Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Inhaltsverzeichnis
Skript von Prof. Dr. Wolters
zur Vorlesung
Mathematik I
0. Grundlagen
0.1 Aussagen
0.2 Mengen
0.3 Zahlenbereiche, Grundrechenoperationen
0.4 Wurzeln, Potenzen, Logarithmen
0.5 Binomische Formeln
0.6 Gleichungen
0.7 Beträge, Intervalle, Ungleichungen
1. Funktionen
1.1 Begriff der Funktion, Darstellung von Funktionen
1.2 Eigenschaften von Funktionen
1.3 Algebraische Funktionen
1.4 Transzendente Funktionen
2. Vektorrechnung, analytische Geometrie
2.1 Koordinatensysteme
2.2 Grundlagen der Vektorrechnung
2.3 Vektorprodukte
2.4 Analytische Geometrie der Ebene
2.5 Analytische Geometrie des Raumes
3. Komplexe Zahlen
3.1 Arithmetische Form
3.2 Trigonometrische Form, Exponentialform
4. Differentialrechnung
4.1 Folgen, Grenzwerte, Ableitung einer Funktion
4.2 Differentiationsregeln, implizite Differentiation
4.3 Ableitungen elementarer Funktionen, logarithmische Ableitung,
Ableitungen höherer Ordnung
4.4 Mittelwertsätze, Regeln von Bernoulli-l'Hospital
4.5 Extrem- und Wendepunkte, Kurvendiskussion
4.6 Extremwertprobleme
4.7 Iterationsverfahren von Newton
5. Integralrechnung
5.1 Unbestimmtes Integral (Stammfunktionen), Grundintegrale, Grundregeln der Integration
5.2 Bestimmtes Integral (Riemann-Integral), Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
Uneigentliche Integrale
5.3 Integrationsmethoden
5.4 Flächeninhalte, Rotationskörper
02.07.02, Seite 1

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.1 Aussagen
Definition (Aussage): Eine Aussage ist ein sprachlich (schriftlich) fixierter Sachverhalt,
der entweder wahr oder falsch ist (binäre Logik). Ein wahre Aussage hat den
Wahrheitswert w, eine falsche Aussage hat den Wahrheitswert f.
Eine Aussage kann also nicht zugleich wahr und falsch und nicht zugleich weder wahr
noch falsch sein.
Beispiele: „13 ist eine Primzahl“ w
„9 ist das Produkt von 3 und 4“ f
„Ich rede häufig Unsinn“ keine Aussage, da
Wahrheitswert nicht feststellbar
Definition (Negation): Die Negation einer Aussage A ist die Verneinung der
Aussage, d. h. die Aussage „nicht A“ (¬A).
Die Negation einer Aussage ist genau dann wahr, wenn die Aussage falsch ist.
Beispiele: A: „Die Zahl 91 ist eine Primzahl“ f
¬A: „Die Zahl 91 ist keine Primzahl“ w
Durch eine Wahrheitswerttabelle wird der Zusammenhang zwischen den
Wahrheitswerten einer Aussage und ihrer Negation dargestellt:
Α ¬Α
w f
f w
Definition (Konjunktion): Eine Konjunktion (Verbindung) zweier Aussagen A und B
ist die Aussage „A und B“. Die Konjunktion der Aussagen A und B wird geschrieben A ∧
B.
Die Konjunktion zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr
sind. Die Konjunktion zweier Aussagen ist genau dann falsch, wenn mindestens eine
der beiden Aussagen falsch ist.
Darstellung durch Wahrheitswerttabelle:
Α Β Α ∧ Β
w w w
w f f
f w f
f f f
02.07.02, Seite 2

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Beispiel: A: „3 ist eine Primzahl.“ w
B: „8 ist eine gerade Zahl.“ w
C: „15 ist eine Quadratzahl.“ f
D: „-6 ist eine natürliche Zahl.“ f
A ∧ B: „3 ist eine Primzahl, und 8 ist eine gerade Zahl.“ w
A ∧ C: „3 ist eine Primzahl, und 15 ist eine Quadratzahl.“ f
D ∧ B: „-6 ist eine natürliche Zahl, und 8 ist eine gerade Zahl.“ f
C ∧ D: „15 ist eine Quadratzahl, und -6 ist eine natürliche Zahl.“ f
Definition (Disjunktion): Eine Disjunktion (Trennung) zweier Aussagen A und B ist
die Aussage „A oder B“. Die Disjunktion der Aussagen A und B wird geschrieben A ∨ B.
Die Disjunktion zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der
beiden Aussagen wahr ist. Die Disjunktion zweier Aussagen ist genau dann falsch,
wenn beide Aussagen falsch sind. Das Wort „oder“ wird also bei der Disjunktion im nicht
ausschließenden Sinn gebraucht (also nicht im Sinne von „entweder ... oder“ !!!).
Α Β Α ∨ Β
w w w
w f w
f w w
f f f
Beispiel: A, B, C, D seien die Aussagen aus dem letzten Beispiel.
A ∨ B: „3 ist eine Primzahl, oder 8 ist eine gerade Zahl.“ w
A ∨ C: „3 ist eine Primzahl, oder 15 ist eine Quadratzahl.“ w
D ∨ B: „-6 ist eine natürliche Zahl, oder 8 ist eine gerade Zahl.“ w
C ∨ D: „15 ist eine Quadratzahl, oder -6 ist eine natürliche Zahl.“ f
Definition (Implikation): Die Implikation (Verflechtung) aus zwei Aussagen A und B
ist die Aussage „wenn A wahr ist, ist auch B wahr“. Diese Implikation wird geschrieben
A ⇒ B (oder B ⇐ A).
Die Aussage A heißt Voraussetzung oder Prämisse, die Aussage B heißt Schluß,
Folgerung oder Konklusion. Für A ⇒ B sagt man häufig: „aus A folgt B“.
Die allgemeine Form eines mathematischen Satzes ist die Implikation A ⇒ B.
Warnung: Wenn A ⇒ B wahr ist, ist nicht unbedingt auch B ⇒ A wahr!!!
Beispiel: A: „Das Viereck ist ein Quadrat.“
B: „Das Viereck ist ein Rechteck.“
C: „Am Himmel sind Wolken.“
D: „Es regnet.“
A ⇒ B: „Jedes Quadrat ist ein Rechteck.“ w
B ⇒ A: „Jedes Rechteck ist ein Quadrat.“ f
C ⇒ D: „Wenn am Himmel Wolken sind, regnet es.“ f
02.07.02, Seite 3

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
D ⇒ C: „Wenn es regnet, sind Wolken am Himmel.“ w
A ⇒ B ist genau dann wahr, wenn ¬B ⇒ ¬A. A ⇒ B und ¬B ⇒ ¬A besitzen also den
gleichen Wahrheitswert.
Definition (Kontraposition): ¬B ⇒ ¬A ist die Kontraposition von A ⇒ B.
Beispiel: A, B, C, D seien die Aussagen aus dem letzten Beispiel.
¬B ⇒ ¬A „Ein Viereck, das kein Rechteck ist, ist kein Quadrat.“ w
¬C ⇒ ¬D „Wenn keine Wolken am Himmel sind, regnet es nicht.“ w
Definition (Notwendige und hinreichende Bedingung): In der Implikation A ⇒ B ist
a) A eine hinreichende Bedingung für B und
b) B eine notwendige Bedingung für A.
Das heißt:
a) Immer wenn A wahr ist, ist auch B wahr. Daß A wahr ist, ist also bereits hinreichend
dafür, daß B wahr ist.
(B kann aber auch durchaus wahr sein, ohne daß deshalb A wahr ist.)
b) Wenn A wahr ist, kann B nicht falsch sein. Daß B wahr ist, ist also notwendig dafür,
daß A wahr ist.
Beispiel:
hinreichende Bedingung:
Wenn man wissen will, ob ein bestimmtes Viereck ein Rechteck ist, ist es
hinreichend zu wissen, daß das Viereck ein Quadrat ist.
notwendige Bedingung:
Wenn man weiß, daß ein bestimmtes Viereck kein Rechteck ist, weiß man
damit auch schon, daß das Viereck kein Quadrat ist. Denn notwendig dafür,
daß das Viereck ein Quadrat ist, ist zunächst einmal, daß es ein Rechteck ist.
Definition (Äquivalenz): Die Äquivalenz (Gleichwertigkeit) der Aussagen A und B ist
die Aussage „A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist“. Diese Äquivalenz wird
geschrieben A ⇔ B.
Die Äquivalent zweier Aussagen ist genau dann wahr, wenn die Aussagen entweder
beide wahr oder beide falsch sind. Daraus ergibt sich folgende Wahrheitswerttabelle:
Α Β Α ⇔ Β
w w w
w f f
f w f
f f w
Zu A ⇔ B sagt man auch: A ist dann und nur dann wahr, wenn B wahr.
Aus A folgt B und umgekehrt.
A ist notwendig und hinreichend für B.
Die Aussagen A und B sind gleichwertig.
02.07.02, Seite 4

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Falls A ⇔ B, gilt A ⇒ B und B ⇒ A (und umgekehrt).
Beispiel: A: „Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar“
B: „Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist durch 3 teilbar“
A ⇔ B: „Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn
ihre Quersumme durch 3 teilbar ist“ w
Definition (Aussagenform): Steht in einer Aussage A statt einer Konstanten eine
Variable x, so spricht man von einer Aussagenform A(x).
Wenn die Variable x in der Aussagenform durch konkrete Objekte (z.B. Zahlen) ersetzt
wird, entsteht eine Aussage, von der - jedenfalls im Prinzip - feststeht, ob sie wahr oder
falsch ist.
Beispiele: „x ist eine Primzahl“ f, für x = 9
w, für x = 11
„Im Jahr x gibt es das y-Liter-Auto“ f, für x = 1995 und y = 2
w, für x = 1993 und y = 5
„x 2 > 25“ w, für x > 5 und x < -5
Definition (Quantoren): Für die Aussagenform A(x) bedeuten:
∀ x : A(x) : für alle x ist A(x) wahr
∃ x : A(x) : es gibt (mindestens) ein x, so daß A(x) wahr ist
Die Symbole ∀,∃ heißen Quantoren.
02.07.02, Seite 5

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.2 Mengen
Definition (Menge): Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten,
wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte sind Elemente der
Menge („naiver“ Mengenbegriff nach Cantor, 1845 - 1918).
Gegeben sei eine Aussage A(x). Alle Objekte x, die diese Aussagenform zu einer
wahren Aussage machen, bilden eine Menge und sind deren Elemente. Diese Menge
ist die Lösungsmenge von A(x).
Die Elemente einer Menge werden innerhalb geschweifter Klammern beschrieben.
M = { a, b, c, d } „M ist die Menge mit den Elementen a, b, c, d“
M = { x | A(x) } „M ist die Menge aller x, für die die Aussage A(x) wahr ist.“
Beispiele: Die Menge aller Primzahlen zwischen 1 und 10 läßt sich beschreiben durch:
M = { x | x ist eine Primzahl zwischen 1 und 10} oder
M = { x | x ist Primzahl ∧ 1 ≤ x ≤ 10 } oder
M = { 2, 3, 5, 7 }
Die Menge aller ganzen Zahlen läßt sich beschreiben durch:
M = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . . }
Sei L = { x | 2x - 6 = 0 }.
L ist also die Lösungsmenge der Gleichung 2x - 6 = 0. Also gilt: L = { 3 }
Es gibt also endliche Mengen (Mengen mit endlich vielen Elementen) und unendliche
Mengen (Mengen mit unendlich vielen Elementen).
Definition (leere Menge): Eine Menge ohne Elemente heißt leere Menge und wird
dargestellt durch ∅.
Definition (Element):
a ∈ M bedeutet: a ist ein Element der Menge M (a gehört zur Menge M).
a ∉ M bedeutet: a ist kein Element der Menge M (a gehört nicht zur Menge M).
Beispiele: d ∈ { a, b, c, d, e, f } 9 ∉ { x | x ist Primzahl ∧ 1 ≤ x ≤ 10 }
Definition (gleiche Mengen): Zwei Mengen M und N heißen gleich, wenn jedes
Element von M auch Element von N ist und umgekehrt jedes Element von N auch
Element von M ist. Schreibweise für Gleichheit der Mengen M und N: M = N
Es gilt: ( a ∈ M ⇔ a ∈ N ) ⇔ ( M = N )
02.07.02, Seite 6

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Achtung: Die gleiche Anzahl von Elementen ist eine notwendige, nicht aber
hinreichende Bedingung für die Gleichheit von Mengen.
Beispiel: M := { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl }
N := { x | x ist eine ganze Zahl, deren Quersumme durch 3 teilbar ist}
Es gilt: M = N
Definition (Teilmenge): Eine Menge M heißt Teilmenge (Untermenge) der Menge N
genau dann, wenn jedes Element von M auch Element von N ist. Schreibweise: M ⊂ N.
Wenn M Teilmenge von N ist, heißt N Obermenge von M.
Es gilt: ( a ∈ M ⇒ a ∈ N ) ⇔ ( M ⊂ N )
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge, und jede Menge ist Teilmenge von
sich selbst. Für jede Menge M gelten also:
∅ ⊂ M und
M ⊂ M.
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { a, b, c }
⇒ N ⊂ M
P := { x | x ist ein Parallelogramm } Q := { x | x ist ein Quadrat }
⇒ Q ⊂ P
Definition (Vereinigungsmenge): Die Vereinigung der Mengen M und N ist die
Menge P derjenigen Elemente, die Element von M oder Element von N sind.
Schreibweise: P = M ∪ N. P wird auch die Vereinigungsmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∨ a ∈ N ) ⇔ ( a ∈ M ∪ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h }
⇒ M ∪ N = { a , b, c, d, e, f, g, h }
P := { x | x ist ein Dreieck } Q := { x | x ist ein Viereck }
⇒ P ∪ Q = { x | x ist ein Dreieck ∨ x ist ein Viereck }
Definition (Schnittmenge): Der Durchschnitt der Mengen M und N ist die Menge P
derjenigen Elemente, die sowohl Element von M als auch Element von N sind.
Schreibweise: P = M ∩ N. P wird auch die Durchschnittsmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∧ a ∈ N ) ⇔ ( a ∈ M ∩ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h } ⇒ M ∩ N = { e, f }
P := { x | x ist ein Dreieck } Q := { x | x ist ein Viereck }
⇒ P ∩ Q = { x | x ist ein Dreieck ∧ x ist ein Viereck } = ∅
02.07.02, Seite 7

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Definition (Differenzmenge): Die Differenz der Mengen M und N ist die Menge P
derjenigen Elemente, die Element von M, aber nicht Element von N sind. Schreibweise:
P = M \ N. P wird auch die Differenzmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ M \ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h } ⇒ M \ N = { a , b, c, d }
P := { x | x ist durch 3 teilbar } Q := { x | x ist gerade }
⇒ P \ Q = { x | x durch 3 teilbar ∧ x ist ungerade }
Definition (Komplement): Falls N ⊂ M, heißt P = M \ N auch Komplement von N in
Bezug auf M. Schreibweise: P = ¬N M .
Es gilt: ( N ⊂ M ∧ a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ ¬N M )
Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Parallelogramm }
⇒ ¬P Q = { x | x ist ein nichtrechtwinkliges Parallelogramm }
Definition (disjunkte Mengen): Die Mengen M und N heißen disjunkt, wenn
M ∩ N = ∅.
Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Dreieck}
⇒ P und Q sind disjunkt, da es keine Vierecke gibt, die zugleich
Dreieck sind.
Definition (kartesisches Produkt): M und N seien Mengen. Die Menge P aller Paare
(m,n) mit m ∈ M und n ∈ N (also P := { (m,n) | m ∈ M, n ∈ N } heißt kartesisches
Produkt oder kartesische Produktmenge der Mengen M und N.
Schreibweise: P = M × N.
Es gilt: ( m ∈ M ∧ n ∈ N ) ⇔ ( (m,n) ∈ M × N )
Achtung: Im allgemeinen gilt nicht: M × N = N × M
Beispiele: M := { K, W } (für Kopf und Wappen beim Münzwurf)
⇒ M × M = { (K,K), (K,W), (W,K), (W,W) }
(die Menge aller möglichen Ergebnisse bei einem
zweimaligen Münzwurf)
N := { n | n ist eine natürliche Zahl ∧ n ≥ 5 } V := { + , − }
⇒ V × N = { (+,5), (−,5), (+,6), (−,6), (+,7), (−,7), ...}
02.07.02, Seite 8

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Bemerkung: Man kann die definierten Verknüpfungen und Operationen für Mengen
natürlich wiederholt anwenden. Es gelten folgende Regeln:
Kommutativgesetze: M 1 ∩ M 2 = M 2 ∩ M 1
M 1 ∪ M 2 = M 2 ∪ M 1
Assoziativgesetze: (M 1 ∩ M 2 ) ∩ M 3 = M 1 ∩ (M 2 ∩ M 3 )
(M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 = M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 )
Distributivgesetze: M 1 ∪ (M 2 ∩ M 3 ) = (M 1 ∪ M 2 ) ∩ (M 1 ∪ M 3 )
M 1 ∩ (M 2 ∪ M 3 ) = (M 1 ∩ M 2 ) ∪ (M 1 ∩ M 3 )
de Morgan-Regeln: ¬(M 1 ∪ M 2 ) = ¬M 1 ∩ ¬M 2
¬(M 1 ∩ M 2 ) = ¬M 1 ∪ ¬M 2
02.07.02, Seite 9

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.3 Zahlenbereiche, Grundrechenoperationen
Definition (natürliche Zahlen): ⎟Ν:= { 1, 2, 3, 4, 5, ...} ist die Menge der natürlichen
Zahlen. ⎟Ν 0 := ⎟Ν ∪ { 0 }.
Definition (ganze Zahlen): ⎟Ζ:= { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...} ist die Menge der ganzen
Zahlen.
Definition (rationale Zahlen): ⎟Q := { z | ∃ a ∈ ⎟Ζ ∧ b ∈ ⎟Ν , so daß z = a
b } ist die
Menge der rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen sind entweder endliche Dezimalbrüche wie - 7
1 = -7, 27
6 = 4 3
6 = 4 1
2 = 4,5
oder 9
4 = 2,25 oder unendliche periodische Dezimalbrüche wie 1
3 = 0,333..., 8
33 =
0,242424... oder 29
22 = 1,31818181818...
In ⎟Ν sind Addition, Multiplikation und Potenzieren, in ⎟Ζ zusätzlich Subtrahieren und in
⎟Q zusätzlich Dividieren unbeschränkt erlaubt.
Ausnahme: Die Division durch 0 ist grundsätzlich verboten.
Es gilt: ⎟Ν ⊂ ⎟Ν 0 ⊂ ⎟Ζ ⊂ ⎟Q
Man kann beweisen, daß es auch Zahlen gibt, die nichtrational sind (z.B. 2 ). Also
macht es Sinn, die Definition von ⎟Q zu erweitern:
Definition (reelle Zahlen): ⎟R := { z | z ist ein Dezimalbruch } ist die Menge der reellen
Zahlen. Die Menge der nichtrationalen reellen Zahlen (⎟R \ ⎟Q) ist die Menge der
irrationalen Zahlen.
Beispiele für irrationale Zahlen: 2 , π, e.
wichtige Eigenschaften der reellen Zahlen:
• Alle reellen Zahlen lassen sich in eineindeutiger Weise als Punkte auf der
Zahlengeraden abbilden und bedecken die Zahlengerade lückenlos.
• Auf der Menge der reellen Zahlen gibt es eine Ordnungsrelation:
Für je zwei Zahlen a, b ∈ ⎟R gilt: Entweder a < b oder a = b oder a > b.
• Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten folgende Bezeichnungen und Regeln
(Axiomensystem für R) für w, x, y, z ∈ ⎟R:
02.07.02, Seite 10

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Addition:
In der Gleichung x + y = z sind x und y die Summanden, z ist die
Summe.
Rechenregeln:
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z (Assoziativität)
x + y = y + x (Kommutativität)
x + 0 = 0 + x = x
x + (-x) = (-x) + x = 0
Multiplikation/Division:
In der Gleichung x ⋅ y = z sind x und y die Faktoren, z ist das
Produkt.
In der Gleichung x : y = z ist x der Dividend, y der Divisor, z der
Quotient.
Die gleiche Bedeutung wie x ⋅ y bzw. x : y haben die Schreibweisen xy
bzw. x
y .
Rechenregeln (alle Divisoren bzw. Nenner seien ≠ 0):
( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) (Assoziativität)
x ⋅ y = y ⋅ x (Kommutativität)
x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x
x ⋅ 1 x
x
y
x
y
=
1
x ⋅ x = 1
=
=
x w
⋅ =
y z
x
y
w
z
=
x ⋅ z
y ⋅ z
x
z
y
z
x ⋅ w
y ⋅ z
x ⋅ z
y ⋅ w
(Erweitern)
(Kürzen)
(Multiplikation von Brüchen)
(Division von Brüchen)
Es gelten folgende Äquivalenzen:
x ⋅ y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0
x
= 0
y
⇔ x = 0 (für y ≠ 0)
w
x
= y
z
⇔ w z = y x (für x, z ≠ 0)
Distributivgesetz x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z
x + y
z
=
x y
+
z z
Ordnungseigenschaften
x ≤ y ∨ y ≤ x
(für z ≠ 0)
02.07.02, Seite 11

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
x ≤ x
x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y
x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z
x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ x ⋅ z ≤ y ⋅ z
Definition (Summenzeichen):
Seien m, n ∈ ⎟Ζ, m ≤ n und x i ∈ ⎟R ∀ i ∈ { m, m+1, m+2, ... , n }. Dann ist
n
xi i= m
∑ := xm + xm+1 + xm+2 + . . . +. xn
die Summe aller Zahlen xi für i = m bis n. i ist der Summationsindex, m die untere, n
die obere Summationsgrenze.
4
Beispiel: ∑ ( 2i + 1)
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
i=
0
Wichtige Rechenregeln: ∑ ( xi + yi
) = ∑ xi + ∑ yi n
i= m
n
∑ ( rxi ) = r∑ xi i= m
n
∑ 1
r
i=
m
∑
n
∑ xij i=
1 j=
1
= n⋅r
( )
i= m
n
i= m
n
n
∑
m
∑ xij j=
1 i=
1
= ( )
n
i= m
m n
∑∑ i=
1 j=
1
= x ij
Im Fall m=n schreibt man häufig nur ein Summenzeichen für beide Indizes:
m
∑ xij i, j = 1
m n
∑∑ i=
1 j=
1
= x ij
Achtung: Im allgemeinen ist: ∑ ( xi ⋅ yi
) ≠ ∑ xi ⋅∑ yi n
i= m
Definition (Produktzeichen): Seien m, n ∈ ⎟Ζ, m ≤ n und x ∈ ⎟R ∀ i ∈ { m, m+1, m+2,
i
... , n }. Dann ist
n
xi i= m
n
i= m
n
i= m
∏ := x m ⋅ x m+1 ⋅ x m+2 ⋅ . . . ⋅. x n
das Produkt aller Zahlen x i für i = m bis n. i ist der Multiplikationsindex, m die untere,
02.07.02, Seite 12

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
n die obere Multiplikationsgrenze.
n
∏
i=
1
n
∏
i = 1
n
∏
i = 1
Wichtige Rechenregeln: ( x ⋅ y )
i i
( rx )
r
i
n
∏
i=
1
n
∏
i=
1
n
∏
i=
1
= xi ⋅ yi = r n x i
= r n
Definition (Fakultät): Sei n ∈ ⎟Ν. Dann heißt
n
∏
i=
1
n! := i
Insbesondere definiert man: 0! := 1.
( = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ n ) n-Fakultät.
02.07.02, Seite 13

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
Definition (Potenz): Ein Produkt von n ∈ ⎟Ν gleichen Faktoren a ∈ ⎟R ist die n-te
Potenz von a. Schreibweise:
a ist die Basis, n ist der Exponent.
Wichtige Rechenregeln: a 1
a n
(a ⋅ b) n
( a
b )n
a n ⋅ a m
(a n ) m
n
∏
i=
1
:= a
= a
= a n
⋅ b n
n
a
=
n
b
= a n+m
= a n⋅m
Beispiele: (-1,5) 3 = (-1,5) ⋅ (-1,5) ⋅ (-1,5) = -3,375
(5 ⋅ b) 2
= 25 ⋅ b 2
(4 cm) 3
= 64 cm 3
a 3 ⋅ a 5 = a 8
(a 4 ) 2
= a 8
Wenn man als Exponent auch ganze Zahlen zuläßt, behalten bei folgender Definition
obige Rechenregeln ihre Gültigkeit:
Definition (Potenz mit negativem Exponenten): Für n ∈ ⎟Ν und a ∈ ⎟R \ { 0 } ist:
a -n
:=
1
Durch Anwendung obiger Rechenregeln ergibt sich dann:
Beispiele:
3
3
3
5 ⋅5
a n
n
a
m = a
a
n-m
6 = 3 -3
2 7
5
10
(x ⋅ y) -3
10 -2 ⋅ 10 -4
(10 -2 ) -3
=
1
27
= 5 2+7-10 = 5 -1
=
1 3
( x ⋅ y)
= 10 -6
= 10 6
=
=
= 1 5
1
x ⋅ y
3 3
= 0,2
= x -3 ⋅ y -3
1
1. 000.000 = 0,000001
02.07.02, Seite 14

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Da insbesondere ∀ n ∈ ⎟Ν und ∀ a ∈ ⎟R \ { 0 } gilt :
1 = a
a
n
n = an-n ...=...a 0
, macht folgende Definition Sinn:
Definition (Potenzierung mit 0): ∀ a ∈ ⎟R \ { 0 } gilt: a 0 := 1
Achtung: 0 0 ist also nicht definiert.
Zahlen von sehr unterschiedlicher Größenordnung schreibt man wegen der dann
besseren Übersichtlichkeit häufig in Form von Zehnerpotenzen.
Beispiele: 3.752.000 = 3,752 ⋅ 10 6 = 0,3752 ⋅ 10 7
0,000000123 = 1,23 ⋅ 10 -7
= 0,123 ⋅ 10 -6
Diese Darstellung ist die Gleitpunktdarstellung.
Zur Wurzelrechnung kommt man durch Erweitern der Potenzierung auf rationale
Zahlen:
Definition (Wurzel): Für n ∈ ⎟Ν und a ∈ ⎟R ist die n-te Wurzel aus a diejenige Zahl b,
so dass gilt:
b n = a.
a ist der Radikand, n der Wurzelexponent.
Das heißt also mit anderen Worten:
Die Auflösung der Gleichung b n
= a nach b führt zum Wurzelziehen.
Durch Umformen entsprechend den obigen Regeln läßt sich die Gleichung nach b
auflösen:
b = ( b )
n 1
n
= a 1/n
. Andere Schreibweise: a n
1
2
Falls n = 2, wird in der Regel vereinfachend a statt a
n
= a
geschrieben.
Bemerkung: Für a < 0 und gerade n gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung b =
a n
1
(z.B. gibt es für x = −1 keine reelle Lösung). Dieses Problem führt auf die
komplexen Zahlen, die zu späterem Zeitpunkt noch ausführlich behandelt werden.
Damit es für alle a > 0 eine eindeutige Lösung der Gleichung b = a n
1
gibt, wird
vereinbart, dass für gerade n der Wert der Wurzel a n
1
immer positiv ist.
(Denn für gerade n ist auch -b eine Lösung der Gleichung b = a n
1
).
Aus den nun bekannten Regeln für Potenzen und Wurzeln läßt sich als logische
Konsequenz nun die Potenzierung mit rationalen Exponenten ableiten:
Definition (Potenz mit rationalem Exponenten): Seien q ∈ ⎟Q mit q = n
m für m ∈ ⎟Ν
.
02.07.02, Seite 15

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
und n ∈ ⎟Z und a ∈ ⎟R. Dann ist:
a q = a n
m m n
:= a .
Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen gelten natürlich in gleicher Weise für das
Rechnen mit Wurzeln.
Es ist aber stets zu beachten, daß es nicht für alle a, r ∈ ⎟R reelle Lösungen der
Gleichung b = a r gibt (z.B. nicht für a = -1 und r = 1
2 ).
Allgemein gilt: Seien m ∈ ⎟Ν, n ∈ ⎟Z \ { 0 }, n und m teilerfremd, a ∈ ⎟R :
1. Fall: Nenner des Exponenten n
m gerade:
Es gibt eine reelle Lösung der Gleichung a n
m genau dann, wenn a ≥ 0.
(z. B. gibt es für − 3 5
2 keine reelle Lösung.)
2. Fall: Nenner des Exponenten n m ungerade:
Es gibt für a immer eine eindeutige Lösung der Gleichung a n
m .
Beispiele: 9 5
2 = (9 1
2 ) 5 = 3 5
9 5
1
2 5 2 = (9 ) = 59049 = 243
3 1
1 2 ( 5)
=
5 3 ≈ 0,089
2
1
( 5)
3
2
− = 1
( )
1
5
3
2
3 a b
a
b ⋅ a = 6 6 b
2
b a
2
= 243
= 5 3
2 = 5 ⋅ 5 ≈ 11,18
3
⋅ 3 =
2 3
6
2 3 =
a b
b a
Schließlich kann man durch Verallgemeinerung des folgenden Beispiels das
Potenzieren auf reelle Exponenten erweitern: Reelle Zahlen lassen sich durch rationale
Zahlen beliebig genau annähern (approximieren). Deshalb kann man sich zum Beispiel
die Zahl 2 2 als den Wert vorstellen, der durch die Zahlen von 2 1
, 2 1,4
, 2 1,41
, 2 1,414
, 2 1,4142
. . .
immer mehr angenähert wird. Allerdings ist die Potenzierung negativer Zahlen mit
einem irrationalen Exponenten nicht definiert (z.B. − 1 2 ).
Eine mathematisch exakte Definition erfordert Begriffe wie Grenzwert und Stetigkeit, die
zu einem späteren Zeitpunkt eingeführt werden.
Definition (Logarithmus): Für a, b ∈ ⎟R, a > 0, b > 0, b ≠ 1 sei c diejenige Zahl, so
dass gilt:
b c = a. c ist der Logarithmus von a zur Basis b.
a ist der Numerus.
Schreibweise bei Auflösung nach c:
c = log b a
6
b
a
02.07.02, Seite 16

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Das heißt also mit anderen Worten: Die Auflösung der Gleichung b c = a nach c führt
zum Logarithmieren. Der Logarithmus einer Zahl c ist also der Exponent, mit dem man
b potenzieren muß, um a zu erhalten.
Alle auf eine bestimmte Basis bezogenen Logarithmen bilden das Logarithmensystem
dieser Basis. Es gibt unendlich viele Systeme, da unendlich viele Zahlen als Basis
verwendet werden können. Allerdings eignet sich die Zahl 1 nicht als Basis, da alle
Potenzen von 1 gleich 1 sind (1 c = 1 ∀ c > 0). Der Logarithmus wäre nur für die Basis
überhaupt definiert. Ebenso ist die Zahl 0 als Basis unbrauchbar. Bei negativen Basen
kann man nicht für jede Zahl eine reelle Lösung für den Logarithmus finden (z.B.: -2 x =
8 und -2 x = -4 nicht lösbar für x ∈ ⎟R).
Für b > 0 und a ≤ 0 hat die Gleichung b c
= a grundsätzlich keine reelle Lösung.
Deshalb gilt: Der Logarithmus ist nur für positiven Numerus und positive Basis („
1) definiert.
Wichtige Rechenregeln (Logarithmengesetze):
log b 1 = 0
log b b = 1
log b (u ⋅ v) = log b u + log b v
log b ( u
v ) = log b u - log b v
log b ( 1
u ) = -log b u
log b (u v ) = v ⋅ log b u
log b
n
u
=
1
n ⋅ log u b
Besondere praktische Bedeutung haben die Logarithmen der Basis 10 und Basis e:
Logarithmen mit Basis 10 heißen dekadische Logarithmen und werden ohne
ausdrückliche Basisangabe mit log oder lg bezeichnet.
Also: lg a := log 10 a.
Beispiele: lg 10 = 1
lg 100 = 2
lg 1000 = 3
lg 0,1 = -1
lg 0.01 = -2
lg 0,001 = -3
Aus 3.752.000 = 0,3752 ⋅ 10 7
ergibt sich:
lg 3.752.000 = lg (0,3752 ⋅ 10 7 ) = lg 0,3752 + lg 10 7
= lg 0,3752 + 7 ⋅ lg 10 = lg 0,3752 + 7
= -0,42573... + 7 = 6,57426...
02.07.02, Seite 17

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Allgemein gilt: Jede Zahl r ∈ ⎟R, r > 0 läßt sich eindeutig darstellen in der Form
r = m ⋅ 10 k
lg m heißt Mantisse, k heißt Kennziffer.
mit 0 < m ≤ 1, k ∈ ⎟N 0
Reelle Zahlen, die sich nur in der Kommadarstellung unterscheiden, haben gleiche
Mantissen und verschiedene Kennziffern. Vor der Zeit der Taschenrechner bzw.
Computer wurden die Mantissen in Logarithmentafeln aufgelistet und den positiven
reellen Zahlen zwischen 0 und 1 zugeordnet. Die Logarithmentafeln erleichterten dem
geübten Anwender die schnelle Durchführung von ansonsten aufwendigen schriftlichen
Berechnungen (z. B. Multiplikationen).
Logarithmen mit Basis e (= 2,718281... - Eulersche Zahl nach Leonhard Euler, 1707 -
1783) heißen natürliche Logarithmen (logarithmus naturalis) und werden ohne
ausdrückliche Basisangabe mit ln bezeichnet. e ist eine irrationale Zahl und eine der
wichtigsten Konstanten in der Mathematik.
Auf die Bedeutung von e wird an anderer Stelle noch näher eingegangen.
Also: ln a := loge a.
Beispiel: Durch Logarithmieren der Gleichung: 25,31 x = 30,16 ergibt sich:
ln 30, 15
x ⋅ ln 25,31 = ln 30,15 ⇒ x = ≈ 1,054
ln 25, 31
Die Logarithmen zweier Basen sind proportional zueinander. Es gilt:
log x = a log
log
b
b
x
a
Beweis: Es sei: y := log x. Also: a a y = x. Dann:log x = log a b b y = y log a b
= (log x) ⋅ (log a) ⇒ log x = a b a log b x
log b a
Beispiele: log a = 5 ln a
= 0,62133... ⋅ ln a
ln 5
lg a
ln a = = 2,30258... ⋅ lg a
lg e
lg a = ln a
= 0,43429... ⋅ ln a
ln 10
02.07.02, Seite 18

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.5 Binomische Formeln
Definition (Binom):
Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a + b oder a - b.
Sehr häufig werden folgende binomische Formeln verwendet:
erste binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
zweite binomische Formel: (a - b) 2 = a 2 - 2 a b + b 2
dritte binomische Formel (a + b) (a - b) = a 2 - b 2
Diese Formel läßt sich verallgemeinern für (a + b) n , wobei n ∈ ⎟Ν:
(a + b) 0 = 1
(a + b) 1 = a + b
(a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4
. . .
Folgende Gesetzmäßigkeit ist offenbar erkennbar: Die Potenzen von a erscheinen von
links nach rechts in den Summanden in der Reihenfolge
a n , a n-1 , . . . , a 1 , a 0 , die Potenzen von b in der Reihenfolgeb 0 , b 1 , . . . , b n-1 , b n .
Man erkennt, daß die Summe der Exponenten in einem Summanden immer gleich n ist.
Eine Gesetzmäßigkeit für die Koeffizienten läßt sich erkennen, wenn man diese in Form
des folgenden Dreiecks aufschreibt:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . .
Also: Am linken und rechten Rand steht in jeder Zeile die Zahl 1. Jeder andere
Koeffizient ist die Summe der beiden schräg über ihm stehenden Koeffizienten (z.B. 1 +
2 = 3, 3 + 3 = 6 usw.). Das obige Dreieck heißt Pascalsches Dreieck (Blaise Pascal,
1623 - 1662).
Die Koeffizienten einer aufgelösten Binompotenz lassen sich auch direkt durch eine
Formel angeben. Für den Koeffizienten n k des (k+1)-ten Summanden der Lösung
02.07.02, Seite 19

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
von (a + b) n gilt:
nk
Durch Kürzen ergibt sich: nk
=
n!
, wobei k, n ∈ ⎟Ν , k ≤ n und 0! := 1.
0 k! ⋅ ( n − k)!
=
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅... ⋅( n − k + 1)
2 ⋅ 3⋅ 4⋅...
⋅k
Definition (Binomialkoeffizient): (Erinnerung an letztes Kapitel: 0! := 1.)
Die natürlichen Zahlen
⎛n
⎜
⎝k
⎞
n!
⎟ : = nk = heißen für k, n ∈ ⎟Ν mit k ≤ n Binomialkoeffizienten.
0 ⎠ k! ⋅ ( n − k)!
Rechenregeln ∀ k, n ∈ ⎟Ν 0 mit k ≤ n:
Beispiele:
⎛n
⎜
⎝0
⎞
⎟ = 1
⎠
⎛n
⎜
⎝k
⎞
⎟ =
⎠
⎛n
⎜
⎝k
⎞ ⎛ n ⎞
⎟ + ⎜ ⎟
⎠ ⎝k
+ 1⎠
⎛7
⎜
⎝2
⎞
⎟ =
⎠
7 ⎛
⎜
⎝5
⎞
⎟ = 21
⎠
⎛n
⎜
⎝1
⎞
⎟ = n
⎠
⎛
⎜
⎝
n
n − k
= n ⎛ + 1⎞
⎜ ⎟
⎝k
+ 1⎠
⎛n
⎜
⎝n
⎞
⎟ = 1
⎠
⎞
⎟ (Symmetrieeigenschaft)
⎠
(Summeneigenschaft)
⎛3
⎜
⎝1
⎞
⎟ +
⎠
3 ⎛
⎜
⎝2
⎞
⎟ =
⎠
4 ⎛
⎜
⎝2
⎞
⎟ = 6
⎠
Bemerkung: n ⎛
⎜
⎝k
⎞
⎟ ist eine wichtige Größe in der Kombinatorik. Die Zahl gibt die Anzahl
⎠
der verschiedenen k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an.
Beispiel: Es gibt 49 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ (= 13.983.816) verschiedene Möglichkeiten, eine 6-elementige
⎝ 6 ⎠
Teilmenge aus der Menge { 1, 2, 3, . . ., 49 } zu bilden (Lotto 6 aus 49).
Aus den vorherigen Überlegungen ergibt sich nun der Allgemeiner binomischer Satz:
Für a, b ∈ ⎟R, n ∈ ⎟Ν gilt:
(a + b) n n ⎛n
n k k
= ⎜ a b
⎝k
⎞ −
⎟ ⋅ ⋅
⎠
∑ 0
k =
02.07.02, Seite 20

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.6 Gleichungen
Definition (Term): Ein Term ist eine aus Buchstaben, Zahlen und Rechen- und
Sonderzeichen gebildete mathematisch wohldefinierte (sinnvolle) Zeichenfolge.
Beispiele: Terme sind: a 2 + b 2 - 5
kein Term ist: x : ( 2 a
x
x 2 + 1
2 5
2
−
p q
Definition (Variable): Ein Variable ist ein Zeichen, das stellvertretend für ein beliebiges
Element einer definierten Menge steht und verschiedene Werte aus der Menge
annehmen kann.
Häufig werden Variable mit den letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnet.
Definition (Konstante): Ein Konstante ist ein Zeichen, das stellvertretend für ein
beliebiges Element einer Menge steht und einen festen Wert aus dieser Menge
annimmt.
Einen Term mit einer Variable schreibt man oft T(x), einen Term mit zwei Variablen
T(x,y) usw..
Beispiele: T(x) := 2x 2 + 3ax + 27 T(x;y) := 2x 2 + 3xy + 27
Definition (Gleichung): Eine Gleichung ist die Verbindung von zwei Termen T1 und T2
durch das Gleichheitszeichen: T1 = T2
Man unterscheidet:
Identische Gleichungen: Gleichung ist grundsätzlich gültig
Beispiel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Funktionsgleichungen: Durch Einsetzen eines Wertes in den einen Term wird
der andere Term errechnet.
Beispiel: y = 4x 2 - 6x + 1
Bestimmungsgleichungen: Die Gleichung ist nur für bestimmte Werte erfüllt,
die zu ermitteln sind.
Beispiel: x 3 - 5x = 6 - 2x 2
Im folgenden werden Bestimmungsgleichungen mit einer Variablen (Unbekannten)
betrachtet.
Eine Gleichung T1(x) = T2(x) ist eine Aussagenform, die je nach Wahl von x zu einer
wahren oder einer falschen Aussage führt.
02.07.02, Seite 21

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Definition (Lösung): Falls für x die Aussage T1(x) = T2(x) wahr ist, ist x eine Lösung
der Gleichung. Die Menge aller Lösungen ist die Lösungsmenge der Gleichung.
Beispiel: Gegeben sei die Gleichung: x 3 - 5 x = 6 - 2 x 2
Für x1 = -3, x2 = -1 und x3 = 2 ist die Aussage wahr.
Man kann beweisen, daß es keine weiteren Lösungen gibt.
Also ist { -3, -1, 2 } die Lösungsmenge.
Eine Gleichung mit einer Unbekannten wird am elegantesten gelöst, indem sie
schrittweise solange umgeformt wird, bis die Unbekannte isoliert auf einer Seite der
Gleichung steht. Bei jeder Umformung entsteht eine neue Gleichung.
Dieses Vorgehen ist jedoch keineswegs immer möglich.
Definition (äquivalente Umformungen): Zwei Gleichungen heißen äquivalent
zueinander, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Entsprechend heißen
Umformungen einer Gleichung, durch die ihre Lösungsmenge nicht geändert wird,
äquivalente Umformungen.
Beispiele äquivalenter Umformungen:
Addition (Subtraktion) des gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung
Multiplikation (Division) beider Seiten der Gleichung mit dem (durch den)
gleichen Term, falls dieser ungleich 0 ist.
Beispiel für eine im allgemeinen nichtäquivalente Umformung:
Quadrieren beider Seiten der Gleichung
konkretes Beispiel:
Die Gleichung x - 5 = 0 sei gegeben. Äquivalente Umformung: x = 5
äquivalente Umformung: x - 2 = 3
nichtäquivalente Umformung: (x - 2) 2 = x 2 - 4x + 4 = 9
äquivalente Umformung: x 2 - 4x - 5 = 0
Lösungsmenge dieser Gleichung: {-1, 5}
-1 ist aber keine Lösung der Gleichung x - 5 = 0
Definition (ganzrationale Gleichung): Die Darstellung einer Gleichung in der Form
x n + an-1x n-1 + . . . + a1x + a0 = 0 heißt Normalform der Gleichung n-ten Grades.
Gleichungen dieser Art sind ganzrationale Gleichungen.
Im folgenden Teil dieses Kapitels seien grundsätzlich alle Koeffizienten ai ∈ ⎟R.
02.07.02, Seite 22

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Eigenschaften von Gleichungen n-ten Grades:
• Hat eine Gleichung n-ten Grades die Lösungen x1, . . . , xn, dann läßt sich die
Gleichung in der Form
(x - x1) (x - x2) . . . (x - xn) = 0
darstellen. Diese Form ist die Produktdarstellung der Gleichung n-ten Grades.
Daraus folgt: Wenn eine Lösung x1 gefunden wurde, läßt sich die Gleichung in der
Form
(x - x1) (x n-1 + bn-2x n-2 + . . . + b1x + b0) = 0
schreiben. Für die reduzierte Gleichung (n-1)-ten Grades kann man dann wieder eine
Lösung bestimmen und als Faktor ausklammern usw.
Eine Lösung x i ist eine k-fache Lösung, wenn in der Produktdarstellung der Faktor
(x-xi) k-mal erscheint, sich also in der k-ten Potenz schreiben läßt: (x-xi) k . Für k > 1 ist
eine k-fache insbesondere eine mehrfache Lösung.
• Fundamentalsatz der Algebra: Eine Gleichung n-ten Grades hat genau n
Lösungen. Dabei können Lösungen mehrfach auftreten. Die Lösungen sind nicht
notwendig reelle Zahlen, sondern können komplexe Zahlen sein. (Beweis von Carl
Friedrich Gauss, 1777 - 1855). Die Lösungen einer Gleichung werden auch Wurzeln
genannt.
• Eine Gleichung n-ten Grades mit ungeradem n besitzt zumindest eine reelle Lösung.
• Lösung der linearen Gleichung (Gleichung 1. Grades) x + a0 = 0: x1 = -a0
• Lösungen der quadratischen Gleichung (Gleichung 2. Grades)
x 2 + px + q = 0 mit p, q ≠ 0:
p p
2 4
x1 = − + − q
2
p p
2 4
x2 = − − − q
Für Gleichungen 3. und 4. Grades kann man analoge Lösungsformeln wie für die
quadratische Gleichung herleiten. Für Lösungen 5. und höheren Grades gibt es solche
Formeln nicht. In solchen Fällen werden in der Regel Näherungsverfahren angewendet,
die beliebig genaue, jedoch keine analytisch exakten Lösungen liefern.
2
02.07.02, Seite 23

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Beispiel: Gegeben sei die Gleichung: x 3 - 2x 2 - 23 x + 60 = 0.
Es sei bereits bekannt, daß x1 = 3 eine Lösung ist.
Wie heißen die restlichen Lösungen?
Die Gleichung soll zunächst in die Form (x - 3) (x 2 + b1x + b0) = 0 überführt
werden. Also sind zunächst b0 und b1 zu bestimmen. Dazu wird eine sogenannte
Partialdivision (auch bekannt unter der Bezeichnung Polynomdivision)
durchgeführt:
x 3 - 2x 2 - 23 x + 60 : x - 3 = x 2 + x - 20
x 3 - 3x 2
⎯⎯⎯
x 2 - 23x + 60
x 2 - 3x
⎯⎯⎯⎯⎯
-20x + 60
-20x + 60
⎯⎯⎯⎯
0
Durch Abspaltung von x - 3 erhält die Gleichung also die Form:
(x - 3) (x 2 + x - 20) = 0.
Ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist. Also sei:
x 2 + x - 20 = 0
Aus obiger Formel ergeben sich für diese quadratische Gleichung die
Lösungen:
x2 = 4 und x3 = -5.
Also besitzt die Gleichung die Lösungsmenge { 3, 4, -5 }.
Definition (gebrochenrationale Gleichung): Eine Gleichung ist gebrochenrational,
wenn die Unbekannte im Nenner der in der Gleichung enthaltenen Brüche auftritt.
Beispiel:
12x
x + 1
2 - 2 =
x + x − 6 x − 2
Definition (irrationale Gleichung): Eine Gleichung ist irrational, wenn die
Unbekannte im Radikanden von Wurzeltermen auftritt.
Beispiel: 2x + 10 − 4x − 8 = 2
02.07.02, Seite 24

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Definition (algebraische Gleichung, transzendente Gleichung): Eine Gleichung
heißt algebraisch, wenn sie ganzrational, gebrochenrational oder irrational ist. Nicht
algebraische Gleichungen heißen transzendent.
Transzendente Gleichungen sind zum Beispiel:
• Exponentialgleichungen: z.B.: 5 x-1 = 2 x
• logarithmische Gleichungen: z.B.: 10 ln (2x) = 3
• trigonometrische Gleichungen: z.B.: 3 cos x = 1 - sin x
02.07.02, Seite 25

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.7 Beträge, Intervalle, Ungleichungen
Definition (Absolutbetrag): Der (absolute) Betrag (oder Absolutbetrag) einer Zahl a
∈ ⎟R ist die nichtnegative der beiden Zahlen a und -a. Schreibweise: | a |.
Es ist also:
⎧ a, falls a ≥ 0
| a | =⎨
⎩ -a, falls a < 0.
Es gilt ∀ a, b ∈ ⎟R :
• | a | ≥ 0
• | a | = 0 ⇔ a = 0
• | a | = | -a |
• | a - b | = | b - a |
• | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b |
• | a | a|
| = für b ≠ 0
b | b|
• | a + b | ≤ | a | + | b | (Dreiecksungleichung)
• | a | − | b | ≤ | a − b | ≤ | a | + | b |
Beispiel: T(x,y) := | 4x + 2y | - x - | y |. Dann ist:
Für T(3,-4) = | 12 - 8 | - 3 - | -4 | = 4 - 3 - 4 = -3
Für T(-5,5) = | -20 + 10 | + 5 - | 5 | = 10 + 5 - 5 = 10
Definition (Signum): Für a ∈ ⎟R ist:
⎧ 1 für a > 0
sgn a := ⎨ 0 für a = 0
sgn a ist das Signum von a.
⎩ -1 für a < 0.
Also gilt: sgn a = a
| a|
für a ≠ 0.
Definition (Intervall): Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge der Menge
der reellen Zahlen.
02.07.02, Seite 26

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Beispiele: Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 }
{ x ∈ ⎟R | 20 ≤ x < 100 } { x ∈ ⎟R | -10 < x ≤ 0 }
{ x ∈ ⎟R | -1 < x < -0,5 }
keine Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 ∨ 50 ≤ x ≤ 100 }
{ x ∈ ⎟Q | 1 ≤ x ≤ 10 } { 1, 5, 7 }
Definition (offene und geschlossene Intervalle): Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Es sind:
[ a, b ] := { x ∈ ⎟R | a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall
[ a, b ) := { x ∈ ⎟R | a ≤ x < b } links geschlossenes, rechts
offenes Intervall
(halboffenes Intervall)
( a, b ] := { x ∈ ⎟R | a < x ≤ b } links offenes, rechts
geschlossenes Intervall
(halboffenes Intervall)
( a, b ) := { x ∈ ⎟R | a < x < b } offenes Intervall
( -∞, b ) := { x ∈ ⎟R | x < b }
( -∞, b ] := { x ∈ ⎟R | x ≤ b }
( a, ∞ ) := { x ∈ ⎟R | a < x }
[ a, ∞ ) := { x ∈ ⎟R | a ≤ x }
( -∞, ∞ ) := ⎟R
Es gilt ∀ a, b ∈ ⎟R :
[ a, a ] = { a }
[ a, b ] = ∅, falls a > b
( a, b ] = [ a, b ) = ( a, b ) = ∅, falls a ≥ b
[ -a, a ] = {x ∈ ⎟R | x ≤ | a | }
[ a - b, a + b ] = {x ∈ ⎟R | | a - x | ≤ b }, falls b ≥ 0 (b-Umgebung von a)
Definition (Schranken): Sei M ⊂ ⎟R.
• x ∈ ⎟R heißt obere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≤ x.
• x ∈ ⎟R heißt untere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≥ x.
• M heißt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls es eine obere (bzw. untere)
Schranke von M gibt.
Beispiele: Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Dann gilt:
∀ y ∈ ( -∞, a ] ist y ist untere Schranke von [ a, b ] sowie von ( a, b ]
∀ y ∈ [ b, ∞ ] ist y ist obere Schranke von [ a, b ] sowie von [ a, b )
Definition (Ungleichung): Eine Ungleichung ist die Verbindung von zwei Termen
durch eines der Relationszeichen >, ≥,

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
• auf beiden Seiten der Ungleichung der gleiche Term addiert (subtrahiert) wird
Beispiel: T1 < T2 ⇒ T1 + T < T2 + T
• beide Seiten der Ungleichung mit einem Term, der nur positive Werte
annimmt, multipliziert bzw. durch einen solchen Term dividiert werden
Beispiel: T1 < T2, T > 0⇒ T1 ⋅ T < T2 ⋅ T und T1
T2
<
T T
• beide Seiten der Ungleichung stets verschiedene Vorzeichen haben und auf
beiden Seiten der Kehrwert gebildet wird.
1 1
Beispiel: T1 < T2, T1 ⋅ T2 < 0 ⇒ <
T T
1 2
♦ Das Ungleichheitszeichen kehrt sich (< ↔ >, ≤ ↔ ≥) um, wenn:
• beide Seiten der Ungleichung mit einem Term, der nur negative Werte
annimmt, multipliziert bzw. durch einen solchen Term dividiert werden
Beispiel: T1 < T2, T < 0 ⇒ T1 ⋅ T > T2 ⋅ T und T1
T2
>
T T
• beide Seiten der Ungleichung stets das gleiche Vorzeichen haben und auf
beiden Seiten der Kehrwert gebildet wird.
1 1
Beispiel: T1 < T2, T1 ⋅ T2 > 0 ⇒ >
T1 T2
Zwei Ungleichungen mit gleichartigem Ungleichheitszeichen dürfen addiert, aber nicht
subtrahiert werden:
T1 < T2, T3 < T4 ⇒ T1 + T3 < T2 + T4
Die Schlußfolgerung T1 - T3 < T2 - T4 ist im allgemeinen falsch
Beispiel: Zu lösen sei die Ungleichung | x + 2 | < 3.
Die Ungleichung läßt sich auflösen in: x + 2 < 3 und -(x + 2) < 3
Man erhält dann die beiden Ungleichungen: x > -5 und x < 1
Also ist die Lösungsmenge: (-5, 1)
02.07.02, Seite 28