FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

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Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
1 Funktionen
1.1 Begriff der Funktion, Darstellung von Funktionen
Definition (Funktion): X und Y seien nichtleere Mengen. f heißt Funktion (oder
Abbildung oder Funktionsvorschrift) von X in (oder nach) Y, wenn jedem x ∈ X
eindeutig ein y ∈ Y zugeordnet werden kann mit f(x) := y.
X ist der Definitionsbereich (oder die Definitionsmenge) der Funktion f, Y ist der
Wertebereich (oder die Wertemenge) der Funktion f, x ist das Argument, y = f(x) ist
der Funktionswert für das Element x.
Schreibweise
für: f ist Funktion von X in Y: f : X → Y,
für: f(x) (bzw. y) ist Funktionswert von x : f : x a f(x) (bzw. f : x a y)
Bemerkung: Manchmal wird statt der Funktionsvorschrift auch die Menge
{ (x,y) | y = f(x) ∧ x ∈ X } als Funktion bezeichnet.
Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts werden nur Funktionen f: X → Y betrachtet, für
die X ⊂ ⎟R und Y ⊂ ⎟R.
Beispiel: f: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → [-43,5) sei beschrieben durch folgende
Wertetabellen:
•
•
•
•
X 0 1 2 3 4 5 6
Y 2 3,76 3 -43 3 4 4,5
f ist eine Funktion.
X 0 1 2 3 4 5
Y 2 3,76 3 -43 3 4
f ist keine Funktion: Für x = 6 ist kein Funktionswert definiert.
X 0 1 2 3 4 5 6 1
Y 2 3,76 3 -43 3 4 4,5 0
f ist keine Funktion: Für x = 1 ist kein eindeutiger Wert y definiert.
Bemerkung: Eine allgemeine Zuordnung von Elementen zweier Mengen
zueinander, für die keinerlei Eindeutigkeit verlangt wird, heißt Relation. Eine
Funktion ist also ein Spezialfall einer Relation.
X 0 1 2 3 4 5 6
Y 2 3,76 3 -43 3 4 50
f ist keine Funktion: y = 50 ist kein Element des Wertebereiches.
02.07.02, Seite 29

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Darstellung von Funktionen:
• Wertetabelle (siehe oben)
Vorteil: Funktionswerte mit großer Genauigkeit.
Nachteile: nur begrenzte Anzahl von Funktionswerten darstellbar
unanschaulich
• graphische Darstellung: Auf der waagerechten Achse (x-Achse) eines
Koordinatensystems werden die Elemente des Definitionsbereichs eingetragen, auf
der senkrechten Achse (y-Achse) die Elemente des Wertebereichs. Die Menge der
Punkte (x,f(x)) wird Graph der Funktion f genannt.
Je nach Größe der darzustellende Werte wählt man für x-Achse und y-Achse einen
geeigneten Maßstab, der allerdings häufig für x-Achse und y-Achse verschieden ist.
Bespiele: Graph der Sinus-Funktion:
1,25
1
0,75
0,5
0,25
0
0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93
-0,25
-0,5
-0,75
-1
-1,25
Der folgende Halbkreis ist nicht der Graph einer Funktion, da durch ihn keine
eindeutige Relation abgebildet wird:
02.07.02, Seite 30

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1,50
1,00
0,50
0,00
0 0,25 0,50 0,75 1,00
-0,50
-1,00
-1,50
Vorteil: anschauliche Darstellung.
Nachteile: begrenzte Genauigkeit
nur für wenige Dimensionen möglich
ggf. aufwendige Erstellung
• Analytische Darstellungen:
Die Zuordnung f: x a f(x) wird durch eine Funktionsgleichung hergestellt. dafür gibt
es verschiedene Formen.
• explizite Form: Auf einer Seite der Funktionsgleichung steht y isoliert: y = f(x)
Beispiele: y = - 2 3 x + 2 für x ∈ ⎟R
y = 3 − x für x ∈ (-∞,3]
⎧1 für x ∈ (-∞,0)
y = ⎨ 1 2 x 2 für x ∈ [0,2]
⎩-x + 4 für x ∈ (2,4]
• implizite Form: Die allgemeine Form ist: F( x ; y ) = 0.
Die explizite Form ist immer in eine implizite Form umformbar.
Die implizite Form ist jedoch im allgemeinen nicht in eine explizite Form
umformbar.
02.07.02, Seite 31

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Beispiele:
♦ F( x ; y ) = 2x + 3y - 6 = 0
Umformung führt zur expliziten Form y = - 2
3 x + 2
♦ F( x ; y ) = x 2 + y 2 - 25 = 0
Auflösung nach y ergibt zwei Funktionsgleichungen:
2
f1 (x) = 25 − x mit f1 : [-5,5] → [0,5]
2
f2 (x) = - 25 − x mit f2 : [-5,5] → [-5,0]
Der Graph der Funktion f 1 beschreibt den nach unten offenen Halbkreis mit
Mittelpunkt (0,0) und Radius 5, der Graph der Funktion f 2 beschreibt den
nach oben offenen Halbkreis mit Mittelpunkt (0,0) und Radius 5.
Die implizite Form F ist also die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt (0,0)
und Radius 5.
Aus dem Beispiel ist insbesondere ersichtlich: Nicht jede explizite Darstellung
beschreibt eine Funktion. Diese ergibt sich in diesem Beispiel erst nach
Festlegung des Vorzeichens bei der Auflösung.
Einer impliziten Darstellung ist nicht immer sofort anzusehen, ob die
Zuordnung x a y eindeutig ist (ob also überhaupt durch diese Darstellung
eine Funktion definiert ist).
♦ F( x ; y ) = y 5 - 3y 2 + 6x - 4 = 0
Diese Gleichung kann nicht nach y aufgelöst werden. Die implizite
Funktionsdarstellung kann also nicht in eine explizite Darstellung umgeformt
werden.
• Parameterdarstellung:
Manchmal ist es notwendig oder sinnvoller, statt einer Funktionsgleichung F(x;y)
= 0 zwei Gleichungen anzugeben, in denen x und y getrennt voneinander in
Abhängigkeit von einer Hilfsvariablen t ∈ T dargestellt werden:
x = x(t) y = y(t)
Die Hilfsvariable t heißt Parameter.
Jedem Wert t ∈ T wird ein Zahlenpaar (x,y) zugeordnet. Durch das obige
Gleichungssystem ist damit ein Parameterdarstellung definiert.
Bemerkung: Diese Darstellung ist allgemein üblich in CAD/CAM-Systemen. Sie
hat vor allem den Vorteil, daß sich bei gleichmäßiger Wahl von Werten für t in
vielen Fällen eine graphische Darstellung mit höherer Genauigkeit ergibt.
Der Übergang von der impliziten Darstellung F( x ; y ) = 0 und damit auch von der
02.07.02, Seite 32

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expliziten Darstellung y = f(x) zur Parameterdarstellung ist immer möglich.
Beispiele: Sei ∀ t ∈ ⎟R: x(t) := t + 2 y(t) := 5 - 1
2 t 2
Damit ergibt sich folgende Wertetabelle:
t -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
x -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
y -3,0 0,5 3,0 4,5 5,0 4,5 3,0 0,5 -3,0
und folgende graphische Darstellung:
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,0-2,0
0,0 2,0 4,0 6,0
-2,0
-3,0
In diesem Fall läßt sich die Parameterdarstellung leicht umformen in die
explizite Darstellung:
Indem man die erste Gleichung nach t auflöst, läßt sich in der zweiten
Gleichung t durch x - 2 ersetzen:
y = 5 - 1 2 (x - 2) 2 = - 1 2 x 2 + 2x + 3.
Damit konnte also in diesem Fall die Parameterdarstellung leicht in die
explizite Darstellung überführt werden. Da x in der ersten Gleichung der
Parameterdarstellung linear von t abhängt, ist auch die Genauigkeit der
graphischen Darstellung unabhängig davon, ob über t oder x variiert wird.
Deshalb bringt in diesem Beispiel die Parameterdarstellung keine Vorteile.
♦ Erheblich interessanter ist die Parameterdarstellung des nach unten offenen
Halbkreises:
Sei ∀ t ∈ [0, 2π]: x(t) := 5 cos t y(t) := 5 sin t
In diesem Fall kann man sich den Parameter t als Drehwinkel vorstellen. Ein
entscheidender Vorteil der Parameterdarstellung gegenüber der expliziten
Darstellung besteht in diesem Beispiel darin, daß bei der Wahl von
Parameterwerten t in konstantem Abstand auch die sich ergebenden (x,y)-
Werte konstanten Abstand haben. Dadurch läßt sich eine gleichmäßig gute
graphische Darstellung erreichen.
02.07.02, Seite 33

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Nach Einführung der trigonometrischen Funktion wird dieses Beispiel noch
genauer untersucht.
Definition (verkettete Funktion):
X, Y und Z seien nichtleere Mengen, f : X → Y, g: Y → Z seien Funktionen. Die durch
h(x) := g o f(x) := g(f(x)) = g(y)
definierte Funktion X → Z ist eine verkettete (oder zusammengesetzte) Funktion.
Dabei ist f die innere und g die äußere Funktion.
Bemerkung: Damit diese Definition so gemacht werden kann, wäre korrekterweise
zunächst einmal nachzuweisen gewesen, daß auf diese Weise mit h überhaupt eine
Funktion definiert ist.
Beispiel: Seien: f : [2,∞] → [0,∞) f : x a x - 2
g : [0,∞) → ⎟R g : y a y
Dann ergibt sich folgende Kettenfunktion h = g o f:
h(x) = g o f(x) = g(f(x)) = g(x - 2) = x − 2 , wobei h: [2,∞) → ⎟R
Achtung: Die Verkettung von Funktionen ist keine kommutative Operation. Im
allgemeinen ist für zwei Funktionen f und g also g o f ≠ f o g
Wichtige Funktionsverkettungen:
f : X → Y und g: Y → Z mit X, Y, Z ⊂ ⎟R seien Funktionen.
Die Funktion g o f ist für:
a) f : x a x + a für a ∈ ⎟R:
eine Schiebung der Funktion g um -a parallel zur x-Achse.
b) g : f(x) a f(x) + b für b∈ ⎟R:
eine Schiebung der Funktion f um b parallel zur y-Achse.
c) f : x a cx für c ∈ ⎟R:
bei 0 < c < 1: eine Streckung der Funktion g in x-Richtung.
bei c > 1: eine Stauchung der Funktion g in x-Richtung.
bei c = −1: eine Spiegelung der Funktion g an der y-Achse.
d) g : f(x) a df(x) für d ∈ ⎟R:
bei 0 < d < 1: eine Stauchung der Funktion f in y-Richtung.
bei d > 1: eine Streckung der Funktion f in y-Richtung.
bei d = −1: eine Spiegelung der Funktion f an der x-Achse.
02.07.02, Seite 34

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1.2 Eigenschaften von Funktionen
In diesem Kapitel sind alle Zahlen und Variablen reell und alle Definitions- und
Wertebereiche reelle Teilmengen.
Definition (Nullstelle): Die Menge M = { x | F(x ; 0) = 0 } ist die Menge der Nullstellen
der Funktion F(x ; y) = 0.
Für die explizite Darstellung f(x) = y ist dann also M := { x | f(x) = 0 } die Menge der
Nullstellen.
Anders ausgedrückt: Die Nullstellen einer Funktion f(x) = y sind die Lösungen x i der
Gleichung f(x) = 0.
Eine der wichtigsten Aufgaben bei der Arbeit mit Funktionen ist die Bestimmung von
Nullstellen.
Beispiele: a) f(x) := x 2 + 4x + 4besitzt eine x = -2 Nullstelle.
b) f(x) := sin x besitzt die Nullstellen { x | ∃ z ∈ ⎟Ζ: x = z π }
(= alle ganzzahligen Vielfachen von π)
Definition (Beschränktheit): Sei I ein Intervall. Eine Funktion f ist im Intervall I
nach oben beschränkt, wenn gilt: ∃ a ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≤ a
nach unten beschränkt, wenn gilt: ∃ b ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≥ b
beschränkt, wenn sie in I nach oben und nach unten beschränkt ist
Beispiele: a) f(x) := x 2 ist durch 0 nach unten, aber nicht nach oben beschränkt
b) f(x) := sin x ist durch -1 nach unten und 1 nach oben beschränkt, also
beschränkt.
Definition (Minimum, Maximum): Eine Funktion f : X → Y hat im Punkt x e ∈ X ein
(globales) Maximum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≤ f(x e )
(globales) Minimum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≥ f(x e )
lokales (oder relatives) Maximum, wenn gilt:
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≤ f(x e ) (der Schnitt mit X macht die
Definition auch für Randpunkte des Definitionsbereiches sinnvoll)
lokales (oder relatives) Minimum, wenn gilt:
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≥ f(x e )
Beispiele: a) f(x) := x2 + 2 hat globales Minimum in x = 0
3
x
b) f(x) := − + x
12
Graph der Funktion:
hat ein lokales Minimum in x = -2 und ein
lokales Maximum in x = 2
02.07.02, Seite 35

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6
5
4
3
2
1
0
-1 -5
-2
-3
-4
-4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00
Definition (Monotonie): Sei I ein Intervall. Eine Funktion f ist im Intervall I
monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≥ f(x 2 )
streng monoton fallend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) > f(x 2 )
monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) ≤ f(x 2 )
streng monoton steigend, wenn gilt: ∀ x 1 , x 2 ∈ I mit x 1 < x 2 : f(x 1 ) < f(x 2 )
Beispiele:
a. f(x) := -2x + 1 ist streng monoton fallend in I = ⎟R
b. f(x) := sin x ist streng monoton steigend in I 1 := [-π/2, π/2]
und streng monoton steigend in I 2 := [π/2, 3/2π].
c. f(x) := 5 ist zugleich monoton fallend und monoton steigend in
I = ⎟R.
Definition (gerade, ungerade Funktion): Sei X ⊂ ⎟R, so daß gilt: x ∈ X ⇒ -x ∈ X. Die
Funktion f : X → ⎟R heißt
gerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = f(x)
ungerade, wenn gilt: ∀ x, -x ∈ X: f(-x) = -f(x)
Die Graphen gerader Funktionen sind axialsymmetrisch zur y-Achse, die Graphen
ungerader Funktionen punktsymmetrisch zum Punkt (0,0).
Beispiele: a) f(x) := cos x ist gerade
b) g(x) := sin x ist ungerade
Definition (Periodizität): Die Funktion f : X → ⎟R heißt periodisch, wenn gilt:
∃ p ∈ ⎟R mit p > 0, so daß ∀ x ∈ X, ∀ k ∈ ⎟Ζ gilt:
x + kp ∈ X und f(x) = f(x + kp).
p heißt Periode der Funktion f. Die kleinste Periode p heißt primitive Periode.
Beispiel: f(x) := sin x und g(x) := cos x haben die primitive Periode 2π und z. B. die
Periode 10π
02.07.02, Seite 36

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Definition (Konvergenz): Gegeben sei die Funktion f : X → ⎟R:
a. f ist konvergent gegen yl für x fi ¥, wenn gilt:
∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (x0 ,∞) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x > x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→∞
b. f ist konvergent gegen yl für x fi - ¥, wenn gilt:
∀ ε > 0 ∃ x0 ∈ X: (-∞,x0 ) ⊂ X ∧ | f(x) - yl | < ε ∀ x < x0 Schreibweise: lim f(x) = yl x→−∞
Beispiele:
a. f(x) := 1
x
∀ x > 0: Es gilt: limf(x)
= 0
x→∞
b. f(x) := x 2 ∀ x ∈ ⎟R:
f ist in ⎟R weder konvergent für x → ∞ noch für x → -∞
c. f(x) := sin x ∀ x ∈ ⎟R:
Da f periodisch und nicht konstant ist, ist f weder konvergent
für x → ∞ noch für x → -∞
Definition (Asymptote): Gegeben seien die Funktionen f, g: X → Y.
Es gelte: ∃ a ∈ ⎟R mit (-∞,a] ⊂ X ∨ [a,∞) ⊂ X.
g heißt Asymptote (oder asymptotische Kurve) von f, wenn gilt:
f - g konvergiert gegen 0 für x → ∞ oder für x → -∞.
Beispiele:
a. f(x) :=
b. f(x) :=
x
1 + x
2
3
x
2( x − 1)
Zugehörige Graphen:
Zugehörige Asymptote: g(x) = 0
für x ∈ ⎟R \ {1}. Zugehörige Asymptote: g(x) := 1 2 (x 2 + x + 1)
02.07.02, Seite 37

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6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
Definition (Stetigkeit):
a. Die Funktion f : X → Y heißt stetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert,
so daß gilt:
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 -δ, x 0 +δ).
b. Die Funktion f : X → Y heißt linksstetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0
existiert, so daß gilt:
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 -δ, x 0 ).
c. Die Funktion f : X → Y heißt rechtsstetig in x 0 ∈ X, wenn zu jedem ε > 0 ein
δ > 0 existiert, so daß gilt:
| f(x) - f(x 0 ) | < ε ∀ x ∈ (x 0 , x 0 +δ).
d. Die Funktion f : X → Y heißt stetig in x 0 ∈ X, wenn sie in x 0 links- und rechtsseitig
stetig ist.
Offenbar ist eine Funktion in x 0 ∈ X genau dann stetig, wenn sie in x 0 links- und
rechtsseitig stetig ist.
Insbesondere gilt: Eine Funktion ist nicht (links- oder rechtsseitig) stetig in x 0 , falls x 0 ∉
X. Das heißt: Eine Funktion ist außerhalb ihres Definitionsbereichs nicht stetig (da nicht
definiert).
Beispiele:
a. f(x) := | x | ist stetig ∀ x ∈ ⎟R
02.07.02, Seite 38

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b. f(x) := sin x ist stetig ∀ x ∈ ⎟R
c. ⎧ 0 x < 0
f(x) := ⎨
⎩ 1 x ≥ 0
f ist nur rechtsseitig stetig in x = 0, also ist f in x = 0 nicht stetig.
f hat in x = 0 eine Sprungstelle.
d. f(x) := 1
∀ ∈ x ⎟R \ {0}
x
f ist stetig ∀ x ≠ 0. f ist in x = 0 nicht stetig, da x = 0 nicht zum
Definitionsbereich der Funktion gehört.
Die Funktion f(x) := 1
∀ x ∈ ⎟R \ {0} hat in x = 0 eine Polstelle. Die
x
Definitionslücke in x = 0 ist nicht hebbar, da es keine reelle Zahl y ∈ ⎟R gibt
mit f(0) := y, so daß dadurch f in x = 0 stetig ist.
Anschaulich: Bei Annäherung an die Stelle x = 0 nähert sich der Graph der
Funktion immer mehr der y-Achse. Man spricht in diesem Fall von einer
Polgeraden.
sin x
Die Funktion f(x) := ist für x = 0 nicht definiert. Durch folgende
x
Festlegung läßt sich diese Definitionslücke schließen:
sin x
⎧
x x ≠ 0
f(x) := ⎨
⎩ 1 x = 0
Dadurch wird f außerdem stetig ∀ x ∈ ⎟R (auf Beweis wird hier verzichtet).
In einem solchen Fall spricht man von einer hebbaren Definitionslücke.
e. Die Funktion f(x) := sin 1 x ist für x = 0 nicht definiert und auf
⎟R \ {0} stetig. Die Funktion nimmt in jeder noch so kleinen Umgebung um x =
0 alle Werte zwischen -1 und 1 an. Die Funktion oszilliert also. Die
Definitionslücke ist nicht hebbar.
Von großer Bedeutung sind die folgenden Stetigkeitssätze, deren Aussagen intuitiv
einsichtig sind:
Zwischenwertsatz: I sei ein Intervall, f : I → ⎟R stetig. Seien x1, x2 ∈ I mit x1 < x2 und
f(x1) < f(x2) (bzw. f(x2) < f(x1)). Dann gilt:
Für alle y ∈ [f(x 1 ),f(x 2 )] (bzw. ∀ y ∈ [f(x 2 ),f(x 1 )]) gibt es ein x ∈ [x 1 ,x 2 ], so daß y = f(x).
Satz von Weierstraß: Sei I ein abgeschlossenes Intervall, f: I → ⎟R stetig.
Dann gilt: f hat ein Maximum und ein Minimum. Insbesondere ist f beschränkt.
02.07.02, Seite 39

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Definition (Umkehrfunktion): Die Funktion f : X → Y mit f(x) = y sei gegeben. Die
Funktion g: Y → X mit g(y) = g o f(x) = x heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion
von f. Bezeichnung: f -1 := g.
Wenn f -1 die Umkehrfunktion von f ist, ist f die Umkehrfunktion von f -1 :
(f -1 ) -1 o f -1 (y) = f o f -1 (y) = y.
Bemerkung: Es gibt nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion.
In den Fällen, wo dieses möglich ist, erhält man die Funktionsgleichung von f -1 durch
Auflösen der Funktionsgleichung y = f(x) nach x (= f -1 (y)).
Den Graphen der Umkehrfunktion f -1 erhält man durch „Spiegelung“ des Graphen von f
an der Diagonale y = x (bei gleichem Maßstab für x- und y-Achse.)
Beispiel:
f : [0,∞) → [0,∞) f(x) = x 2
g : [0,∞) → [0,∞) g(y) = y
Dann ist: f -1 = g und g -1 = f.
02.07.02, Seite 40

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1.3 Algebraische Funktionen
Seien m, n ∈ ⎟Ν 0 . Eine Funktion, die sich in der Form
F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y
m
n
∑∑ 0
i=
0 j =
ij
i j
darstellen läßt, heißt algebraisch.
= 0 (a ij ∈ ⎟R)
Zu den algebraischen Funktionen gehören
• die Polynome
• die gebrochenrationalen Funktionen
• die irrationalen Funktionen
1.3.1 Polynome (ganzrationale Funktionen):
Sei n ∈ ⎟Ν 0 , a n ≠ 0. Eine Funktion der Form
f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0
heißt Polynom n-ten Grades oder ganzrationale Funktion n-ten Grades.
Der Graph eines Polynoms n-ten Grades heißt Parabel n-ten Grades.
Beispiel: f(x) := 2x 3 - 5x + 1 ist ein Polynom dritten Grades.
wichtige Eigenschaften:
a) Als Definitionsbereich von Polynomen kann die Menge ⎟R gewählt werden.
b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Verkettung von
Polynomen ergibt wiederum ein Polynom.
(Dieses gilt im allgemeinen nicht für die Division - siehe gebrochenrationale
Funktionen !!!)
c) Polynome sind überall stetig.
d) Polynome sind in ⎟R nicht beschränkt und sind nicht konvergent.
Polynome mit ungeradem Grad sind außerdem in ⎟R weder nach unten noch nach
oben beschränkt.
Hingegen sind Polynome mit geradem Grad in ⎟R entweder nach unten
beschränkt (falls a n > 0) oder nach oben beschränkt (falls a n < 0) .
e) Ein Polynom ist gerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit ungeradem n gleich 0
sind.
02.07.02, Seite 41

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Ein Polynom ist ungerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit geradem n gleich
0 sind.
f) Ein Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (die allerdings mehrfach
auftreten oder komplex sein können). (Fundamentalsatz der Algebra). Für die reellen
Nullstellen gilt folgendes (wobei mehrfache reelle Nullstellen mit entsprechender
Häufigkeit gezählt werden):
Polynomgrad Anzahl der reellen Nullstellen
1 1
2 0 oder 2
3 1 oder 3
4 0, 2 oder 4
5 1, 3 oder 5
6 0, 2, 4, oder 6
7 1, 3, 5, oder 7
. . . . . .
g) Wenn ein Polynom n-ten Grades die Nullstellen x i (1 ≤ i ≤ n) besitzt, kann die
entsprechende Gleichung als Produkt der Linearfaktoren (x - x i ) geschrieben werden
(Produktdarstellung). Durch Abspaltung von Linearfaktoren kann die Bestimmung
von weiteren Nullstellen auf die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms
geringeren Grades zurückgeführt werden.
h) Zu gegebenen n+1 Elementen (Punkten) (xi ,yi ) ∈ ⎟R × ⎟R mit xi ≠ xj für alle
i ≠ j gibt es genau ein Polynom höchstens n-ten Grades Pn , so daß:
Pn (xi ) = yi für alle i: 0 ≤ i ≤ n.
Die Menge der xi ist die Menge der Stützstellen, die Menge der yi die Menge der
Stützwerte für das Polynom Pn .
Berechnen läßt sich das Polynom Pn mit Hilfe des Newton'schen Interpolationspolynoms
(Isaak Newton, 1643 - 1727):
P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 ) + b 2 (x - x 0 ) (x - x 1 ) +
b 3 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) +
b 4 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) +
. . .
b n (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) . . . (x - x n-1 )
Die noch zu bestimmenden Polynomkoeffizienten b i lassen sich leicht mit folgendem
Differenzen- bzw. Steigungsschema berechnen:
k x k y k I II III . . .
0 x0 y0 (= b0 )
[x0 ,x1 ] (= b1 )
1 x1 y1 [x0 ,x1 ,x2 ] (= b2 )
02.07.02, Seite 42

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[x1 ,x2 ] [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] (= b3 )
2 x2 y2 [x1 ,x2 ,x3 ]
[x2 ,x3 ] . . .
3 x3 y3 . . .
. . . . . .
n xn yn Die Größen [x i ,x i+i ], [x i ,x i+i ,x i+2 ], [x i ,x i+1 ,x i+2 ,x i+3 ] usw. sind die dividierten
Differenzen 1., 2., 3. usw. Ordnung. Sie sind folgendermaßen definiert:
Differenzen 1. Ordnung:
[xi ,xi+1 ] :=
yi − yi
+ 1
xi − xi+
1
Es gehen also 2 aufeinander folgende Stützpunkte ein.
Beispiel: [x 0 ,x 1 ] =
y − y
0 1
x − x
0 1
Differenzen 2. Ordnung:
[xi ,xi+i ,xi+2 ] :=
[ xi , xi+ 1] −[
xi + 1, xi
+ 2 ]
xi − xi
+ 2
Es gehen also 3 aufeinander folgende Stützpunkte ein.
Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ] =
[ x , x ] − [ x , x ]
0 1 1 2
x − x
0 2
Differenzen 3. Ordnung:
[xi ,xi+i ,xi+2 ,xi+3 ] :=
[ xi , xi+ 1, xi + 2 ] − [ xi+ 1, xi+ 2 , xi+
3]
xi − xi+
3
Es gehen also 4 aufeinander folgende Stützpunkte ein.
Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ] =
[ x , x , x ] − [ x , x , x ]
0 1 2 1 2 3
x − x
0 3
usw.
Bemerkung: Für die Polynominterpolation gibt es auch noch andere Verfahren
(z.B.: Interpolationspolynom von Lagrange, Gauß'sche Interpolationsformel)
Beispiele:
• Durch folgende Punkte soll ein Polynom gelegt werden:
(0,-12), (2,16), (5,28), (7,-54)
zugehöriges Differenzenschema:
02.07.02, Seite 43

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k x k y k I II III
0 0 -12 (= b 0 )
14 =
−12−16 0−2 (= b1 )
1 2 16 -2 =
14−4 0 5
− (= b 2 )
4 -1 =
2 5 28 -9
-41
3 7 -54
Also ergeben sich die Koeffizienten:
b 0 = -12, b 1 = 14, b 2 = -2, b 3 = -1
− 2+ 9
0−7 (= b3 )
Eingesetzt in das Interpolationspolynom ergibt sich:
y = -12 + 14 (x - 0) - 2 (x - 0)(x - 2) - 1 (x - 0) (x - 2) (x - 5)
= -x 3 + 5x 2 + 8x -12
• Gegeben seien die Punkte (x 0 ,y 0 ), (x 1 ,y 1 ). Durch diese Punkte soll eine Gerade
gelegt werden (lineare Interpolation durch 2 Punkte):
P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 )
mit
b 0 = y 0
b 1 = [x 0 ,x 1 ] =
y − y
0 1
x − x
0 1
Durch Einsetzen ergibt sich:
y = y0 + [x0 ,x1 ]⋅(x - x0 )
x − x0
= y0 + (y1 - y0 )⋅
x1 − x0
= y y 1 − 0
y − y
⋅x + y0 - x0⋅ x − x
x − x
1 0
1 0
1 0
Entsprechend läßt sich z.B. eine Formel ableiten für die quadratische
Interpolation durch drei Punkte usw.
Eine einfache, aber wichtige Anwendung der linearen Interpolation (und damit der
Anwendung obiger Formel) ist die Regula Falsi zur näherungsweisen
Bestimmung von Nullstellen einer Funktion f(x):
Man ermittelt durch "Probieren" zwei Werte x 1 und x 2 des Definitionbereiches von
f, so daß f(x 1 ) ⋅ f(x 2 ) < 0 (d.h.: einer der beiden Funktionswerte ist größer, der
andere kleiner als 0). Wenn die Funktion auf dem Intervall [x 1 ,x 2 ] stetig ist, besitzt
sie in diesem Intervall eine Nullstelle (Zwischenwertsatz). Eine Näherung dieser
02.07.02, Seite 44

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Nullstelle erhält man, wenn man durch die Punkte (x 1 ,f(x 1 )) und (x 2 ,f(x 2 )) eine
Gerade legt und deren Nullstelle berechnet. Die Qualität des Ergebnisses hängt
natürlich wesentlich von der Wahl der Werte x 1 und x 2 ab.
Für die Berechnung der Funktionswerte von Polynomen ist das folgende sogenannte
Horner-Schema (William George Horner, 1786 - 1837) hilfreich. Dadurch wird die
Anzahl der Multiplikationen minimiert:
Berechnet werden soll der Wert des Polynoms f an der Stelle x 0 :
f(x 0 ) = a n x 0 n + an-1 x 0 n-1 + an-2 x 0 n-2 ... + a1 x 0 + a 0
Durch Ausklammern erhält man:
f(x 0 ) = ( ... ((a n x 0 + a n-1 ) x 0 + a n-2 ) x 0 ... + a 1 ) x 0 + a 0
Also: a n wird mit x 0 multipliziert, zum Produkt wird dann a n-1 addiert, die Summe
anschließend mit x 0 multipliziert usw.
Dieses Verfahren läßt sich in folgendem Schema darstellen:
a n a n-1 a n-2 ... a 1 a 0
a n x 0 (a n x 0 + a n-1 ) x 0 ... ... ...
x= x 0 a n a n x 0 + a n-1 ... ... ... f(x 0 )
In der 1. Zeile des Horner-Schemas stehen die Polynomkoeffizienten.
In der 2. Zeile steht das Produkt von x 0 und dem Term, der in der vorherigen Spalte in
der 3. Zeile steht. In der 3. Zeile steht die Summe der Terme aus der 1. und der 2.
Zeile. In der letzten Spalte der 3. Zeile steht der Funktionswert.
Beispiel: f(x) := x 4 - 5x 3 + 7x 2 + 3x -10. Gesucht ist f(3).
Berechnung mit Horner-Schema für x 0 = 3:
1 -5 7 3 -10
3 -6 3 18
x=3 1 -2 1 6 8=f(3)
Es gilt: f sei ein Polynom n-ten Grades. Wenn x = x 0 eine Nullstelle des Polynoms ist,
läßt sich das Polynom darstellen als Produkt des Linearfaktors (x-x 0 ) und eines
Polynoms (n-1)-ten Grades. Die Polynomkoeffizienten dieses reduzierten Polynoms
ergeben sich sofort aus der dritten Zeile des Horner-Schemas, das für x = x 0 aufgestellt
02.07.02, Seite 45

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wurde (eine andere Lösung, um die Koeffizienten des reduzierten Polynoms zu
ermitteln, ist die Partialdivision).
1.3.2 gebrochenrationale Funktionen:
Seien m, n ∈ ⎟Ν0 , N sei ein Polynom vom Grad m, Z sei ein Polynom vom Grad n mit:
Z(x) := anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 N(x) := bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0 Die Funktion
f(x)
Z( x)
:=
N ( x)
ist eine gebrochenrationale Funktion.
Eine gebrochenrationale Funktion heißt
echt gebrochenrational, wenn m > n
unecht gebrochenrational, wenn m ≤ n.
2
x + 1
Beispiel: f(x) := 2 ist unecht gebrochenrational.
2x − x − 5
wichtige Eigenschaften:
a) Als Definitionsbereich von gebrochenrationalen Funktionen kann die Menge
⎟R \ { x | N(x) = 0 } gewählt werden.
Das heißt:
In den Nullstellen des Nennerpolynoms ist eine gebrochenrationale Funktion nicht
definiert. Sie gehören also nicht zum Definitionsbereich der Funktion.
b) Das Ergebnis von Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verkettung
von gebrochenrationalen Funktionen ergibt wiederum eine gebrochenrationale
Funktion.
c) Gebrochenrationalen Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich stetig (aber
nicht in den Nullstellen des Nennerpolynoms !!!).
d) Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion sind die Elemente des
Definitionsbereiches der Funktion (und damit nicht die Nullstellen des
Nennerpolynoms !!!), die Nullstellen des Zählerpolynoms sind.
e) Eine echt gebrochenrationale Funktion hat die Asymptote A(x) = 0.
Beispiel: f(x) := 1
x
An den Stellen, die zugleich Nullstelle von Zähler- und Nennerpolynom sind, liegt
eine hebbare Lücke vor.
An den Stellen, wo nur das Nennerpolynom eine Nullstelle hat, besitzt die Funktion
eine Polgerade.
02.07.02, Seite 46

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f) Eine unecht gebrochenrationale Funktionen mit m = n (also gleichem Grad von
Zähler- und Nennerpolynom) hat die Asymptote A(x) = an
.
b
Beispiel: f(x) :=
2
x + 5x + 3
2
4x + 2
hat die Asymptote A(x) = 1
4 .
g) Eine unecht gebrochenrationale Funktion f mit m < n (Grad von Nennerpolynom
kleiner als Grad von Zählerpolynom) läßt sich zerlegen in:
f(x) = p(x) + r(x),
wobei p ein Polynom und r (= Rest nach Partialdivison) eine echt gebrochenrationale
Funktion ist.
Dann hat die Funktion f die Asymptote A(x) = p(x).
3
x
Beispiel: f(x) :=
2 ⋅ ( x − 1)
= 1 2
1
2 ⋅ ( x + x + 1)
+ hat die
2 ⋅( x − 1)
Asymptote A(x) = 1 2 ⋅(x 2 + x + 1).
h) Das Verhalten unecht gebrochenrationaler Funktionen an ihren Unstetigkeitsstellen
ergibt sich aus dem Verhalten des echt gebrochenrationalen Restes r, der nach
Partialdivision übrigbleibt.
1.3.3 irrationale Funktionen:
Eine Funktion heißt irrational, wenn
• entweder die Variable x in einem Wurzelterm steht
Beispiel:
• oder sich die Gleichung
5 − x
f(x) := 3
2
1+
x
implizite Darstellung F(x ; y) = (1+x2 ) y3 + x - 5 = 0
m n
∑∑ i=
0 j = 0
F(x ; y) = a ⋅ x ⋅ y
ij
i j
= 0 (a ij ∈ ⎟R)
nicht nach y auflösen läßt (es also für eine Funktion obiger Form keine explizite
Darstellungsform gibt).
Auf eine weitergehende Erörterung irrationaler Funktionen wird hier verzichtet.
n
02.07.02, Seite 47

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1.4 Transzendente Funktionen
Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent.
Wichtige transzendente Funktionen sind:
• Trigonometrische Funktionen (Winkel- bzw. Kreisfunktionen)
• Zyklometrische Funktionen (Arcusfunktionen)
• Exponentialfunktionen
• Logarithmusfunktionen
• Hyperbelfunktionen
• Area-Funktionen
Die Funktionswerte dieser transzendenten Funktionen lassen sich durch unendliche
Reihen bestimmen (Mathematik II)
1.4.1 Trigonometrische Funktionen:
Das wohl bekannteste Maß zur Angabe der Größe eines Winkels ist das Grad
(Zeichen: °), wobei der Vollkreis 360° besitzt. Ein Grad wird in 60 Minuten zu je 60
Sekunden oder dezimal unterteilt. Winkel werden gemessen durch mathematisch
positive Drehung (d.h.: entgegen dem Uhrzeigersinn).
Also ergeben sich in dem üblichen rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem
(positive x-Achse nach rechts, positive y-Achse nach oben zeigend) z.B. folgende
Werte:
• Winkel zwischen positiver x- und y-Achse: 90°
• Winkel zwischen positiver und negativer x-Achse: 180°
• Winkel zwischen positiver x- und negativer y-Achse: 270°
• Winkel zwischen positiver x-Achse und positiver x-Achse: 360° bzw. 0°
• Winkel zwischen positiver x-Achse und Graph der Funktion y = x (x ≥ 0): 45°
• Winkel zwischen positiver x-Achse und Graph der Funktion y = x (x ≤ 0): 225°
Insbesondere gilt für Winkel mit mehr als 360°, daß sie gleich dem Winkel von der
Gradzahl sind, die als Rest bei ganzzahliger Division durch 360 übrigbleibt:
Beispiel:
Winkel von 930° = Winkel von (930 mod 360)° = Winkel von 210°
(denn: 930
360 = 2 Rest 210)
Üblicher als das Winkelmaß in Grad ist in der höheren Mathematik allerdings die
02.07.02, Seite 48

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Winkelmessung in Bogenmaß:
Bekanntlich beträgt der Umfang eines Kreises mit Radius r (r > 0): 2πr (mit der
irrationalen Zahl π ≈ 3,141592653589). Der Umfang des Kreises ist also linear abhängig
von r. Das Verhältnis der Länge b⋅2πr (0 ≤ b ≤ 1) eines beliebigen Kreisbogens zum
Radius r des Kreises ist demnach unabhängig von r und ist deshalb als Basis für ein
b ⋅2π r
Winkelmaß sehr geeignet:
= b 2π.
r
Somit ist es naheliegend, das Verhältnis von Kreisbogen zum Radius des Kreises
2πb (0 ≤ b ≤ 1) als Winkelmaß zu definieren. Diese Maßzahl heißt Bogenmaß des
entsprechenden Winkels (Einheit Radiant, Abkürzung rad, wird aber oft weggelassen).
Damit ergeben sich folgende Beziehungen zwischen Grad und Bogenmaß:
360° = 2π 180° = π 90° = π
2
270° = 3
π
2
45°
1
= π
4
1°
1
=
180 π
Im folgenden wird in erster Linie mit Bogenmaß gerechnet.
Anhand der folgenden Darstellungen lassen sich die vier trigonometrischen
Funktionen (bzw. Kreis- oder Winkelfunktionen) anschaulich erklären:
v
0
v
p
I. Quadrant
x
u
r
u
r
v
p
v
0
u
x
p
v
II. Quadrant
III. Quadrant
IV. Quadrant
Definition der trigonometrischen Funktionen anhand der obigen Zeichnungen:
• y = sin x := v
r
• y = cos x := u
r
• y = tan x := v
u
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
x v
0
u
r
r
u
p
v
x
0
v
u
(Sinus-Funktion)
(Cosinus-Funktion)
(Tangens-Funktion)
02.07.02, Seite 49

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• y = cot x := u
v
Ankathete
Gegenkathete
(Cotangens-Funktion)
"Eselsbrücke" zum Merken der Funktionen: GAGA
HHAG :
Die jeweils übereinander stehenden Buchstaben ergeben von links nach rechts den
Anfangsbuchstaben der Definition von sin, cos, tan , cot im rechtwinkligen Dreieck.
Wichtige Eigenschaften:
a) Die Funktionen sin und cos sind auf ganz ⎟R definiert und stetig.
b) Die Funktion tan ist definiert auf ⎟R \ { x | es gibt ein k ∈ ⎟Ζ: x = (2k+1) π
2 }
(ist also nicht definiert für die ungeraden Vielfachen von π
2 ).
An diesen Stellen ist tan also auch nicht stetig. Die Funktion tan besitzt in ihren
Unstetigkeitsstellen jeweils einen Pol.
c) Die Funktion cot ist definiert auf ⎟R \ { x | es gibt ein k ∈ ⎟Ζ: x = kπ }
(ist also nicht definiert für die Vielfachen von p).
An diesen Stellen ist cot also auch nicht stetig. Die Funktion cot besitzt in ihren
Unstetigkeitsstellen jeweils einen Pol.
d) Die Funktionen sin und cos sind beschränkt und nehmen nur Werte aus dem Intervall
[-1,1] an. Die Funktionen tan und cot sind unbeschränkt.
e) Die trigonometrischen Funktionen nehmen auf [0,2π] folgende Werte/Vorzeichen an:
Quadrant I II
x =0 ∈(0, π
2
) = π
2
π ∈( 2 ,π)
sin x =0 >0 =1 >0
cos x =1 >0 =0 0 +/−∞ 0 =0

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cot (x + kπ) = cot x (primitive Periode π)
g) graphische Darstellung:
1,00
0,50
0,00
0,00 1,57 3,14 4,71 6,28
-0,50
-1,00
5,00
3,00
1,00
-3,00
-5,00
sin cos
-1,00
0,00 1,57 3,14 4,71 6,28
tan cot tan cot tan
a) Es gilt:
sin (-x) = -sin x (ungerade Funktion)
cos (-x) = cos x (gerade Funktion)
tan (-x) = -tan x (ungerade Funktion)
cot (-x) = -cot x (ungerade Funktion)
b) Zwischen der Funktionswerten der verschiedenen trigonometrischen Funktionen
bestehen folgende Zusammenhänge:
• Aus der Definition von sin x = v r und cos x = u r und dem Satz von Pythagoras über
die Seitenlängen rechtwinkliger Dreiecke (u 2 + v 2 = r 2 ) folgt:
sin 2 x + cos 2 x = 1
• Aus der Definition von tan x = v u und cot x = u v folgt sofort
tan x = 1
cot x
und durch Erweitern des Bruches mit 1
r : tan x = sin x
cos x
cot x = cos x
sin x
02.07.02, Seite 51

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• Sehr häufig werden die sogenannten Additionstheoreme genutzt:
sin (x + y) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y
cos (x + y) = cos x ⋅ cos y - sin x ⋅ sin y
Mit dem folgenden Bild ist dieser Zusammenhang schnell ersichtlich:
0
y
x
sin (x + y) = AE
OE
cos (x + y) = OA
OE
C
E
x
A B
D
90-x
BD + CE BD CE BD OD CE ED
= = + = ⋅ + ⋅
OE OE OE OD OE ED OE
= sin x cos y + cos x sin y
OB − CD OB CD OB OD CD ED
= = − = ⋅ − ⋅
OE OE OE OD OE ED OE
= cos x cos y - sin x sin y
Daraus ergibt sich sofort (weil sin(-x) = -sin(x)):
sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
tan (x + y) =
sin( x + y)
cos( x + y)
(nach Kürzen durch cos x cos y).
= sin cos cos sin
x ⋅ y + x ⋅ y
cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y
Formeln für doppelte Winkel: sin 2x = 2 sin x cos x
=
tan x + tan y
1−
tan x ⋅ tan y
cos 2x= cos2 x - sin2 x = 1 - 2 sin2 x = 2 cos2 x - 1
tan 2x = 2 tan x
2
1−
tan x
Weitere Formeln für ähnliche Zusammenhänge findet man zuhauf in
02.07.02, Seite 52

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Formelsammlungen.
Verallgemeinerte Sinus-Funktion (harmonische Schwingung): Die Funktion sin
spielt eine wichtige Rolle für die Darstellung von harmonischen Schwingungen (z.B. in
der Elektrotechnik, Mechanik, Optik, Akustik usw.). Dazu wird die Funktion
verallgemeinert zur folgenden Form:
y = f(t) := A sin (wt + j)
Üblicherweise wird als Bezeichnung für die Variable t (für Zeit) verwendet. Wie bereits
bekannt bzw. leicht zu sehen ist, bewirken
• A (Amplitude) eine Spiegelung an der t-Achse, Dehnung oder Stauchung an der y-
Achse
• ω eine Spiegelung an der y-Achse, Dehnung oder Stauchung an der t-Achse und
eine Änderung der primitiven Periode in 2π
| ω|
• ϕ eine Phasenverschiebung in Richtung der t-Achse um − ϕ
ω
Bemerkung: Auch cos x ist eine harmonische Schwingung: cos x = sin (x + π 2 )
1.4.2 Zyklometrische Funktionen:
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sind die zyklometrischen
Funktionen:
• arcsin y := sin -1 y = { x | sin x = y } ∩ [− π 2 , π 2 ]
Damit arcsin eine Funktion ist, also die Menge auf der rechten Seite der Gleichung
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird der
Wertebereich der Funktion auf [ − π 2 , π 2 ] beschränkt. Dadurch ist mit arcsin: [-1,1] →
[ − π 2 , π 2 ] eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
• arccos y := cos -1 y = { x | cos x = y } ∩ [0,π]
Analog zu arcsin wird mit arccos: [-1,1] → [0,π] eine umkehrbare, stetige Funktion
definiert.
• arctan y := tan -1 y = { x | tan x = y } ∩ ( − π 2 , π 2 )
Damit arctan eine Funktion ist, also die Menge auf der rechten Seite der Gleichung
für ein festes gewähltes y nur aus jeweils einem Element besteht, wird der
Wertebereich der Funktion wie bei arcsin auf ( − π 2 , π 2 ) beschränkt.
Dadurch ist mit arctan: ⎟R → (− π 2 , π 2 ) eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
• arccot y := cot -1 y = { x | cot x = y } ∩ [0,π]
Analog zu arctan wird mit arccot: ⎟R → (0,π) eine umkehrbare, stetige Funktion definiert.
02.07.02, Seite 53

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Graphische Darstellung der zyklometrischen Funktionen:
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 -1 -0,5 0 0,5 1
-1
-1,5
-2
arcsin arccos
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-0,5-2,5
-1
-1,5
-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5
arctan arccot
Zwischen der Werten der zyklometrischen Funktionen bestehen z. B. folgende
Beziehungen:
• arcsin x + arccos x = π 2
• arctan x + arccot x = π 2
• arccos(-x) = π - arccos x
• arccot (-x) = π - arccot x
Weitere Identitäten sind den gängigen Formelsammlungen zu entnehmen.
1.4.3 Exponentialfunktionen:
Eine Funktion der Form f(x) = b x , b > 0, b ≠ 1 heißt Exponentialfunktion.
Die bekannteste Exponentialfunktion ist f(x) = e x .
02.07.02, Seite 54

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Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion der Form f(x) = b x für b > 1 sind:
Die Funktion besitzt den Definitionsbereich ⎟R und den Wertebereich (0,∞)
• Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und
damit umkehrbar (bezogen auf ihren Wertebereich 0,∞)).
• Die Funktion konvergiert für x → -∞ gegen 0 und steigt für x → ∞ „sehr schnell“ an.
1.4.4 Logarithmusfunktionen:
Eine Funktion der Form f(x) = log b x, b > 0, b ≠ 1 heißt Logarithmusfunktion.
Die bekannteste Logarithmusfunktion ist f(x) = ln x.
Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion der Form f(x) = log b x für b > 1 sind:
• Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der entsprechenden
Exponentialfunktion (also f(x) = b x ).
• Die Funktion besitzt den Definitionsbereich (0,∞) und den Wertebereich ⎟R.
• Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und
damit umkehrbar.
• Die Funktion fällt für x → 0 „sehr schnell“ gegen -∞ und steigt für x → ∞ „sehr
langsam“ an, konvergiert aber nicht gegen eine reelle Zahl.
1.4.5 Hyperbelfunktionen:
Die Hyperbelfunktionen sind so benannt, weil sie in vielen Punkten Eigenschaften
aufweisen, die sich zur Hyperbel analog verhalten wie entsprechende Eigenschaften
der trigonometrischen Funktionen zum Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den
Nullpunkt).
Die Hyperbelfunktionen sind definiert:
• y = sinh x := 1 2 (e x - e -x ) (sinus hyperbolicus)
• y = cosh x := 1 2 (e x + e -x ) (cosinus hyperbolicus)
• y = tanh x := sinh x
cosh x
• y = coth x := cosh x
sinh x
Wichtige Eigenschaften:
e
=
e
− e
+ e
e
=
e
−
+ e
−
− e
x −x
x − x
x x
x x
(tangens hyperbolicus)
(cotangens hyperbolicus)
• Die Funktionen sinh, cosh und tanh besitzen den Definitionsbereich ⎟R und sind auf
dem gesamten Definitionsbereich stetig.
02.07.02, Seite 55

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• Die Funktion coth ist auf ⎟R \ {0} definiert und auf dem gesamten Definitionsbereich
stetig. Im Wert 0 besitzt coth eine senkrechte Asymptote (Pol).
• Die Funktionen sinh, tanh und coth sind ungerade, cosh ist gerade.
(also genau wie bei den analogen trigonometrischen Funktionen)
• sinh und cosh besitzen für x → ∞ die Asymptote y = 1
2 e x , tanh und coth besitzen für
x → ∞ die Asymptote y = 1.
• Additionstheoreme
(Man beachte die Analogien zu den trigonometrischen Funktionen):
sinh (x + y) = sinh x ⋅ cosh y + cosh x ⋅ sinh y
cosh (x + y) = cosh x ⋅ cosh y + sinh x ⋅ sinh y
tanh x + tanh y
tanh (x + y) =
1+
tanh x ⋅ tanh y
• Zwischen den Funktionen bestehen folgende Zusammenhänge:
cosh x + sinh x = e x
cosh x - sinh x = e -x
cosh 2 x - sinh 2 x = 1
(cosh x ± sinh x) n = cosh (nx) ± sinh (nx) = e ±nx (Moivre'sche Formel)
tanh x ⋅ coth x = 1
Graphische Darstellungen:
8
6
4
2
0
-2
-2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5
-4
-6
-8
sinh cosh
02.07.02, Seite 56

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3
2
1
0
-2,5
-1
-1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5
-2
-3
tanh coth coth
Weitere Zusammenhänge sind allen gängigen Formelsammlungen zu entnehmen und
leicht herzuleiten.
1.4.6 Area-Funktionen:
Die Area-Funktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen:
• y = ar sinh x := sinh -1 x = ln (x + x 2
• y = ar cosh x := cosh -1 x = ln (x ± x 2
• y = ar tanh x := tanh -1 x = 1 2 ln 1
• y = ar coth x := coth -1 x = 1 2 ln x
+ x
1 − x
+ 1
x − 1
+ 1 ) x ∈ ⎟R
− 1 ) (x ≥ 1)
(|x| < 1)
(|x| > 1)
Zusammenhänge zwischen den Areafunktionen, Additionstheoreme usw. sind allen
gängigen Formelsammlungen zu entnehmen und leicht herzuleiten.
02.07.02, Seite 57