Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
0.3 Zahlenbereiche, Grundrechenoperationen
Definition (natürliche Zahlen): ⎟Ν:= { 1, 2, 3, 4, 5, ...} ist die Menge der natürlichen
Zahlen. ⎟Ν 0 := ⎟Ν ∪ { 0 }.
Definition (ganze Zahlen): ⎟Ζ:= { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...} ist die Menge der ganzen
Zahlen.
Definition (rationale Zahlen): ⎟Q := { z | ∃ a ∈ ⎟Ζ ∧ b ∈ ⎟Ν , so daß z = a
b } ist die
Menge der rationalen Zahlen.
Rationale Zahlen sind entweder endliche Dezimalbrüche wie - 7
1 = -7, 27
6 = 4 3
6 = 4 1
2 = 4,5
oder 9
4 = 2,25 oder unendliche periodische Dezimalbrüche wie 1
3 = 0,333..., 8
33 =
0,242424... oder 29
22 = 1,31818181818...
In ⎟Ν sind Addition, Multiplikation und Potenzieren, in ⎟Ζ zusätzlich Subtrahieren und in
⎟Q zusätzlich Dividieren unbeschränkt erlaubt.
Ausnahme: Die Division durch 0 ist grundsätzlich verboten.
Es gilt: ⎟Ν ⊂ ⎟Ν 0 ⊂ ⎟Ζ ⊂ ⎟Q
Man kann beweisen, daß es auch Zahlen gibt, die nichtrational sind (z.B. 2 ). Also
macht es Sinn, die Definition von ⎟Q zu erweitern:
Definition (reelle Zahlen): ⎟R := { z | z ist ein Dezimalbruch } ist die Menge der reellen
Zahlen. Die Menge der nichtrationalen reellen Zahlen (⎟R \ ⎟Q) ist die Menge der
irrationalen Zahlen.
Beispiele für irrationale Zahlen: 2 , π, e.
wichtige Eigenschaften der reellen Zahlen:
• Alle reellen Zahlen lassen sich in eineindeutiger Weise als Punkte auf der
Zahlengeraden abbilden und bedecken die Zahlengerade lückenlos.
• Auf der Menge der reellen Zahlen gibt es eine Ordnungsrelation:
Für je zwei Zahlen a, b ∈ ⎟R gilt: Entweder a < b oder a = b oder a > b.
• Für das Rechnen mit reellen Zahlen gelten folgende Bezeichnungen und Regeln
(Axiomensystem für R) für w, x, y, z ∈ ⎟R:
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