FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Ein Polynom ist ungerade, wenn alle Polynomkoeffizienten a n mit geradem n gleich 0 sind. f) Ein Polynom n-ten Grades besitzt genau n Nullstellen (die allerdings mehrfach auftreten oder komplex sein können). (Fundamentalsatz der Algebra). Für die reellen Nullstellen gilt folgendes (wobei mehrfache reelle Nullstellen mit entsprechender Häufigkeit gezählt werden): Polynomgrad Anzahl der reellen Nullstellen 1 1 2 0 oder 2 3 1 oder 3 4 0, 2 oder 4 5 1, 3 oder 5 6 0, 2, 4, oder 6 7 1, 3, 5, oder 7 . . . . . . g) Wenn ein Polynom n-ten Grades die Nullstellen x i (1 ≤ i ≤ n) besitzt, kann die entsprechende Gleichung als Produkt der Linearfaktoren (x - x i ) geschrieben werden (Produktdarstellung). Durch Abspaltung von Linearfaktoren kann die Bestimmung von weiteren Nullstellen auf die Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms geringeren Grades zurückgeführt werden. h) Zu gegebenen n+1 Elementen (Punkten) (xi ,yi ) ∈ ⎟R × ⎟R mit xi ≠ xj für alle i ≠ j gibt es genau ein Polynom höchstens n-ten Grades Pn , so daß: Pn (xi ) = yi für alle i: 0 ≤ i ≤ n. Die Menge der xi ist die Menge der Stützstellen, die Menge der yi die Menge der Stützwerte für das Polynom Pn . Berechnen läßt sich das Polynom Pn mit Hilfe des Newton'schen Interpolationspolynoms (Isaak Newton, 1643 - 1727): P(x) = b 0 + b 1 (x - x 0 ) + b 2 (x - x 0 ) (x - x 1 ) + b 3 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) + b 4 (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) + . . . b n (x - x 0 ) (x - x 1 ) (x - x 2 ) (x - x 3 ) . . . (x - x n-1 ) Die noch zu bestimmenden Polynomkoeffizienten b i lassen sich leicht mit folgendem Differenzen- bzw. Steigungsschema berechnen: k x k y k I II III . . . 0 x0 y0 (= b0 ) [x0 ,x1 ] (= b1 ) 1 x1 y1 [x0 ,x1 ,x2 ] (= b2 ) 02.07.02, Seite 42
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck [x1 ,x2 ] [x0 ,x1 ,x2 ,x3 ] (= b3 ) 2 x2 y2 [x1 ,x2 ,x3 ] [x2 ,x3 ] . . . 3 x3 y3 . . . . . . . . . n xn yn Die Größen [x i ,x i+i ], [x i ,x i+i ,x i+2 ], [x i ,x i+1 ,x i+2 ,x i+3 ] usw. sind die dividierten Differenzen 1., 2., 3. usw. Ordnung. Sie sind folgendermaßen definiert: Differenzen 1. Ordnung: [xi ,xi+1 ] := yi − yi + 1 xi − xi+ 1 Es gehen also 2 aufeinander folgende Stützpunkte ein. Beispiel: [x 0 ,x 1 ] = y − y 0 1 x − x 0 1 Differenzen 2. Ordnung: [xi ,xi+i ,xi+2 ] := [ xi , xi+ 1] −[ xi + 1, xi + 2 ] xi − xi + 2 Es gehen also 3 aufeinander folgende Stützpunkte ein. Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ] = [ x , x ] − [ x , x ] 0 1 1 2 x − x 0 2 Differenzen 3. Ordnung: [xi ,xi+i ,xi+2 ,xi+3 ] := [ xi , xi+ 1, xi + 2 ] − [ xi+ 1, xi+ 2 , xi+ 3] xi − xi+ 3 Es gehen also 4 aufeinander folgende Stützpunkte ein. Beispiel: [x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ] = [ x , x , x ] − [ x , x , x ] 0 1 2 1 2 3 x − x 0 3 usw. Bemerkung: Für die Polynominterpolation gibt es auch noch andere Verfahren (z.B.: Interpolationspolynom von Lagrange, Gauß'sche Interpolationsformel) Beispiele: • Durch folgende Punkte soll ein Polynom gelegt werden: (0,-12), (2,16), (5,28), (7,-54) zugehöriges Differenzenschema: 02.07.02, Seite 43
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