Prof. Dr. W. Stenkamp Konstruktion I

Getriebe mit 

Hohlwelle 

Prof. Dr. W. Stenkamp 

Konstruktion I 

September 2007 

Trommelbremse Strömungskupplung 

Schwinge E-Motor 

Antriebssystem 

Förderbandantrieb

Vorlesungsergänzung Konstruktion I Thema: Inhalt 

Lehrgebiet: Konstruktion I ( V2 / Ü2 ) Prüfungsleistung K2 + E oder R + E 

Vorlesung 

1. Zahnräder und Zahnradgetriebe 

1.1 Allgemeines 

1.2 Verzahnungsgesetz 

1.3 Erzeugung von Evolventenprofilen 

1.4 Bezugsprofil und Herstellung der Evolventenverzahnung 

1.5 Geometrie der Geradzahnstirnräder mit Evolventenverzahnung 

1.5.1 Begriffe und Bestimmungsgrößen 

1.5.2 Verzahnungsmaße der Nullräder 

1.5.3 Eingriffsstrecke, Profilüberdeckung 

1.5.4 Unterschnitt, Grenzzähnezahl und Profilverschiebung 

1.5.5 Evolventenfunktion-Zahndicke 

1.5.6 Zahnradpaarung 

1.6 Geometrie der Schrägstirnräder 

1.7 Berechnungsbeispiel, Schrägverzahnung-Geometrie, Roloff/Matek S. 711 

1.8 Toleranzen, Verzahnungsqualität 

1.9 Zahnkräfte 

1.10 Tragfähigkeitsberechnung 

1.11 Berechnungsbeispiel, Schrägverzahnung-Tragfähigkeit, Roloff/Matek S. 711 

1.12 Entwurfsberechnung 

1.13 Gestaltung von Getrieben –Beispiele- 

2. Kupplungen 

Übungen: 

2.1 Aufgaben und systematische Einteilung 

2.2 Berechnungsgrundlagen 

2.3 Bauformen nicht schaltbarer Kupplungen 

2.4 Bauformen schaltbarer Kupplungen 

Einführung in die Nutzung umfangreicher Berechnungssoftware. 

Rechnerunterstützte Bearbeitung einer Entwurfsaufgabe als Studienarbeit am Beispiel einer 

Maschine zur Übertragung mechanischer Leistung. 

Prüfungsanforderungen 

Kenntnisse über die Berechnungsgrundlagen und Eigenschaften von Kupplungen. Vertiefte 

Kenntnisse über die geometrische Auslegung von Stirnradgetrieben, deren 

Festigkeitsberechnung und Gestaltung. 


Seite I

Vorlesungsergänzung Konstruktion I Thema: Inhalt 

Literatur 

Roloff/Matek Maschinenelemente Lehrbuch 2005 Vieweg Verlag 17. Auflage 

Rolof/Matek Maschinenelemente Tabellen 2005 Vieweg Verlag 17. Auflage 

Niemann/Winter Maschinenelemente 1985 Springer Verlag 2. Auflage 


Seite II

Vorlesungsergänzung Konstruktion I Thema: Zahnräder und Zahnradgetriebe 

1. Zahnräder und Zahnradgetriebe 

1.1 Allgemeines 

Bild 1.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau einer Maschinenanlage (z.B. Förderbandantrieb). 

Drehzahl nab und Drehmomentenbedarf Tab der Arbeitsmaschine (Förderband) sind durch 

den Arbeitsprozess vorgegeben. 

Beispiele für Maschinenanlagen: 

• nab konstant, sehr hoch und Tab konstant bei einem Verdichter, 

• nab klein und Tab konstant, groß bei einem Förderband oder manchen 

Werkzeugmaschinen, 

• wechselnd: nab klein / Tab groß beim Anfahren eines Kraftfahrzeuges und nab groß / 

Tab klein beim Fahren in der Ebene, 

• geradlinige Vorschubbewegung mit unterschiedlicher Geschwindigkeit 

(Werkzeugmaschine). 

Förderband 

Pab ; nab ; 

Pv 

Motor 

Pan ; nan ; Tan 

1 Drehstrommotor 

2 Kupplung 

3 Trommelbremse 

4 Getriebe 

5 Förderbandtrommel 

6 Stehlager 

7 Drehmomentenstütze 

Pan zugeführte Leistung 

Pab abgeführte Leistung 

Pv Verlustleistung Antriebssystem 

Getriebe 

Drehmoment Tan > oder < Tab 

Drehzahl nan > oder < nab 

Leistung Pan = Pab + Pv 

Kupplung 

Drehmoment Tan = Tab 

Drehzahl nan ≥ nab 

Leistung Pan = Pab + Pv 

Verlustleistung Pv bei Schlupf 

Bild 1.1 Bezeichnungen für Getriebe und Kupplung bei Leistungsübertragung 

Der meist verwendete, robuste Drehstrom-Asynchron-Motor wird aus Kostengründen 2 -, 4 - 

oder 6 polig ausgeführt. Bei einer Netzfrequenz von 50 Hz liegen damit die 

Synchrondrehzahlen ns = 3 000, 1 500 oder 750 min -1 fest. Auch ein Verbrennungsmotor 

arbeitet nur in einem kleinen Drehzahlbereich wirtschaftlich. Turbinen kleiner und mittlerer 

Leistung werden aus demselben Grund für hohe Drehzahlen ausgelegt. 

Das Getriebe wandelt Drehzahl und Drehmoment der Kraftmaschine und passt beide 

dem Bedarf der Arbeitsmaschine an 

Je nach der Art des Arbeitsprozesses benötigt man demnach Getriebe mit konstanter oder 

mit veränderlicher Übersetzung (Verstellgetriebe). Bleibt das Verhältnis zwischen An- und 

Abtriebdrehzahl konstant, so spricht man von gleichförmig übersetzenden Getrieben. Ein 

Getriebe besteht im Prinzip aus mindestens drei Gliedern: Antriebs- und Abtriebswelle und 

1


feststehendem Gestell (Gehäuse), in dem beide Wellen miteinander gekoppelt sind. Das 

Gestell überträgt ein Abstützmoment auf das Fundament. 

Übersetzung i = nan / nab = n1 / n2 = ω1 / ω2 

Getriebe mehrstufig i = i1,2 ⋅ i3,4 ⋅ i5,6 ...... 

Leistung P P = T ω = Pab = Pan = konstant mit Wirkungsgrad η = 1 

Abstützmoment(Gestell) TG = Tab - Tan 

Die Bewegungsübertragung kann dabei entweder formschlüssig oder reibschlüssig erfolgen. 

Die wichtigsten Bauarten formschlüssiger Getriebe sind in Bild 1.2 dargestellt 

a) Schraubradgetriebe b) Schneckengetriebe c) Kegelschraubgetriebe (Hypoidräder) 

Bild 1.2 Bauarten von Getrieben 

Wellen parallel 

a) b) c) 

Wellen schneiden sich 

Wellen 

kreuzen sich 

2


1.2 Verzahnungsgesetz 

Bild 1.3 Wälzzylinder mit 

gemeinsamer Wälzebene 

Umfangsgeschwindigkeit vt = r1 ω1 = r2 ω2 Übersetzung i = ω1 / ω2 = - r2 / r1 = konstant 

Bild 1.4 Eingriffsstellungen und Umfangsgeschwindigkeiten. a) bei Beginn ( v1 < v2), b) in der 

Mitte (v1 = v2), c) am Ende des Eingriffs (v1 > v2) 

v1 = ω1 R1 und v2 = ω2 R2 ; i = ω1 / ω2 = (v1 R2) / (v2 R1) = konstant 

im Wälzpunkt C (Bild 1.4 b): R1 = r1 und R2 = r2 und damit i = ω1 / ω2 = - r2 / r1 

Zerlegen der Umfangsgeschwindigkeit v1 und v2 nach Bild 1.5 in Richtung der gemeinsamen 

Tangenten und Normalen 

vn1 = ω1 rn1; vn1 / v1 = (ω1 rn1) / (ω1 R1) = rn1 / R1 

vn2 = ω2 rn2; vn2 / v2 = (ω2 rn2) / (ω2 R2) = rn2 / R2 

1 Achse des Kleinrades (Ritzel); treibend mit ω1 

2 Achse des Großrades (Rad); getrieben mit ω2 

a Achsabstand a = (r1+r2) / 2 

Ein Zahnradpaar muss Drehmoment wandeln und die 

Drehbewegung von einer Welle auf eine zweite 

gleichförmig übertragen, d.h., es muss ω1 / ω2 = 

konstant sein. Dies geschieht, wenn zwei 

Wälzzylinder mit gemeinsamer Wälzebene ohne 

Schlupf aufeinander abwälzen. Die Wälzachse C-C ist 

dabei die Momentanachse der Bewegung. Da bei 

Zahnrädern die Bewegung durch Formschluss 

übertragen wird, müssen die Zahnformen so 

beschaffen sein, dass sich in beide 

zusammenlaufende Zahnräder gedachte Wälzzylinder 

einschreiben lassen, die ohne Schlupf aufeinander 

abwälzen. 

3


Da die Normale durch den Wälzpunkt C geht müssen auch die Umfangsgeschwindigkeiten 

vn1 und vn2 gleichgerichtet und gleich groß sein (vn1 = vn2). Die Flanken würden sich sonst 

voneinander abheben oder die treibende sich in die getriebene eindrücken. 

rn1 (v1 / R1) = rn2 (v2 / R2) Es gilt somit: i = ω1 / ω2 = - rn2 / rn1 = - r2 / r1 (1.1) 

rn1 ω1 = rn2 ω2 

Die Gleichung besagt, dass der Schnittpunkt C der Wälzpunkt sein muss und dass r1 und r2 

die Wälzkreisradien sind. Die Normale im Berührungspunkt zweier Zahnflanken muss also 

den Achsabstand a = r1 + r2 im konstanten Übersetzungsverhältnis teilen. Dieses Gesetz 

heißt das allgemeine Verzahnungsgesetz. 

Bild 1.5 Geschwindigkeitsvektoren 

beim Zahneingriff 

1.3 Erzeugung von Evolventenprofilen 

Verzahnungsgesetz: 

Die Verzahnung ist zur Übertragung einer 

Drehbewegung mit konstanter Übersetzung 

dann brauchbar, wenn die gemeinsame 

Normale n-n in jedem Eingriffspunkt 

(Berührung) B zweier Zahnflanken durch den 

Wälzpunkt C geht. 

Neben dem Wälzen tritt Gleiten auf. 

Gleitgeschwindigkeit vg = vt2 –vt1 

Bei Berührung der Zahnflanken im Wälzpunkt C 

tritt kein Gleiten auf (reines Wälzen). 

Mit v1 > v2 ist bei Kopfangriff am Rad 1 die 

Gleitgeschwindigkeit negativ. Die Bahn die der 

Berührungspunkt B beschreibt ist die 

Eingriffslinie. Sie ist also der geometrische Ort 

aller aufeinander folgenden Berührungspunkte 

zweier Zahnflanken. 

Zwei Flankenprofile können nur 

zusammenarbeiten, wenn Sie die gleichen 

Eingriffslinien haben, deren Verlauf durch 

das Verzahnungsgesetz festgelegt ist. 

Aus dem allgemeinen Verzahnungsgesetz geht hervor, dass alle Kurven, deren Normalen 

den zugehörigen Wälzkreis in einer Richtung fortschreitend schneiden, als Flankenprofil 

geeignet sind. Für die Praxis sind jedoch nur solche Flankenprofile sinnvoll, die einfache 

Eingriffslinien ergeben und die mit einfachen Werkzeugen sehr genau hergestellt werden 

können. Neben der wirtschaftlichen Herstellung ist natürlich die Austauschbarkeit 

(Ersatzteile) ein wichtiges Argument für die Einschränkung der Vielzahl unterschiedlicher 

Flankenformen. Die im Maschinenbau vorherrschende Verzahnungsart ist die 

Evolventenverzahnung mit Evolventen als Zahnflanken. Eine andere Verzahnungsart, 

die Zykloidenverzahnung, wird für besondere Anwendungen(z.B. Triebstockverzahnung) 

eingesetzt. 

Kreisevolventen sind Kurven, die ein Punkt einer Geraden beschreibt, der auf einen 

Grundkreis mit dem Grundkreisradius rb abrollt (Bild 1.6a). Die Evolventenverzahnung zeigt 

die Stirnprofile des Zahnrades als Teile der Evolventen (Bild1.6b). Bei einem 

außenverzahntem Stirnpaar ist entsprechend dem Verzahnungsgesetz die Eingriffslinie eine 

Gerade (Rollgerade), die beide Grundkreise der Räder rb1 und rb2 in den Punkten T1 und T2 

4


tangiert (Bild 1.7). Die Eingriffslinie schließt mit der Tangente an die Grundkreise in C den 

Winkel α ein, der als Eingriffswinkel bezeichnet wird. 

Bild 1.6 a) Kreisevolvente b) Evolventen am Bild 1.7 Grundlagen der Evolventenverzahnung 

Stirnrad 

Bild 1.8 Erzeugung eines Radzahnprofiles mit 

einem geradlinigen Zahnstangenprofil 

Die Erzeugung eines Zahnprofiles mit einem 

geradlinigen Zahnprofil b2, das zu einer 

Zahnstange mit r2 → ∞ gehört, bietet den 

Vorteil einer aufwandarmen Herstellung des 

benötigten Herstellwerkzeuges. 

Anhand von Bild 1.8 lassen sich folgende 

Schritte erklären: 

- Auf Zahnprofil b2 Punkt B2 wählen und 

Normale in B2 auf b2 in C`mit Rollgeraden zum 

Schnitt bringen. 

- Teilkreise um Strecke CC`= Bogenlänge CC“ 

abrollen lassen, so dass B2 nach B gelangt. B 

stellt einen Punkt der Eingriffslinie dar, da die 

Profilnormale durch den Wälzpunk C geht und 

das Verzahnungsgesetz erfüllt ist. 

- Durch Drehen des Rades in seine 

Ausgangsposition kommt der Punkt B nach B1. 

B1 ist ein Punkt des gesuchten Zahnprofiles b1. 

Alle Punkte Bj mit i = 1, 2, 3, .... ergeben das 

Zahnprofil b1. 

- Alle Punkte der Eingriffslinie liegen auf der 

Geraden durch C und B. 

5


- α = α0 ist der halbe Eingriffswinkel des Zahnstangenprofils. Man bezeichnet ihn auch als 

Herstellungseingriffswinkel. 

- Der kleinste Kreis für die Konstruktion von Bj – Punkten tangiert im Punkt T1 die 

Eingriffsgerade. Er heißt Grundkreis mit dem Radius rb1. 

- Die Eingriffsgerade rollt bei der Erzeugung der Punkte Bj auf dem Grundkreis ab. Das 

erzeugte Profil b1 ist also ein Evolventenprofil. 

- Der Endpunkt C eines um den Grundkreis gewickelten Fadens beschreibt beim gestrafften 

abrollen eine Kurvenbahn, die gleich der Evolvente b1 ist. Die Strecken CT stellen jeweils die 

Krümmungsradien ρ der Evolventen dar. 

- Die Eingriffslinie ist zentralsymmetrisch 

- Mit vorgegebenem geradlinigen Zahnprofil b2 lassen sich durch unterschiedlich große 

Teilkreisradien r1 verschiedene Evolventenprofile b1 erzeugen. Sie haben alle die gleiche 

zentralsymmetrische Eingriffslinie. Somit sind die verschiedenen Evolventenprofile b1 unter 

Wahrung des Verzahnungsgesetzes untereinander paarbar. 

- Evolventenprofile haben also Satzrädereigenschaften, da Eingriffsprofile vom Wälzpunkt 

zum Zahnfuß mit Eingriffsprofilen vom Wälzpunkt zum Zahnkopf miteinander kämmen 

können. 

1.4 Bezugsprofil und Herstellung der Evolventenverzahnung 

Bild 1.9 

Evolventen-Zahnstangengetriebe 

mit z2 = ∞ 

Wird die Zähnezahl des Rades z2 = ∞, so werden der Wälzkreisradius r2 und der Grundkreis 

rb2 unendlich groß. Das heißt, der Wälzkreis 2 geht in eine Wälzgerade über, die Flanke 2 

wird geradlinig, und es entsteht auf diese Art ein Zahnstangengetriebe (Bild 1.9). Das 

entstehende Zahnprofil (von der Ausrundung im Fuß abgesehen) wird auch Bezugsprofil 

genannt. Es ist in DIN 867 mit α = αP =α0 (= halber Flankenwinkel) genormt (Bild 1.10). Aus 

Bild 1.11 geht hervor, dass man die Flanke des Rades 1 auch dadurch erhält, das man die 

Zahnstange mit ihrer Wälzgeraden am Wälzkreis 1 abrollt. Hierauf beruht die einfachste und 

am meisten verwendete Herstellung von Evolventenverzahnungen mit Hilfe von 

geradflankigen Zahnstangenwerkzeugen (Hobelkamm, Abwälzfräser). Das Zahnstangen- 

Werkzeugprofil ist in Bild 1.10 dargestellt. 

6


Aus praktischen Gründen (Austauschbarkeit und Vereinheitlichung der Werkzeuge) ist eine 

„Normverzahnung“ mit einem Eingriffswinkel α = 20° festgelegt worden. Der Profilwinkel αP 

ist somit gleich dem Eingriffswinkel α. Die Maße am Bezugsprofil sind festgelegt durch den 

Modul m und die Profilbezugslinie : auf P-P werden die Teilung p, die Zahndicke s und 

die Lückenweite e angegeben; auf P-P bezogen werden die Kopfhöhe haP = m (m = 

Modul) und die die Fußhöhe hfP = m + c, die zusammen die Zahnhöhe des Bezugsprofils 

hP = 2m + c ergeben. Die nutzbare Zahnflanke ist durch die gemeinsame Zahnhöhe hwP = 

2m festgelegt. 

Für die Herstellung der Fußausrundung sind dem Kopfspiel entsprechend die 

Werkzeugschneiden über das Maß m hinaus verlängert. Die Kopfspielrundung muss an oder 

unterhalb von A2 beginnen, so das der Abrundungsradius ρa0 = c / (1 - sinα0) wird. 

P P 

Bild 1.10 

Bezugsprofil 

nach DIN 867 

Bild 1.11 Herstellung einer Evolventenverzahnung mit geradflankigem Zahnstangen- 

Werkzeug 

Zahnflanken können auch mit einem Schneidrad hergestellt werden (Bild 1.13), das 

hinterschliffene Zahnflanken und einen hinterschliffenen Außendurchmesser besitzt. Dieses 

Schneidrad führt beim Abwälzen wie der Hobelkamm eine hin- und hergehende 

Stoßbewegung in Zahnrichtung aus. In DIN 3972 sind abhängig vom Fertigungsverfahren 

vier Werkzeug-Bezugsprofile mit unterschiedlichen Zahnhöhen definiert 

7


Bild 1.13 a) Wälzstoßen mit Schneidrad b) Wälzhobeln mit Hobelkamm 

c) Hüllschnitte d) Wälzfräsen 

Bild 1.12 nebenstehend 

a) Zahnflanke nach Abspanen der 

Bearbeitungszugabe tn 

b) Abspanen mit Protuberanz- 

Wälzfräser 

Durch das Abspanen der 

Bearbeitungszugabe beim Schleifen 

entsteht eine Kerbe am Zahnfuß und 

mindert die Dauerhaltbarkeit des 

Zahnes. Die lässt sich vermeiden durch 

Freiarbeiten des Zahnfußes bei 

Vorbearbeitung mittels Protuberanz- 

Wälzfräser (Sonderwerkzeug). 

8


1.5 Geometrie der Geradzahnstirnräder mit Evolventenverzahnung 

1.5.1 Begriffe und Bestimmungsgrößen 

Bild 1.14 Bezeichnungen am außenverzahnten Geradstirnrad Bild 1.15 Teilungen am 

Geradstirnrad 

Für die Verzahnungen der Stirnräder werden die in Bild 1.14 dargestellten Bezeichnungen 

verwendet. Das Kleinrad(Ritzel) erhält den Index 1 und das Großrad(Rad) den Index 2 bzw. 

ohne Index gelten die Gleichungen sowohl für das Ritzel und das Rad. Unter der 

Teilung p versteht man die auf dem „Teilkreis“ gemessene Entfernung zwischen zwei 

aufeinander folgenden Rechts- oder Linksflanken. Sind die Teilkreise gleich den 

Wälzkreisen, so muss bei zwei miteinander kämmenden Rädern jeweils die gleiche Teilung p 

vorhanden sein. Mit dem Teilkreisumfang U1 = d1 π = z1 p und U2 = d2 π = z2 p 

erhält man die 

p 

Teilkreisdurchmesser d1,2 = ⋅ z1,2 = m ⋅ z1,2 mit p = m ⋅ π (1.2) 

π 

Die Teilung p wird also als Vielfaches von π angegeben, wobei m als Modul bezeichnet wird 

und eine Bezugsgröße für Zahnradabmessungen darstellt. Modulreihen sind in DIN 780 

genormt (TB21-1). 

Die Zahndicke s und die Lückenweite e ergänzen sich zu p = s + e. 

Die Zahnflankenevolvente beginnt auf dem Grundkreis db. Nach Bild 1.15 gilt mit dem 

Grundkreisumfang Ub = db ⋅ π = z ⋅ pb 

Grundkreisdurchmesser db1,2 = d1,2 ⋅ cos α = z1,2 ⋅ m ⋅ cos α (1.3) 

Grundkreisteilung pb = db1,2 ⋅ π / z1,2 = p ⋅ cos α (1.4) 

Eingriffsteilung pe = pb (1.5) 

9


Zahndickenhalbwinkel am Teilkreis Ψ = s / d (1.6) 

Zahndickenhalbwinkel am Kopfkreis Ψa = sa / da (1.7) 

1.5.2 Verzahnungsmaße der Nullräder 

Wird bei der Erzeugung der Verzahnung die Profilbezugslinie P-P des Werkzeuges jeweils 

auf dem Teilkreis von Ritzel und Rad abgerollt, entsteht ein Zahnradpaar mit Nullverzahnung 

(die Wälzgerade fällt mit der Profilbezugslinie zusammen). Der Betriebseingriffswinkel αw 

(Winkel zwischen der Tangente an die Grundkreise und der Wälzgeraden) ist gleich dem 

Erzeugungseingriffswinkel α = 20° und die Erzeugungs-Wälzkreise gleich Teilkreise ( dw1,2 = 

d1,2) sind auch Betriebswälzkreise, die sich im Wälzpunkt C berühren (Null-Radpaar). 

Bild 1.16 Null-Radpaar: Paarung zweier Nullräder mit gemeinsamen Bezugsprofil 

Die Zahnradabmessungen sind durch das Bezugsprofil nach DIN 867 (Bild 1.10) mit dem 

Kopfspiel c, als Nennmaße bestimmt: 

Zahnkopfhöhe ha = haP = m (1.8) 

Zahnfußhöhe hf = hfP = m + c (1.9) 

Zahnhöhe h = ha + hf = hP = 2m + c (1.10) 

Kopfkreisdurchmesser da1,2 = d1,2 + 2 ⋅ ha = m ⋅ (z1,2 + 2) (1.11) 

Fußkreisdurchmesser df1,2 = d1,2 - 2 ⋅ hf (1.12) 

Null-Achsabstand ad = (d1 + d2) / 2 (1.13) 

Umfangsgeschwindigkeit am Teilkreis v = d1 ⋅ π ⋅ n1 = d2 ⋅ π ⋅ n2 (1.14) 

Übersetzung 

ω1 

n 

i = = 

ω2 

n 

Zähnezahlverhältnis mit z2 ≥ z1 

1 

2 

i = − 

d 

d 

2 

1 

z 

i − 

z 

2 

= (1.15) 

u = -z2 / z 1 (1.16) 

Bei gegebener Übersetzung ins Langsame (i = u) lassen sich für einen gewünschten Null- 

Achsabstand ad die Teilkreisdurchmesser d1 und d2 berechnen zu 

1 

10


Teilkreisdurchmesser 

d 

1 

2 ⋅ ad 

= 

1 + u 

1.5.3 Eingriffsstrecke, Profilüberdeckung 

Bild 1.17 Eingriffsstrecke AE = gα 

d 

2 

2 ⋅ ad 

⋅ u 

= 

1 + u 

1.5.4 Unterschnitt, Grenzzähnezahl und Profilverschiebung 

Bild 1.18 Unterschnitt am Zahnrad mit z = 7 

Um eine gleichförmige Kraft- und Bewegungsübertragung 

eines außenverzahnten 

Nullradpaares zu gewährleisten, muss bereits ein 

neuer Zahn im Eingriff sein, wenn der 

vorhergehende Zahn außer Eingriff kommt. Die 

durch den Schnittpunkt der Kopfkreise mit der 

Eingriffslinie festgelegte Eingriffsstrecke 

g α = AE muß größer als die Eingriffsteilung pe 

sein (s. Bild 1.15 und Bild 1.16). 

Es gilt nach Bild 1.17: 

T 2 

AE 2 

1 T2 

= T1E 

− AE + T A 

= T1 

E + T2A 

− T1T 

= gα 

(1.17) 

2 2 2 2 

( d a1 

− d b1 

+ d a2 

− d b2 

) − a ⋅ α 

gα = 0, 

5⋅ 

d sin 

Das Verhältnis der Eingriffsstrecke gα zur 

Eingriffsteilung pe ist die Profilüberdeckung 

gα 

εα 

= = 

pe 

gα 

≥ 1, 

1 (1.18) 

π ⋅ m ⋅ cosα 

Das Profil des Zahnfußes kann durch 

Abrollen der Profilmittellinie auf dem 

Wälzkreis zeichnerisch bestimmt 

werden, indem zuerst die Relativbahn 

des Abrundungsmittelpunktes Am 

bestimmt und danach im Abstand ρ die 

Hüllkurve (oder Äquidistante) gezogen 

wird. Bei Zähnezahlen (z ≥ 17 bis 21) 

gehen die Evolventen und die Hüllkurve 

(Fußausrundung) tangential ineinander 

über. Bei kleineren Zähnezahlen dringt 

das Werkzeug jedoch zu weit in den 

Zahnfuß ein, so dass ein Unterschnitt 

entsteht. In Bild 1.18 ist der Zahn eines 

Zahnrades mit z = 17 Zähnen dargestellt, 

bei dem infolge Unterschnitt der Zahnfuß 

viel zu schwach und die wirksame 

Eingriffsstrecke zu klein ist. Ein Vergleich 

von Bild 1.9 mit Bild 1.18 zeigt, dass 

theoretisch nur dann eine brauchbare 

Zahnform entsteht, wenn der Punkt A` 

11


auf T1 liegt, da die nutzbare Evolvente oberhalb des Grundkreises liegen sollte. Es entsteht 

also nur dann theoretisch eine brauchbare Zahnform, wenn der der Punkt A` innerhalb von 

T1 – C zu liegen kommt. Für den Grenzfall (kein Unterschnitt) liegt A´= A auf T1. 

Um bei Zähnezahlen kleiner als der Grenzzähnezahl z = zg Unterschnitt zu vermeiden, wird 

das Zahnprofil verschoben. Profilverschobene Zahnräder werden auch zur Anpassung von 

vorgegebenen Achsabständen verwendet oder um günstigere Zahnformen, höhere 

Tragfähigkeit oder bessere Gleit- und Verschleißverschleißverhältnisse zu erhalten. 

Zur Herstellung eines profilverschobenen Zahnrades wird die Profilmittellinie des 

Verzahnungswerkzeuges so verschoben, dass die Profilmittellinie nicht mehr den Wälzkreis 

C berührt, sondern das vielmehr eine um den Betrag der Profilverschiebung entfernte 

Parallele zur Wälzgeraden wird (Bild 1.19). Die Profilverschiebung wird abhängig vom Modul 

ausgedrückt. Ein Abrücken um den Betrag + x ⋅⋅⋅⋅ m von der Radmitte nach außen wird als 

positive, eine Verschiebung um – x ⋅⋅⋅⋅ m zur Radmitte nach innen wird als negative 

Profilverschiebung bezeichnet. Der Faktor x heißt Profilverschiebungsfaktor. In 

Abhängigkeit von der Profilverschiebung ändert sich die Zahnform nach Bild 1.20. 

Je nach Art der Profilverschiebung unterscheidet man: 

Bild 1.19 Profilverschiebung 

(Herstellung eines profilverschobenen 

Zahnrades) 

Bild 1.20 

Zahnform in Abhängigkeit 

von der Profilverschiebung 

a) beim Nullrad 

b) bei pos. Verschiebung 

c) bei neg. Verschiebung 

-Nullräder, bei denen keine Profilverschiebung vorgenommen worden ist. 

Das Nennmaß der Zahndicke am Teilkreis beträgt s = p / 2 = e (Lückenweite). 

-V-Räder sind Zahnräder mit Profilverschiebung. 

Vplus - Räder haben positive Profilverschiebung, wodurch sich Kopf- und Fußkreis 

vergrößern. Die Zähne werden am Zahnkopf spitzer und am Zahnfuß breiter 

12


gegenüber Nullräder. Am Teilkreis gilt für die Zahndicke s > p / 2 und e 

(Lückenweite). 

Vminus - Räder haben negative Profilverschiebung. Kopf- und Fußkreis werden 

kleiner. Am Teilkreis gilt s p / 2. Die Unterschnittgefahr nimmt zu, der 

Zahnfuß wird geschwächt und die Tragfähigkeit vermindert. 

Nach Bild 1.21 gilt: 

( ha0 

− ρa0 

⋅ ( 1 − sin α) 

− x ⋅ m) 

m ⋅ zg 

⋅ sin α 

TC = = r ⋅ sin α = 

(1.19) 

sin α 

2 

z.B. mit dem Bezugsprofil II (ha0 = 1,25 ⋅ m ; ρa0 = 0,2 ⋅ m ; α = 20°) erhält man 

z zg 

= 17, 

1⋅ 

( 1, 

12 − x) 

A2 

Bild 1.21 Rad mit Zähnezahl an der Unterschnittsgrenze 

und Bezugsprofil mit Werkzeugkopfabrundung 

Um Eingriffsstörungen zu 

vermeiden müssen die 

Schnittpunkte der Kopfkreise A 

und E auf der Eingriffslinie 

zwischen den Tangentenpunkten 

T1 und T2 liegen (Bild 1.16 und 

Bild 1.17). Unterschnitt lässt sich 

bei Geradverzahnung bei 

Zähnezahlen unterhalb von 

z = zg = 17 bis 21 

vermeiden, wenn für das 

erzeugende Werkzeug mit der 

Kopfhöhe ha0 und dem 

Kopfkanten- 

Rundungshalbmesser ρa0 ein 

Mindest-Profilverschiebungsfaktor 

xmin nicht unterschritten wird. Das 

Bild 1.21 zeigt den Zahn eines 

Rades mit der Grenzzähnezahl 

zg, bei deren Unterschreitung 

Unterschnitt entsteht ( Punkt A2 

am Werkzeug liegt auf dem 

Tangentenpunkt am Grundkreis 

rb ), d.h. ein Teil der Evolvente 

durch das Werkzeug weg- 

geschnitten würde. 

> (1.20) und bei x = 0 die Grenzzähnezahl zg = 19. 

Mit zunehmender Profilverschiebung kann die Grenzzähnezahl weiter herabgesetzt werden. 

Bei einer bestimmten Größe der Profilverschiebung + x laufen die Flankenevolventen am 

Kopfkreis zur Spitze zusammen, es tritt Spitzenbildung ein. Für die praktische Anwendung 

sollte jedoch die Kopfdicke des Zahnes den Wert sa ≥≥≥≥ 0,2 ⋅⋅⋅⋅ m und bei gehärteten Zähnen 

13


sa ≥≥≥≥ 0,4 ⋅⋅⋅⋅ m nicht unterschreiten. Die Evolventenfunktion gestattet die genaue Berechnung 

von Abmessungen am Zahnrad und Getriebe, die für Konstruktion, Herstellung und Prüfung 

wichtig sind, z.B. Zahndicken, Lückenweiten und Achsabstand. 

1.5.5 Evolventenfunktion – Zahndicke 

Bild 1.22 Zahndicke am Teilkreis 

bei Profilverschiebung 

p 

m ⋅ π 

s = + 2 ⋅ x ⋅ m ⋅ tanα 

s = + 2⋅ 

x ⋅ m ⋅ tan α (1.21) 

2 

2 

m ⋅ π 

e = − 2⋅ 

x ⋅ m ⋅ tan α (1.22) 

2 

Bei positiver Provilverschiebung wird demnach die Zahndicke am Teilkreis größer und die 

Zahnlücke am Teilkreis kleiner. 

Evolventenbeziehung 

G 

α = 

Py 

tanαy − αy 

ϕy 

0 

Bild 1.23 Darstellung zur Herleitung 

der Evolventenfunktion 

Der Profilwinkel αy und αa kann 

berechnet werden aus: 

ry ⋅ cosαy 

= r ⋅ cosα 

r 

r 

cosαy 

= cosα 

u. cosαa 

= cosα 

ry 

ra 

Wie nebenstehend dargestellt sind 

herstellbedingt bei Profilverschiebung 

die Zahndicke und Zahnlücke nicht 

mehr gleich groß. Die Zahndicke und 

die Zahnlücke wird mit p = m ⋅ π 

allgemein am Teilkreis d 

Die Evolvente eines Zahnrades entsteht, wenn man eine 

Gerade an einem Grundkreis mit dem Radius rb abwälzt 

(Bild 1.23). Es gilt: 

rb ⋅ tanαy 

− rb 

⋅ ϕy 

= rb 

⋅ αy 

ϕ y = tanαy − αy 

= invαy 

(1.23) 

Die vorstehende Beziehung wird 

Evolventenfunktion (inv = involut) genannt. 

(1.24) 

Bild 1.24 

Zahndicken 

Die Zahndicke sy auf einem Kreis mit beliebigem Radius ry lässt sich bei gegebener 

Zahndicke auf den Teilkreis mit Hilfe von Bild 1.24 ableiten: 

14


s 

s y = 2 ⋅ ry[ 

δ − ( ϕy 

− ϕ) 

] mit δ = s = Zahndicke am Teilkreis 

2 ⋅ r 

Mit ϕ = inv α , ϕ y = invαy 

und 2 ⋅ r = m ⋅ z ergibt sich die Zahndicke an einem beliebigen 

Radius ry 

⎡1 

⎛ π 

⎞ 

⎤ 

y = 2 ⋅ ry 

⋅ ⎢⎣ 

⋅ ⎜⎝ 

+ 2 ⋅ x ⋅ tanα⎟⎠ 

− ( invα 

− invα) 

z 2 

⎥⎦ (1.25) 

s y 

und für die Profilverschiebung von besonderem Interesse die Zahndicke am Radius ra 

⎡1 

⎛ π 

⎞ 

⎤ 

a = 2 ⋅ ra 

⋅ ⎢⎣ 

⋅ ⎜⎝ 

+ 2 ⋅ x ⋅ tanα⎟⎠ 

− ( invα 

− invα) 

z 2 

⎥⎦ (1.26) 

s a 

Die Zahndicke am Kopfkreis sollte sa ≥≥≥≥ 0,2 ⋅⋅⋅⋅ m sein und bei gehärteten Zahnrädern wird 

sa ≥≥≥≥ 0,4 ⋅⋅⋅⋅ m empfohlen. Auch der Radius rsp auf dem S liegt kann mit setzen von sa = 0 

einfach berechnet werden. Analog kann die Lückenweite ey am beliebigen Durchmesser dy 

mit der Zahnlücke am Teilkreis e = m ⋅⋅⋅⋅ ππππ / 2 – 2 ⋅⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅⋅ m ⋅⋅⋅⋅ tanα berechnet werden 

⎡1 

⎛ π 

⎞ 

⎤ 

y = 2 ⋅ ry 

⋅ ⎢⎣ 

⋅ ⎜⎝ 

− 2 ⋅ x ⋅ tanα⎟⎠ 

− ( invα 

− invα) 

z 2 

⎥⎦ (1.27) 

e y 

Mit zunehmender Profilverschiebung 

nimmt die Zahndicke am Teilkreis zu 

und die Zahnlücke wird kleiner. Bei 

zunehmender negativer Verschiebung 

(x ist negativ einzusetzen) nimmt die 

Zahndicke am Teilkreis ab und die 

Lückenweite wird größer. 

Das nebenstehende Bild zeigt für 

Geradverzahnung mit Bezugsprofil II 

den Verlauf der Grenzzähnezahlen zgu 

und zgk in Abhängigkeit vom 

Profilverschiebungsfaktor x. 

z = zgu = Grenzzähnezahl, bei deren 

Unterschreitung Unterschnitt entsteht. 

z = zgk = Grenzzähnezahl, bei deren 

Unterschreitung die Zahnkopfdicke sa = 

0,25 ⋅ m wird. 

Bild 1.25 Grenzzähnezahlen für Geradverzahnung 

zg 

15


1.5.6 Zahnradpaarung 

Mit denselben Normwerkzeugen (α0 = 20°) hergestellte V- und Nullräder können belieb ig 

zusammengesetzt werden, ohne das Eingriffs- und Abwälzverhältnisse dadurch gestört 

werden. Wie in Bild 1.26 dargestellt, sind die Grund- und Teilkreisradien von der 

Profilverschiebung unabhängig. Das Übersetzungsverhältnis ist allein von den 

Grundkreisen abhängig. Da dieselben Grundkreise vorliegen, ergeben sich also auch 

die gleichen Evolventen. Alle anderen Größen wie Achsabstand, Wälz-, Fuß- und 

Kopfkreisradien, Teilung pw auf dem Betriebwälzkreis, Betriebseingriffswinkel αw usw. 

verändern sich mit der Profilverschiebung. In Bild 1.25 (rechts) ist der Achsabstand 

auf a = ad – ∆a verringert (Σ x ist negativ). Je nach Paarung der Räder unterscheidet man: 

- Nullgetriebe bei Paarung zweier Nullräder mit Nullachsabstand ad. Die Teilkreise 

berühren sich im Wälzpunkt C. 

- V-Nullgetriebe bei Paarung eines Vplus - Rades mit einem Vminus - Rad gleicher 

positiver und negativer Profilverschiebung (x1+x2 = 0). Die Teilkreise sind auch 

Wälzkreise und berühren sich in C. Der Achsabstand a ist gleich dem Null- 

Achsabstand ad. 

- V-Getriebe, bei denen ein V-Rad mit einem Nullrad oder V-Räder mit 

unterschiedlicher Profilverschiebung gepaart sind. Die Teilkreise sind nicht mehr 

Wälzkreise, sondern es ergeben sich neue Wälzkreise, die Betriebswälzkreise (Bild 

1.27). Der Achsabstand a ist ungleich ad und es ergibt sich ein Betriebseingriffswinkel 

αw, der ungleich dem Eingriffswinkel α ist. 

Bei Σ x < 0 wird a < ad und bei Σx > 0 wird a > ad 

Bild 1.26 Zahnradpaarung mit Σ x = 0 (links) und mit Σ x < 0 (rechts) 

Damit zwei Zahnräder spielfrei miteinander abwälzen können, muss die Summe der 

Zahndicken sw1 = ew2 und sw2 = ew1 auf den Betriebswälzkreisen dw1 und dw2 gleich der 

Teilung pw = sw1+ew1 = sw2 + ew2 sein (Bild 1.27). Es gilt nach Gl. (1.25): 

⎡ 1 ⎛ π 

⎞ 

⎤ 

w 1 = 2⋅ 

rw1⋅ 

⎢⎣ 

⋅⎜⎝ 

+ 2⋅ 

x1⋅ 

tanα⎟⎠ 

− ( invα 

− invα) 

z 2 

⎥⎦ (1.28) 

1 

s w 

16


⎡ 1 ⎛ π 

⎞ 

⎤ 

w 2 = 2⋅ 

rw2 

⋅ ⎢⎣ 

⋅ ⎜⎝ 

+ 2⋅ 

x2 

⋅ tanα⎟⎠ 

− ( invα 

− invα) 

z 2 

⎥⎦ (1.29) 

2 

s w 

z1 

⋅ pw 

z2 

⋅ pw 

Mit 2 ⋅ rw1 

= und 2 ⋅ rw2 

= und s w1 + sw2 

= pw 

π 

π 

ergibt sich durch Addition und Auflösung nach invα w 

x1 

+ x2 

invαw 

= 2 ⋅ tanα 

+ invα 

(1.30) Gl. 1.30 kann nur iterativ gelöst werden 

z1 

+ z2 

Nach Gl. (1.24) können die Wälzkreise berechnet werden 

cosα 

cosα 

rw1 

= r1 

⋅ und rw2 

= r2 

und der Achsabstand 

cosαw 

cosαw 

a 

cosα 

cosα 

cosα 

cosα 

= rw1 

+ rw2 

= ( r1 

+ r2) 

⋅ = ad 

⋅ (1.31) 

w 

w 

Bild 1.27 V-Getriebe bei 

spielfreiem Eingriff 

In der Regel wählt man die Übersetzung i = z2 / z1 und den Modul m und berechnet daraus 

den Nullachsabstand ad = m ⋅ (z1+z2) / 2. Mit der Wahl des Achsabstandes a kann mit Hilfe 

der Gl. (1.31) der Betriebseingriffswinkel berechnet werden zu cosαw = ad ⋅ cosα / a. Danach 

wird Gl. (1.30) nach x1+x2 umgestellt zu x1 + x2 = (z1+z2) ⋅ (invαw – invα) / (2 ⋅ tanα). Man 

erhält also die Summe der Profilverschiebungsfaktoren, die sinnvoll in x1 (für Rad 1) und x2 

(für Rad 2) aufgeteilt werden müssen. Die Wahl der Größe von x1+x2 ist hauptsächlich davon 

abhängig, ob eine möglichst 

17


hohe Tragfähigkeit mit (x1+x2) ≈≈≈≈ 1 (0,7 ...... 1,2) oder eine 

gute Überdeckung mit (x1+x2) ≈≈≈≈ -0,2 (-0,4 ...... 0) erzielt werden soll. 

Beispiel: gewählt: i = 3,5; m = 2 mm; z1 = 21; z2 = 73; → ad = 94 mm u. iIst = 3,476 

gewählt: a = 96 mm; → αw = 23,075° u. x 1+x2 = 1,075 

Eine Empfehlung für die Wahl und die Aufteilung von x1 und x2 gibt auch DIN3994/3995 mit 

der 0,5-Verzahnung, bei der jedes Zahnrad einen konstanten Profilverschiebungsfaktor x1 = 

x2 = 0,5 erhält. Der Vorteil der 0,5-Verzahnung liegt in der relativ hohen Tragfähigkeit. 

Rad- und Getriebeabmessungen bei V – Außenradpaaren 

Die Grund- und Teilkreisdurchmesser für Ritzel und Rad bleiben unverändert. 

Teilkreisdurchmesser d = m ⋅ z (1.32) 

Grundkreisdurchmesser db = d ⋅ cosα (1.33) 

Fußkreisdurchmesser df = d – 2 ⋅ (m + c) + 2 ⋅ m ⋅ x (1.34) 

Nach dem Zusammenschieben von profilverschobenen 

Rädern muss überprüft werden, ob noch ausreichendes 

Kopfspiel jeweils zwischen den Kopf- und Fußkreisen 

vorhanden ist und gegebenenfalls müssen die 

Kopfkreise nach Bild 1.28 von rà auf ra gekürzt werden: 

ra1 = a – (rf2 + c) und ra2 = a – (rf1 + c) 

Kopfhöhenveränderung k = ra1 – rà1 = ra2 – rà2 

Mit rf = r – (m+c) + m ⋅ x und ra = r + m + m ⋅ x wird 

k = a – (rf2 + c) – ra1 ≠ 0 

k = a – r2 + m + c – m ⋅ x2 – c – r1 – m – m ⋅ x1 

k = a – ad – m ⋅ (x1 + x2) ≠ 0 (1.35) 

Bild 1.28 Kopfspiel 

Kopfkreisdurchmesser da = d + 2⋅ 

m + 2⋅ 

m ⋅ x + 2 ⋅ k (1.36) 

⎛ π 

⎞ 

Zahndicke am Teilkreisdurchmesser s = m ⋅ ⎜⎝ 

+ 2 ⋅ x ⋅ tanα 

⎟ 

2 

⎠ 

(1.37) 

⎛ π 

⎞ 

Zahnlücke am Teilkreisdurchmesser e = m ⋅ ⎜⎝ 

− 2 ⋅ x ⋅ tanα 

⎟ (1.38) 

2 

⎠ 

( x1 

+ x2) 

Betriebseingriffswinkel invαw 

= 2 ⋅ tanα 

⋅ + invα 

(1.39) 

( z1 

+ z2) 

cosα 

Betriebswälzkreisdurchmesser dw 

= d ⋅ 

cocαw 

(1.40) 

2 2 2 2 

, 5 ⋅ ( d a1 

− d b1 

+ d a2 

− d b2 

) 

Profilüberdeckung εα 

= 

π ⋅ m ⋅ cosα 

− a ⋅ sinα 

0 w 

(1.41) 

18


1.6 Geometrie der Schrägzahnstirnräder 

Erzeugende als Linien auf der Wälzebene 

beschreiben beim Abrollen der Wälzebene auf 

dem Grundzylinder die Flanken schräg 

verzahnter Zahnräder. Die Begrenzungslinien 

auf dem Grundzylinder (db), Teilzylinder (d) 

und Kopfzylinder (da) sind Schraubenlinien, 

deren Steigungswinkel natürlich verschieden 

sind. Bei Zahnrädern wird allerdings der 

„Schrägungswinkel“ gegen die Mantellinie, die 

der Drehachse parallel ist, gemessen. Es 

ergibt sich aus der Bedingung gleicher 

Steigung P folgender Zusammenhang: Bild 1.29 Entstehung schrägverzahnter 

Zahnräder 

2 ⋅ π ⋅ r 

tanβ 

= und 

P 

2 ⋅ π ⋅ rb 

ry 

tanβ 

b = und allg. tanβy 

= tanβ 

P 

r 

Als Bezugsangabe dient immer der Schrägungswinkel am Teilkreis. Man unterscheidet wie 

bei Schrauben – rechtssteigende und linkssteigende Räder. Bei der Paarung 

außenverzahnter Stirnräder ist immer ein Rad rechts-, das andere linkssteigend, wobei der 

Betrag von β gleich groß sein muss. Bei schrägverzahnten Stirnrädern sind immer mehrere 

Zähne im Eingriff, die Belastung eines Zahnes erfolgt nicht plötzlich über die ganze 

Zahnbreite, sondern allmählich, und zwar schräg über die Flankenfläche, und die Folgen 

davon sind höhere Belastbarkeit und größere Laufruhe. Die Grenzzähnezahl ist niedriger 

gegenüber gradverzahnten Zahnrädern. Das Auftreten einer zusätzlichen Axialkraft kann in 

der Regel leicht in den Lagern aufgenommen oder durch Doppelschrägverzahnung bzw. 

Pfeilverzahnung ausgeglichen werden. Getriebe mit schrägverzahnten Zahnrädern werden 

vorwiegend bei hohen Drehzahlen und großen Belastungen verwendet und werden mit 

Schrägungswinkeln von β = 10.....30° ausgeführt. 

Bild 1.30 Größen im Stirnschnitt S-S 

und Normalschnitt N-N 

Damit für die Herstellung von Gerad- und 

Schrägstirnzahnrädern dieselben Werkzeuge 

verwendet werden können, wird nicht das Profil im 

Stirnschnitt (Schnitt senkrecht zur Achse) sondern 

im Normalschnitt (Schnitt senkrecht zur 

Flankenlinie am Teilkreisdurchmesser) als 

Bezugsprofil verwendet. Der Zusammenhang der 

Größen im Stirnschnitt (Index t) und im 

Normalschnitt (Index n) ist in Bild 1.30 

dargestellt. Die Teilung im Stirnschnitt ist danach 

größer als die Teilung im Normalschnitt. 

Es gilt: 

pn 

mn 

⋅ π 

cos β = = (1.42) 

pt 

mt 

⋅ π 

Demnach ist der Stirnmodul 

mn 

mt 

= (1.43) 

cosβ 

19


Bild 1.31 Zusammenhang der Größen im 

Stirnschnitt und im Normalschnitt 

Nach Bild 1.31 gilt pn / 2 = lk ⋅ tanαn und pt / 2 = lk ⋅ tanαt und damit wird nach Gl. (1.42) 

tanαn 

cosβ 

= (1.44) 

tanαt 

Ersatzgeradverzahnung. Wird ein schrägverzahntes Stirnrad senkrecht zur Flankenlinie 

durch den Wälzpunkt C geschnitten (Normalschnitt), so werden alle Kreis im Stirnschnitt 

(Teilkreis, Grundkreis, usw.) im Normalschnitt zu Ellipsen (Bild 1.32). Wird der große 

Krümmungsradius durch einen Ersatzkreis dn = 2 ⋅ rn ersetzt erhält man ein virtuelles 

Geradstirnrad, das den Verhältnissen einer Geradverzahnung im Normalschnitt entspricht. 

Somit können alle Gleichungen der Geradverzahnung auf die Schrägverzahnung übertragen 

werden. Das Ersatzrad hat dann den Teilkreisdurchmesser dn = 2 ⋅ rn = z ⋅ mn. Dieses 

Ersatzrad hat bei einer Zähnezahl z des Schrägstirnrades die Ersatzzähnezahl 

dn 

d 

z 

zn 

= = 

= 

2 

2 

(1.45) 

mn 

cos βb 

⋅ mn 

cos βb 

⋅ cosβ 

Bei größeren Schrägungswinkeln lassen sich erheblich kleinere Grenzzähnezahlen 

gegenüber der Geradverzahnung realisieren (s. auch Roloff / Matek Bild 21-16). 

Sprungüberdeckung. Durch den Schraubenförmigen Verlauf der Flankenlinien sind die 

Stirnflächen eines Zahnes um dem sogenannten „Sprung U“ (Bild 1.30) zueinander 

versetzt. Der Sprung berechnet sich zu gβ = b ⋅ tanβ. Dadurch entsteht eine zusätzliche 

Überdeckung, die Sprungüberdeckung εεεεβ, die als das Verhältnis von Sprung U zur 

Stirnteilung definiert ist: 

εβ 

U b ⋅ tanβ 

⋅ cosβ 

b ⋅ sinβ 

= = 

= 

pt 

pn 

mn 

⋅ π 

Bild 1.32 Ersatzgeradverzahnung 

(1.46) 

Die Gesamtüberdeckung ist dann die Summe aus Profil- und Sprungüberdeckung. 

20


Mit den Bezeichnungen im Stirnschnitt können weitgehend die Gleichungen der 

Geradverzahnung übernommen werden. 

Geometrie der Schrägverzahnung – Grundlegende Berechnungsgleichungen. 

Winkelbeziehungen 

mn 

cos β = (1.47) 

mt 

tanαn 

cosβ 

= (1.48) 

tanαt 

tanβ b = tanβ 

⋅ cosαt 

(1.49) 

sinβ b = sinβ 

⋅ cos αn 

(1.50) 

sin αn 

dw 

cosβ 

b = (1.51) tanβ 

w = tanβ 

(1.52) 

sin αt 

d 

Geometrie 

mn 

⋅ z 

d1 

+ d2 

ad 

d = (1.53) ad 

= (1.54) cosα wt = cosαt 

(1.55) 

cosβ 

2 

a 

invαwt 

− invαt 

x1 + x2 

= 

( z1 

+ z2) 

(1.56) 

tanαn 

⋅ 2 

x1 

+ x2 

x1 

+ x2 

lgu 

x1 

≈ + ( 0, 

5 − ) 

(1.57) 

2 

2 z1 

⋅ z2 

lg 

100 

Die endgültige Wahl von x1 und x2 erfolgt nach verschienen Kriterien nach DIN 3992 

cosαt 

db 

= d (1.58) 

cosαwt 

cosαt 

dw 

1 + dw2 

dw 

= d (1.59) a = (1.60) 

cosαwt 

2 

da = d + 2 ⋅ mn 

+ 2 ⋅ mn 

⋅ x + 2 ⋅ k (1.61) k = a − ad 

− mn 

⋅ ( x1 

+ x2) 

(1.62) 

df 1 = 2 ⋅ a − da2 

− 2 ⋅ c (1.63) df 2 = 2 ⋅ a − da1 

− 2 ⋅ c (1.64) 

da 

− df 

h = 

2 

da 

− d 

ha 

= 

2 

d − df 

hf 

= (1.65) 

2 

Überdeckungsgrad 

gα 

2 

2 

2 

ε α = gα = 0, 

5 ⋅ ( pet 

d a1 

− d b1 

+ d a2 

− d b2 

) − a ⋅ sinαwt 

(1.66) 

b ⋅ sinβ 

pet = π ⋅ mn 

⋅ cosαt 

(1.67) εβ = 

(1.68) εg = εγ 

= εα 

+ εβ 

(1.69) 

π ⋅ mn 

Zahndicke am Teil- und Kopfkreis 

mn 

⎛ π 

⎞ 

⎛ st 

⎞ 

s t = ⎜⎝ 

+ 2⋅ 

x ⋅ tan αn⎟⎠ 

(1.70) s at = da⎜⎝ 

+ invαt 

− invαat 

⎟ (1.71) 

cosβ 

2 

d 

⎠ 

d 

cosαt 

cosα at = cosαt 

(1.72) tanβ 

a = tanβ 

(1.73) san = sat 

⋅ cosβ 

a (1.74) 

da 

cosαat 

2 

21


1.7 Berechnungsbeispiel 

KISSsoft/Hirnware Rel. 10-2003 

KISSsoft - Hochschulversion (Einzelplatz) 

Dateiname : C:/Dokumente und Einstellungen/Stenkamp/LehreFH/Konstruktion/Rolof711a1.Z12 

Projekt : Konstruktion 1 

Datum: 22.08.2006/08:30:11 Anwender: Prof. Dr. W. Stenkamp 

Beschreibung : Roloff S. 711 Komm.Nr: WS 2006/2007 

Wichtiger Hinweis: Bei der Berechnung sind Warnungen aufgetreten: 

1-> Hinweis zu Rad 1: 

Rollenmass ist nicht messbar! 

2-> Hinweis zu Rad 2: 

Rollenmass ist nicht messbar! 

STIRNRAD-BERECHNUNG (STIRNRAD-PAAR) 

Zeichnungs- oder Artikelnummer: 

Rad 1: 0.000.0 

Rad 2: 0.000.0 

Rechenmethode ISO 6336 Methode B (1996), YF Methode C 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Nennleistung (kW) [P] 22.000 

Drehzahl (1/min) [n] 1400.0 1358.8 

Drehmoment (Nm) [T] 150.1 154.6 

Anwendungsfaktor [KA] 1.25 

Lebensdauer in Stunden [H] 59.52 

Rad treibend (+) / getrieben (-) + - 

1. ZAHNGEOMETRIE UND WERKSTOFF 

(Geometrieberechnung nach DIN 3960) 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Achsabstand (mm) [a] 74.000 

Achsabstands-Toleranz ISO 286 Abmass js7 

Normalmodul (mm) [mn] 2.0000 

Eingriffswinkel im Normalschnitt (°) [alfn] 20.0000 

Schrägungswinkel am Teilkreis (°) [beta] 24.0000 

Zähnezahl [z] 33 34 

Zahnbreite (mm) [b] 17.50 16.50 

Schrägungsrichtung Links 

Rechts 

Verzahnungsqualität [Q-ISO1328] 6 6 

Innendurchmesser Ring (mm) [dRing] 0.00 0.00 

Innendurchmesser Radkörper (mm) [di] 0.00 0.00 

Werkstoff(Eigene Eingabe) 16 MnCr 5 (1) 16 MnCr 5 (1) 

Einsatzstahl Einsatzstahl 

einsatzgehärtet einsatzgehärtet 

Oberflächen-Härte HRC 59 HRC 59 

Werkstoff-Behandlung nach ISO6336: ML (normal) 

Dauerfestigk. Zahnfussspannung (N/mm²) [sigFlim] 450.00 450.00 

Dauerfestig. Hertzsche Pressung (N/mm²) [sigHlim] 1450.00 1450.00 

Streckgrenze (N/mm²) [Rp] 635.00 695.00 

Elastizitätsmodul (N/mm²) [E] 206000 206000 

Poisson-Zahl [ny] 0.300 0.300 

Gemittelte Rauhtiefe Rz, Flanke (µm) [RZH] 4.00 4.00 

Gemittelte Rauhtiefe Rz, Fuss (µm) [RZF] 20.00 20.00 

Fusshöhe Bezugsprofil (in Modul) [hfP*] 1.250 1.250 

Fussradius Bezugsprofil (in Modul) [rofP*] 0.380 0.380 

Kopfhöhe Bezugsprofil (in Modul) [haP*] 1.000 1.000 

Protuberanz-Höhe (in Modul) [hk*] 0.000 0.000 

Protuberanz-Winkel (°) [alfPro] 0.000 0.000 

Höhe Knickfussflanke (in Modul) [hko*] 0.000 0.000 

Winkel Knickfussflanke (°) [alfnk] 0.000 0.000 

Art der Profilkorrektur: Keine 

Kopfrücknahme (µm) (durch Einlaufen) [Ca] 2 2 

22


Schmierungsart Öl-Tauchschmierung 

Ölsorte Öl: EP-220 

Schmierstoff-Basis Mineralöl-Basis 

Kinem. Nennvisko. Öl bei 40 Grad (mm²/s) [nu40] 210.00 

Kinem. Nennvisko. Öl bei 100 Grad (mm²/s) [nu100] 17.50 

FZG-Test A/8.3/90 Stufe [FZGtestA] 12 

Spez. Dichte bei 15 Grad (kg/dm³) [roOil] 0.895 

Öltemperatur (°C) [theOil] 40.000 

Umgebungstemperatur (°C) [theUmg] 20.000 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Gesamtübersetzung [itot] -1.030 

Zähnezahlverhältnis [u] 1.030 

Stirnmodul (mm) [mt] 2.189 

Eingriffswinkel am Teilkreis (°) [alft] 21.723 

Betriebseingriffswinkel (°) [alfwt] 22.971 

[alfwt.e/i] 22.998 / 22.943 

Grundschrägungswinkel (°) [betab] 22.470 

Nullachsabstand (mm) [ad] 73.341 

Summe der Profilverschiebung [Summexi] 0.3388 

Profilverschiebungsfaktor [x] 0.1700 0.1688 

Zahndicke (Bogen) im Teilkreis (in Modul)[sn*] 1.6945 1.6937 

Zahndicke (Bogen) im Teilkreis (mm) [sn] 3.389 3.387 

(mm) [sn.e/i] 3.264 / 3.204 3.262 / 3.202 

Kopfhöhenänderung (mm) [k*mn] -0.018 -0.018 

Teilkreisdurchmesser (mm) [d] 72.246 74.435 

Grundkreisdurchmesser (mm) [dB] 67.115 69.149 

Kopfkreisdurchmesser (mm) [da] 76.890 79.074 

(mm) [da.e/i] 76.890 / 76.880 79.074 / 79.064 

Abmasse Kopfkreis (mm) [Ada.e/i] 0.000 / -0.010 0.000 / -0.010 

Kopf-Kantenbruch / Kopfrundung (mm) [Fased] 0.000 0.000 

Kopf-Nutzkreisdurchmesser (mm) [dNa.e/i] 76.890 / 76.880 79.074 / 79.064 

Wälzkreisdurchmesser (mm) [dw] 72.896 75.104 

(mm) [dw.e/i] 72.910 / 72.881 75.120 / 75.089 

Fusskreisdurchmesser (mm) [df] 67.926 70.110 

Erzeugungsprofilverschiebung [xE.e/i] 0.0841 / 0.0429 0.0829 / 0.0417 

Erzeugter Fusskreis mit xE (mm) [df.e/i] 67.583 / 67.418 69.767 / 69.602 

Kopfspiel theoretisch (mm) [c] 0.500 0.500 

Kopfspiel effektiv (mm) [c.e/i] 0.774 / 0.657 0.774 / 0.657 

Notwendiger Fuss-Nutzkreisdurchmesser (mm)[dNf] 69.864 72.050 

(mm)[dNf.e/i] 69.891 / 69.842 72.078 / 72.029 

Hergestellter Fussnutzkreis (Formkreis) (mm) [dNf0] 69.428 71.598 

(mm)[dNf0.e/i] 69.196 / 69.089 71.363 / 71.255 

Reserve (dNf-dNf0)/2 (mm) [rNf-rNf0.e/i] 0.401 / 0.323 0.412 / 0.333 

Addendum (mm) [ha] 2.322 2.320 

(mm) [ha.e/i] 2.322 / 2.317 2.320 / 2.315 

Dedendum (mm) [hf] 2.160 2.162 

(mm) [hf.e/i] 2.332 / 2.414 2.334 / 2.417 

Profilwinkel zu dNa (°) [alf_dNa_t.e/i] 29.206 / 29.192 29.016 / 29.003 

Profilwinkel zu dNf0 (°) [alf_dNf0_t.e/i] 14.087 / 13.729 14.310 / 13.963 

Zahnhöhe (mm) [H] 4.482 4.482 

Ersatz-Zähnezahl [zn] 42.303 43.585 

Normal-Zahndicke am Kopfzylinder (mm) [san] 1.484 1.490 

(mm) [san.e/i] 1.352 / 1.294 1.358 / 1.300 

Normal-Lückenweite am Fusszylinder (mm) [efn] 1.618 1.606 

(mm) [efn.e/i] 1.685 / 1.722 1.670 / 1.705 

Max. Gleitgeschwindigkeit am Kopf (m/s) [vga] 1.310 1.307 

Spezifisches Gleiten am Kopf [zetaa] 0.476 0.479 

Spezifisches Gleiten am Fuss [zetaf] -0.919 -0.910 

Gleitfaktor am Kopf [Kga] 0.245 0.245 

Gleitfaktor am Fuss [Kgf] -0.245 -0.245 

Teilkreisteilung (mm) [pt] 6.878 

Grundkreisteilung (mm) [pbt] 6.389 

Stirneingriffsteilung (mm) [pet] 6.389 

Axiale Teilung (mm) [px] 15.448 

Länge der Eingriffsstrecke (mm) [ga] 9.058 

(mm) [ga.e/i] 9.096 / 8.999 

Länge T1-A (mm) [T1A] 9.701 

Länge T1-B (mm) [T1B] 12.370 

Länge T1-C (mm) [T1C] 14.224 

Länge T1-D (mm) [T1D] 16.091 

Länge T1-E (mm) [T1E] 18.759 

Profilüberdeckung [eps_a] 1.418 

Profilüberdeckung mit Abmassen [eps_a.e/i] 1.424 / 1.408 

Sprungüberdeckung [eps_b] 1.068 

Gesamtüberdeckung [eps_g] 2.486 

23


Gesamtüberdeckung mit Abmassen [eps_g.e/i] 2.492 / 2.477 

2. ALLGEMEINE EINFLUSSFAKTOREN 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Nennumfangskraft im Teilkreis (N) [Ft] 4154.2 

Axialkraft (N) [Fa] 1849.5 

Radialkraft (N) [Fr] 1655.1 

Normalkraft (N) [Fnorm] 4839.1 

Nennumfangskraft Teilk. pro mm (N/mm) [w] 251.77 

Nur zur Information: Kräfte im Wälzkreis: 

Nennumfangskraft (N) [Ftw] 4117.1 

Axialkraft (N) [Faw] 1833.1 

Radialkraft (N) [Frw] 1640.3 

Normalkraft (N) [Fnormw] 4796.0 

Umfangsgeschwindigkeit Teilk. (m/sec) [v] 5.30 

Einlaufbetrag y.a (µm) [ya] 0.5 

Korrekturfaktor CM [CM] 0.80 

Radkörperfaktor CR [CR] 1.00 

Bezugsprofilfaktor CBS [CBS] 0.98 

Einzelfedersteifigkeit (N/mm/µm) [c'] 13.143 

Eingriffsfedersteifigkeit (N/mm/µm) [cg] 17.259 

Reduzierte Masse (kg/mm) [mRed] 0.010 

Resonanzdrehzahl (min-1) [nE1] 12232 

Bezugsdrehzahl (-) [N] 0.114 

Unterkritischer Bereich 

Lagerdistanz l der Ritzelwelle (mm) [l] 150.000 

Distanz s der Ritzelwelle (mm) [S] 30.000 

Aussendurchmesser der Ritzelwelle (mm) [dsh] 60.000 

Belastung nach ISO 6336/1 Bild 16 [-] 0 

Faktor K' nach ISO 6336/1 Bild 16 [K'] 0.48 

0:a), 1:b), 2:c), 3:d), 4:e) 

Mit Stützwirkung 

Flankenlinienabweichung wirksame (µm) [Fby] 7.62 

von Verformung der Wellen (µm) [fsh] 0.73 

Zahn ohne Flankenlinien-Korrektur 

Lage des Tragbildes : ohne Nachweis oder ungünstig 

von Fertigungstoleranzen (µm) [fma] 8.00 

Einlaufbetrag y.b (µm) [yb] 1.34 

Dynamikfaktor [KV] 1.03 

Breitenfaktoren - Flanke [KHb] 1.20 

- Zahnfuss [KFb] 1.15 

- Fressen [KBb] 1.20 

Stirnfaktoren - Flanke [KHa] 1.03 

- Zahnfuss [KFa] 1.03 

- Fressen [KBa] 1.03 

Schrägungsfaktor Fressen [Kbg] 1.22 

Anzahl der Lastwechsel (in Mio.) [NL] 5.000 4.853 

3. ZAHNFUSS-TRAGFÄHIGKEIT 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Rechnung der Zahnformfaktoren nach Methode: C 

(Zahnformfaktoren werden bei Abmassen > 0.05*mn mit Herstellprofilverschiebung xE.e berechnet) 

Zahnformfaktor [YF] 2.43 2.42 

Spannungskorrekturfaktor [YS] 1.69 1.69 

Biegehebelarm (mm) [hF] 3.98 3.98 

Kraftangriffswinkel (°) [alfen] 26.16 26.00 

Zahnfussdicke (mm) [sFn] 4.34 4.35 

Zahnfussradius (mm) [roF] 1.00 1.00 

Überdeckungsfaktor [Yeps] 0.702 

Schrägungsfaktor [Ybet] 0.800 

Massgebende Zahnbreite (mm) [beff] 17.50 16.50 

Örtliche Zahnfuss-Spannung (N/mm²) [sigF0] 273.53 289.82 

(Effektive) Zahnfuss-Spannung (N/mm²) [sigF] 413.49 438.12 

Zulässige Zahnfussspannung von Prüf-Zahnrad 

Stützziffer [YdrelT] 0.997 0.997 

Oberflächenfaktor [YRrelT] 0.957 0.957 

Grössenfaktor (Zahnfuss) [YX] 1.000 1.000 

24


Zeitfestigkeits-Faktor [YNT] 0.990 0.990 

Wechselbiegungs-Faktor [Kwb] 1.000 1.000 

Spannungs-Korrekturfaktor [Yst] 2.00 

Zulässige Zahnfuss-Spannung (N/mm²) [sigFG] 849.47 850.07 

([sigFP] = [sigFG] / [SFmin]) (N/mm²) [sigFP] 606.77 607.20 

Soll-Sicherheit [SFmin] 1.40 1.40 

Übertragbare Leistung (kW) [kWRating] 32.28 30.49 

Sicherheitsfaktor für Zahnfussspannung [SF=sigFG/sigF] 2.05 1.94 

4. FLANKENSICHERHEIT 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Zonenfaktor [ZH] 2.248 

Elastizitätsfaktor (N^.5/mm) [ZE] 189.812 

Überdeckungsfaktor [Zeps] 0.840 

Schrägenfaktor [Zbet] 0.956 

Massgebende Zahnbreite (mm) [beff] 16.50 

Nennwert der Flankenpressung (N/mm²) [sigH0] 897.52 

Flankenpressung am Wälzkreis (N/mm²) [sigH] 1130.03 

Schmierstoff-Faktor [ZL] 1.010 1.010 

Geschwindigkeits-Faktor [ZV] 0.990 0.990 

Rauhigkeitsfaktor [ZR] 0.980 0.980 

Werkstoffpaarungs-Faktor [ZW] 1.000 1.000 

Zeitfestigkeits-Faktor [ZNT] 1.190 1.193 

Kleine Anzahl Grübchen zulässig (0=nein, 1=ja) 0 0 

Grössenfaktor (Flanke) [ZX] 1.000 1.000 

Zulässige Flankenpressung (N/mm²) [sigHG] 1691.51 1695.59 

([sigHP] = [sigHG] / [SHmin]) (N/mm²) [sigHP] 1691.51 1695.59 

Sicherheit für Flankenpressung Wälzkreis[SHw] 1.50 1.50 

Einzeleingriffs-Faktor [ZBD] 1.00 1.00 

Flankenpressung Einzeleingr.pkt (N/mm²) [sigHBD] 1130.03 1130.03 

Soll-Sicherheit [SHmin] 1.00 1.00 

Übertragbare Leistung (kW) [kWRating] 49.29 49.53 

Sicherheit für Pressung Einzeleingriff [SH=sigHG/sigHBD] 1.50 1.50 

5. FRESSTRAGFÄHIGKEIT 

Rechenmethode nach DIN3990 

Schmierfaktor (Fressen) [XS] 1.000 

Relativer Gefügefaktor (Fressen) [XWrelT] 1.000 

Winkelfaktor [Xalfbet] 1.004 

Therm. Kontaktkoeffizient (N/mm/s^.5/K) [BM] 13.795 13.795 

Mittenrauhwert Ra, Zahnflanke (µm) [RAH] 0.48 0.48 

Massgebende Umfangskraft/Zahnbreite [wbt] 487.325 

Blitztemperatur-Kriterium 

Massentemperatur (°C) [them] 51.022 

Fresstemperatur (°C) [thes] 409.361 

Koordinate Gamma (Ort der höchsten Temp.) [Gamma] -0.130 

Höchste Kontakttemp. (°C) [theB] 74.475 

Blitzfaktor [XM] 50.002 

Geometriefaktor [XB] 0.093 

Aufteilungsfaktor [XGam] 1.000 

Reibungszahl [mymy] 0.061 

Soll-Sicherheit [SBmin] 2.000 

Sicherheitsfaktor für Fressen (Blitz-T.) [SB] 10.711 

Integraltemperatur-Kriterium 

Massentemperatur (°C) [theMC] 50.759 

Fress-Integraltemperatur (°C) [theSint] 409.361 

Blitzfaktor [XM] 50.002 

Überdeckungsfaktor [XE] 0.303 

Gemittelte Reibungszahl [mym] 0.053 

Geometriefaktor [XBE] 0.234 

Eingriffsfaktor [XQ] 1.000 

Kopfrücknahmefaktor [XCa] 1.009 

Integral-Flankentemperatur (°C) [theint] 73.815 

Soll-Sicherheit [SSmin] 1.80 

Sicherheitsfaktor für Fressen (Int.-T.) [SSint] 5.55 

Sicherh. f. übertragenes Moment (Int.-T.) [SSL] 10.92 

25


6. PRÜFMASSE FÜR DIE ZAHNDICKE 

------- RAD 1 --------- RAD 2 – 

Zahndicken-Toleranz DIN3967 b26 DIN3967 b26 

Zahndickenabmass im Normalschnitt (mm) [As.e/i] -0.125 / -0.185 -0.125 / -0.185 

Messzähnezahl [k] 5.000 6.000 

Messkreisdurchmesser (mm) [dMWk] 71.929 75.928 

Zahnweite spielfrei (mm) [Wk] 27.997 33.936 

Effektive Zahnweite (mm) [Wk.e/i] 27.880 / 27.823 33.819 / 33.762 

Theor. Messkörper-Durchmesser (mm) [DM] 3.451 3.447 

Eff. Messkörper-Durchmesser (mm) [DMeff] 3.500 3.500 

Messkreisdurchmesser (mm) [dMMr] 73.017 75.210 

Radiales Einkugel-Mass spielfrei (mm) [MrK] 38.925 40.020 

Eff. radiales Einkugel-Mass (mm) [MrK.e/i] 38.776 / 38.703 39.870 / 39.797 

Diametrales Zweikugel-Mass spielfrei (mm)[MdK] 77.766 80.039 

Eff. diametrales Zweikugel-Mass (mm) [MdK.e/i] 77.468 / 77.323 79.740 / 79.595 

Eff. diametrales Rollen-Mass (mm) [MdR.e/i] 77.552 / 77.407 79.740 / 79.595 

Effektives Dreirollen-Mass (mm) [Md3K.e/i] 77.552 / 77.407 0.000 / 0.000 

Zahndickensehne spielfrei (mm) [smn] 3.388 3.386 

Effektive Zahndickensehne (mm) [smn.e/i] 3.263 / 3.203 3.261 / 3.201 

Höhe über der Sehne (mm) [ha] 2.355 2.352 

Spielfreier Achsabstand (mm) [aControl.e/i] 73.705 / 73.564 

Spielfreier Achsabstand, Abmasse (mm) [jta] -0.295 / -0.436 

Achsabstands-Abmass (mm) [Aa.e/i] 0.015 / -0.015 

Drehflankenspiel aus Aa [jt-Aa.e/i] 0.012 / -0.012 

Drehflankenspiel (Stirnschnitt) (mm) [jt] 0.419 / 0.260 

Normalflankenspiel (mm) [jn] 0.360 / 0.223 

7. TOLERANZEN 

------- RAD 1 --------- RAD 2 -- 

Nach ISO 1328: 

Verzahnungsqualität [Q-ISO1328] 6 6 

Eingriffsteilungsabweichung (µm) [fpb] 7.0 7.0 

Profil-Formabweichung (µm) [ffa] 6.0 6.0 

Profil-Winkelabweichung (µm) [fHa] 5.5 5.5 

Profil-Gesamtabweichung (µm) [Fa] 8.0 8.0 

Flankenlinien-Formabweichung (µm) [ffb] 8.0 8.0 

Flankenlinien-Winkelabweichung (µm) [fHb] 8.0 8.0 

Flankenlinien-Gesamtabweichung (µm) [Fb] 11.0 11.0 

Teilungs-Gesamtabweichung (µm) [Fp] 26.0 26.0 

Rundlaufabweichung (µm) [Fr] 21.0 21.0 

Zweiflanken-Wälzabweichung (µm) [Fi"] 31.0 31.0 

Zweiflanken-Wälzsprung (µm) [fi"] 9.0 9.0 

Einflanken-Wälzabweichung (µm) [Fi'] 37.0 37.0 

Einflanken-Wälzsprung (µm) [fi'] 11.0 11.0 

8. ERGÄNZENDE DATEN 

Maximal möglicher Achsabstand (eps_a=1.0)[aMAX] 75.082 

Verdrehsteifigkeit (MNm/rad) [cr] 0.3 0.4 

Mittlere Reibungszahl (nach Niemann) [mum] 0.060 

Verschleissgleiten nach Niemann [zetw] 0.677 

Zahnverlustleistung aus Zahnbelastung (kW) [PVZ] 0.158 

Trägheitsmoment (System bezogen auf Rad 1): 

Berechnung ohne Berücksichtigung der exakten Zahnform 

Räder einzeln (da...di) (kgm²) [TraeghMom] 0.0001167 0.0001239 

System (da...di) (kgm²) [TraeghMom] 0.0002334 

Bemerkungen: 

- Beim Flankenspiel werden die Achsabstandstoleranzen und die Zahndickenabmasse 

berücksichtigt. Angegeben wird das maximale und das minimale Spiel entsprechend 

den grössten, beziehungsweise kleinsten Abmassen. 

- Details zur Rechenmethode: 

cg nach Methode B 

KV nach Methode B 

KHb, KFb nach Methode C2 

KHa, KFa nach Methode B 

Ende Report Zeilen : 369 

26


1.8 Entwurfsberechnung 

Für die Auslegung und Gestaltung von Zahnradgetrieben sind viele Gesichtspunkte zu 

beachten und erfordern umfangreiche Erfahrungen. 

1. Randbedingungen. Die geometrischen und allgemeinen Anforderungen, 

insbesondere auch Kundenspezifische Wünsche und Forderungen, werden in einer 

Anforderungsliste (Pflichtenheft festgelegt). 

2. Übersetzungen. In der Regel werden bei Zahnradgetrieben folgende Übersetzungen 

realisiert: 

- einstufiges Getriebe i ≤ 6 (8) 

- zweistufiges Getriebe i ≤ 35 (45) Erfahrungswert i1/2 ≈ 0,7⋅ i 0,7 

- dreistufiges Getriebe i ≤ 150 (200) Erfahrungswert i1/2 ≈ 0,55⋅ i 0,55 u. i3/4 ≈ i 0,32 

Aus Funktionsgründen soll die Zähnezahl des Rades kein ganzzahliges 

vielfaches des Ritzels sein, da sonst die gleichen Zahnpaare periodisch zum 

Eingriff kommen. 

3. Überschlägige Wellenberechnung. Die Berechnung erfolgt in der Regel 

zunächst mit dem Torsionsmoment. Wegen der Vernachlässigung der 

Biegebeanspruchung sollte der Entwurfsdurchmesser um ca. 20 % größer 

gewählt werden. 

4. Ritzelgestaltung. Der kleinst- 

mögliche Ritzelteilkreisdurchmesser 

d1 ergibt sich aus der 

Entwurfsberechnung der Welle. 

a) Ritzelwelle 

b) Ritzel 

d1 ≈ (1,2....1,4) ⋅ dw 

d1 ≈ (2,0....2,5) ⋅ dw 

Bild 1.33 Ritzelgestaltung 

5. Modul. Die Zahnfußtragfähigkeit ist bei Leistungsgetrieben maßgebend. 

m 

T ⋅ K ⋅ s 

d ⋅ b ⋅ σ 

n > 

A F 

YFs 

1 1 F lim 

σFlim Zahnfuß-Biegenenndauerfestigkeit der Prüfräder z.B. für Einsatzstahl aus 

16MnCr5 oder 20MnCr5. 

σFlim = 450 N/mm 2 bei Schwellbelastung 

σFlim = 315 N/mm 2 bei Wechselbelastung 

Mindestfestigkeitswerte sollten bei Materialbestellung mit dem Lieferanten 

festgelegt werden. Bei der Festlegung von d1, b1 und m Erfahrungswerte nach 

TB 21-14 beachten. 

d1 

6. Zähnezahlen z = cosβ 

mn 

7. Nullachsabstand 

1 z2 = z1 

⋅ i1 

/ 2 

a 

sF Zahnfußsicherheit nach Vorgabe 

YFs ≈ 4 Kopffaktor aus Erfahrung 

mn( 

z1 

+ z2) 

2 

d = z.B. a > ad wählen um Σ x > 0 zu erhalten. 

27


Mit den vorgenannten Entwurfswerten erfolgt die endgültige Auslegung rechnergestützt. 

Nach der ersten Entwurfsberechnung aller Getriebestufen sollte eine maßstäbliche 

Entwurfsskizze angefertigt werden um z.B. minimale Baugröße anzustreben oder aber 

vorgegebene Einbaubedingungen zu erfüllen. In der Skizze sind die Dreh-, Steigungs- und 

Kraftrichtungen jeweils für Ritzel und Rad einzutragen. Aus Lage und Größe der Nenn- 

Umfangskräfte kann die Lagerlebensdauer der Getriebelager näherungsweise bestimmt 

werden. Aus der Betriebsweise des gesamten Antriebssystems, die sich aus der gestellten 

Aufgabe ergibt, kann eine Betriebsfestigkeitsberechnung ggf. notwendig werden. 

Belastungshöhe und Belastungshäufigkeit bei Beschleunigungs- und Bremsvorgängen, 

Einschaltdauer und die geforderte Betriebsstundenzahl beeinflussen dann ganz 

entscheidend die Auslegung des Getriebes. 

1.13 Gestaltung von Getrieben - Beispiele 

Bild 1.34-1 Einstufig Bild 1.34-2 Zweistufig Bild 1.34-3 Sammel - und 

Verteilergetriebe 

Bild 1.35 An- und Abtriebswelle koaxial angeordnet (Drehelastische Wellen A im Beispiel b; 

ferner muss sich mindestens ein Rad so verstellen lassen, dass alle in Kraftrichtung liegende 

Zahnflanken anliegen). 

Bild 1.36 Zahnradgetriebe-Kombinationen 

28


Bild 1.37 Industriegetriebe, Gehäuse geteilt, alternativ als Stand- oder Aufsteckgetriebe und 

weitere Ausführungsvarianten. 

29


Bild 1.38 Getriebemotor 

Bild 1.39 Stirnradgetriebe, koaxial mit 

geschweißten Großrädern 

Bild 1.40 Grundformen geschweißter 

Zahnräder für Schrägverzahnung 

a) Für vergütete Verzahnung 

b)c) Für gehärtete Verzahnung 

d) Schraubverbindung 

30


Bild 1.41 Grundformen von Ritzeln und Zahnrädern aus gewalzten oder 

geschmiedeten Rohlingen 

Bild 1.42 Schneckengetriebe 

Die Hauptbelastung an der Schneckenwelle ist axial gerichtet, wobei die Lastrichtung mit 

dem Drehsinn der Welle wechselt. Das Schneckengetriebe wird mit Öl durch 

Tauchschmierung geschmiert. Der Ölstand soll hierbei bis zum Teilkreis der Schnecke 

reichen. Die Radialwellendichtringe an den Wellendurchgängen verhindern den Ölaustritt 

und bieten hinreichenden Schutz gegen das Eindringen von Verunreinigungen. 

31


Bild 1.43 Schnecken-Planetengetriebe 

Mit Planetengetrieben werden auf kleinstem Raum hohe Leistungen und große 

Drehmomente übertragen. Wegen der begrenzten Raumverhältnisse in Planetengetrieben 

ergeben Nadellager mit Nadelhülsen besonders günstige Lösungen. 

32


Bild 1.44 Kegelstirnradgetriebe 

Bild 1.45 Norm-Planetengetriebe 

Die hintereinander angeordneten Planetenradsätze kämmen mit dem Sonnenritzel und den 

innenverzahnten Hohlrädern gleichen Durchmessers. Die Sonnenritzel zentrieren sich durch 

das in den Zahnkupplungen vorhandene Spiel selbsttätig. Dadurch wird das zu übertragene 

Drehmoment nahezu gleichmäßig auf die Planetenräder übertragen. 

33


Bild 1.46 Antriebskomponenten für 

Windenergieanlagen 

Bild 1.47 Hybridantrieb 

34


Bild 1.48 Kräfte an 

Kegelrädern 

Bild 1.49 Schleifen 

von Kegelrädern 

35


Bild 1.50 Kosten-, Gewichts- und Baugrößenvergleich an einem einstufigen Zahnradgetriebe 

36

Prof. Dr. W. Stenkamp Konstruktion I

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