Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Definition (Differenzmenge): Die Differenz der Mengen M und N ist die Menge P
derjenigen Elemente, die Element von M, aber nicht Element von N sind. Schreibweise:
P = M \ N. P wird auch die Differenzmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ M \ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h } ⇒ M \ N = { a , b, c, d }
P := { x | x ist durch 3 teilbar } Q := { x | x ist gerade }
⇒ P \ Q = { x | x durch 3 teilbar ∧ x ist ungerade }
Definition (Komplement): Falls N ⊂ M, heißt P = M \ N auch Komplement von N in
Bezug auf M. Schreibweise: P = ¬N M .
Es gilt: ( N ⊂ M ∧ a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ ¬N M )
Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Parallelogramm }
⇒ ¬P Q = { x | x ist ein nichtrechtwinkliges Parallelogramm }
Definition (disjunkte Mengen): Die Mengen M und N heißen disjunkt, wenn
M ∩ N = ∅.
Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Dreieck}
⇒ P und Q sind disjunkt, da es keine Vierecke gibt, die zugleich
Dreieck sind.
Definition (kartesisches Produkt): M und N seien Mengen. Die Menge P aller Paare
(m,n) mit m ∈ M und n ∈ N (also P := { (m,n) | m ∈ M, n ∈ N } heißt kartesisches
Produkt oder kartesische Produktmenge der Mengen M und N.
Schreibweise: P = M × N.
Es gilt: ( m ∈ M ∧ n ∈ N ) ⇔ ( (m,n) ∈ M × N )
Achtung: Im allgemeinen gilt nicht: M × N = N × M
Beispiele: M := { K, W } (für Kopf und Wappen beim Münzwurf)
⇒ M × M = { (K,K), (K,W), (W,K), (W,W) }
(die Menge aller möglichen Ergebnisse bei einem
zweimaligen Münzwurf)
N := { n | n ist eine natürliche Zahl ∧ n ≥ 5 } V := { + , − }
⇒ V × N = { (+,5), (−,5), (+,6), (−,6), (+,7), (−,7), ...}
02.07.02, Seite 8