Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Allgemein gilt: Jede Zahl r ∈ ⎟R, r > 0 läßt sich eindeutig darstellen in der Form r = m ⋅ 10 k lg m heißt Mantisse, k heißt Kennziffer. mit 0 < m ≤ 1, k ∈ ⎟N 0 Reelle Zahlen, die sich nur in der Kommadarstellung unterscheiden, haben gleiche Mantissen und verschiedene Kennziffern. Vor der Zeit der Taschenrechner bzw. Computer wurden die Mantissen in Logarithmentafeln aufgelistet und den positiven reellen Zahlen zwischen 0 und 1 zugeordnet. Die Logarithmentafeln erleichterten dem geübten Anwender die schnelle Durchführung von ansonsten aufwendigen schriftlichen Berechnungen (z. B. Multiplikationen). Logarithmen mit Basis e (= 2,718281... - Eulersche Zahl nach Leonhard Euler, 1707 - 1783) heißen natürliche Logarithmen (logarithmus naturalis) und werden ohne ausdrückliche Basisangabe mit ln bezeichnet. e ist eine irrationale Zahl und eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Auf die Bedeutung von e wird an anderer Stelle noch näher eingegangen. Also: ln a := loge a. Beispiel: Durch Logarithmieren der Gleichung: 25,31 x = 30,16 ergibt sich: ln 30, 15 x ⋅ ln 25,31 = ln 30,15 ⇒ x = ≈ 1,054 ln 25, 31 Die Logarithmen zweier Basen sind proportional zueinander. Es gilt: log x = a log log b b x a Beweis: Es sei: y := log x. Also: a a y = x. Dann:log x = log a b b y = y log a b = (log x) ⋅ (log a) ⇒ log x = a b a log b x log b a Beispiele: log a = 5 ln a = 0,62133... ⋅ ln a ln 5 lg a ln a = = 2,30258... ⋅ lg a lg e lg a = ln a = 0,43429... ⋅ ln a ln 10 02.07.02, Seite 18
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck 0.5 Binomische Formeln Definition (Binom): Ein Binom ist ein zweigliedriger Ausdruck der Form a + b oder a - b. Sehr häufig werden folgende binomische Formeln verwendet: erste binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 zweite binomische Formel: (a - b) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 dritte binomische Formel (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 Diese Formel läßt sich verallgemeinern für (a + b) n , wobei n ∈ ⎟Ν: (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 . . . Folgende Gesetzmäßigkeit ist offenbar erkennbar: Die Potenzen von a erscheinen von links nach rechts in den Summanden in der Reihenfolge a n , a n-1 , . . . , a 1 , a 0 , die Potenzen von b in der Reihenfolgeb 0 , b 1 , . . . , b n-1 , b n . Man erkennt, daß die Summe der Exponenten in einem Summanden immer gleich n ist. Eine Gesetzmäßigkeit für die Koeffizienten läßt sich erkennen, wenn man diese in Form des folgenden Dreiecks aufschreibt: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 . . . Also: Am linken und rechten Rand steht in jeder Zeile die Zahl 1. Jeder andere Koeffizient ist die Summe der beiden schräg über ihm stehenden Koeffizienten (z.B. 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6 usw.). Das obige Dreieck heißt Pascalsches Dreieck (Blaise Pascal, 1623 - 1662). Die Koeffizienten einer aufgelösten Binompotenz lassen sich auch direkt durch eine Formel angeben. Für den Koeffizienten n k des (k+1)-ten Summanden der Lösung 02.07.02, Seite 19
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