FB Ingenieurwissenschaften 1 Funktionen 1.1 Begriff der Funktion ...

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion der Form f(x) = b x für b > 1 sind:
Die Funktion besitzt den Definitionsbereich ⎟R und den Wertebereich (0,∞)
• Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und
damit umkehrbar (bezogen auf ihren Wertebereich 0,∞)).
• Die Funktion konvergiert für x → -∞ gegen 0 und steigt für x → ∞ „sehr schnell“ an.
1.4.4 Logarithmusfunktionen:
Eine Funktion der Form f(x) = log b x, b > 0, b ≠ 1 heißt Logarithmusfunktion.
Die bekannteste Logarithmusfunktion ist f(x) = ln x.
Wichtige Eigenschaften einer Exponentialfunktion der Form f(x) = log b x für b > 1 sind:
• Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der entsprechenden
Exponentialfunktion (also f(x) = b x ).
• Die Funktion besitzt den Definitionsbereich (0,∞) und den Wertebereich ⎟R.
• Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend und
damit umkehrbar.
• Die Funktion fällt für x → 0 „sehr schnell“ gegen -∞ und steigt für x → ∞ „sehr
langsam“ an, konvergiert aber nicht gegen eine reelle Zahl.
1.4.5 Hyperbelfunktionen:
Die Hyperbelfunktionen sind so benannt, weil sie in vielen Punkten Eigenschaften
aufweisen, die sich zur Hyperbel analog verhalten wie entsprechende Eigenschaften
der trigonometrischen Funktionen zum Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 um den
Nullpunkt).
Die Hyperbelfunktionen sind definiert:
• y = sinh x := 1 2 (e x - e -x ) (sinus hyperbolicus)
• y = cosh x := 1 2 (e x + e -x ) (cosinus hyperbolicus)
• y = tanh x := sinh x
cosh x
• y = coth x := cosh x
sinh x
Wichtige Eigenschaften:
e
=
e
− e
+ e
e
=
e
−
+ e
−
− e
x −x
x − x
x x
x x
(tangens hyperbolicus)
(cotangens hyperbolicus)
• Die Funktionen sinh, cosh und tanh besitzen den Definitionsbereich ⎟R und sind auf
dem gesamten Definitionsbereich stetig.
02.07.02, Seite 55