = − e2 04πɛ 0Z|⃗x| + e2 04πɛ 0∫n(⃗x ′ )|⃗x − ⃗x ′ | d3 x ′ , (22)wobei r = |⃗x| (der Kern ist im Ursprung des Koordinatensystems plaziert), und∫n(⃗x)d 3 x = Z (23)aufgrund der Neutralität des Atoms.c○Martin Wilkens 4 2. November 2012