FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Nach Einführung der trigonometrischen Funktion wird dieses Beispiel noch
genauer untersucht.
Definition (verkettete Funktion):
X, Y und Z seien nichtleere Mengen, f : X → Y, g: Y → Z seien Funktionen. Die durch
h(x) := g o f(x) := g(f(x)) = g(y)
definierte Funktion X → Z ist eine verkettete (oder zusammengesetzte) Funktion.
Dabei ist f die innere und g die äußere Funktion.
Bemerkung: Damit diese Definition so gemacht werden kann, wäre korrekterweise
zunächst einmal nachzuweisen gewesen, daß auf diese Weise mit h überhaupt eine
Funktion definiert ist.
Beispiel: Seien: f : [2,∞] → [0,∞) f : x a x - 2
g : [0,∞) → ⎟R g : y a y
Dann ergibt sich folgende Kettenfunktion h = g o f:
h(x) = g o f(x) = g(f(x)) = g(x - 2) = x − 2 , wobei h: [2,∞) → ⎟R
Achtung: Die Verkettung von Funktionen ist keine kommutative Operation. Im
allgemeinen ist für zwei Funktionen f und g also g o f ≠ f o g
Wichtige Funktionsverkettungen:
f : X → Y und g: Y → Z mit X, Y, Z ⊂ ⎟R seien Funktionen.
Die Funktion g o f ist für:
a) f : x a x + a für a ∈ ⎟R:
eine Schiebung der Funktion g um -a parallel zur x-Achse.
b) g : f(x) a f(x) + b für b∈ ⎟R:
eine Schiebung der Funktion f um b parallel zur y-Achse.
c) f : x a cx für c ∈ ⎟R:
bei 0 < c < 1: eine Streckung der Funktion g in x-Richtung.
bei c > 1: eine Stauchung der Funktion g in x-Richtung.
bei c = −1: eine Spiegelung der Funktion g an der y-Achse.
d) g : f(x) a df(x) für d ∈ ⎟R:
bei 0 < d < 1: eine Stauchung der Funktion f in y-Richtung.
bei d > 1: eine Streckung der Funktion f in y-Richtung.
bei d = −1: eine Spiegelung der Funktion f an der x-Achse.
02.07.02, Seite 34