FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
1.2 Eigenschaften von Funktionen
In diesem Kapitel sind alle Zahlen und Variablen reell und alle Definitions- und
Wertebereiche reelle Teilmengen.
Definition (Nullstelle): Die Menge M = { x | F(x ; 0) = 0 } ist die Menge der Nullstellen
der Funktion F(x ; y) = 0.
Für die explizite Darstellung f(x) = y ist dann also M := { x | f(x) = 0 } die Menge der
Nullstellen.
Anders ausgedrückt: Die Nullstellen einer Funktion f(x) = y sind die Lösungen x i der
Gleichung f(x) = 0.
Eine der wichtigsten Aufgaben bei der Arbeit mit Funktionen ist die Bestimmung von
Nullstellen.
Beispiele: a) f(x) := x 2 + 4x + 4besitzt eine x = -2 Nullstelle.
b) f(x) := sin x besitzt die Nullstellen { x | ∃ z ∈ ⎟Ζ: x = z π }
(= alle ganzzahligen Vielfachen von π)
Definition (Beschränktheit): Sei I ein Intervall. Eine Funktion f ist im Intervall I
nach oben beschränkt, wenn gilt: ∃ a ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≤ a
nach unten beschränkt, wenn gilt: ∃ b ∈ ⎟R , so daß ∀ x ∈ I: f(x) ≥ b
beschränkt, wenn sie in I nach oben und nach unten beschränkt ist
Beispiele: a) f(x) := x 2 ist durch 0 nach unten, aber nicht nach oben beschränkt
b) f(x) := sin x ist durch -1 nach unten und 1 nach oben beschränkt, also
beschränkt.
Definition (Minimum, Maximum): Eine Funktion f : X → Y hat im Punkt x e ∈ X ein
(globales) Maximum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≤ f(x e )
(globales) Minimum, wenn gilt: ∀ x ∈ X : f(x) ≥ f(x e )
lokales (oder relatives) Maximum, wenn gilt:
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≤ f(x e ) (der Schnitt mit X macht die
Definition auch für Randpunkte des Definitionsbereiches sinnvoll)
lokales (oder relatives) Minimum, wenn gilt:
∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x e -ε, x e +ε) ∩ X ist f(x) ≥ f(x e )
Beispiele: a) f(x) := x2 + 2 hat globales Minimum in x = 0
3
x
b) f(x) := − + x
12
Graph der Funktion:
hat ein lokales Minimum in x = -2 und ein
lokales Maximum in x = 2
02.07.02, Seite 35