Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck und n ∈ ⎟Z und a ∈ ⎟R. Dann ist: a q = a n m m n := a . Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen gelten natürlich in gleicher Weise für das Rechnen mit Wurzeln. Es ist aber stets zu beachten, daß es nicht für alle a, r ∈ ⎟R reelle Lösungen der Gleichung b = a r gibt (z.B. nicht für a = -1 und r = 1 2 ). Allgemein gilt: Seien m ∈ ⎟Ν, n ∈ ⎟Z \ { 0 }, n und m teilerfremd, a ∈ ⎟R : 1. Fall: Nenner des Exponenten n m gerade: Es gibt eine reelle Lösung der Gleichung a n m genau dann, wenn a ≥ 0. (z. B. gibt es für − 3 5 2 keine reelle Lösung.) 2. Fall: Nenner des Exponenten n m ungerade: Es gibt für a immer eine eindeutige Lösung der Gleichung a n m . Beispiele: 9 5 2 = (9 1 2 ) 5 = 3 5 9 5 1 2 5 2 = (9 ) = 59049 = 243 3 1 1 2 ( 5) = 5 3 ≈ 0,089 2 1 ( 5) 3 2 − = 1 ( ) 1 5 3 2 3 a b a b ⋅ a = 6 6 b 2 b a 2 = 243 = 5 3 2 = 5 ⋅ 5 ≈ 11,18 3 ⋅ 3 = 2 3 6 2 3 = a b b a Schließlich kann man durch Verallgemeinerung des folgenden Beispiels das Potenzieren auf reelle Exponenten erweitern: Reelle Zahlen lassen sich durch rationale Zahlen beliebig genau annähern (approximieren). Deshalb kann man sich zum Beispiel die Zahl 2 2 als den Wert vorstellen, der durch die Zahlen von 2 1 , 2 1,4 , 2 1,41 , 2 1,414 , 2 1,4142 . . . immer mehr angenähert wird. Allerdings ist die Potenzierung negativer Zahlen mit einem irrationalen Exponenten nicht definiert (z.B. − 1 2 ). Eine mathematisch exakte Definition erfordert Begriffe wie Grenzwert und Stetigkeit, die zu einem späteren Zeitpunkt eingeführt werden. Definition (Logarithmus): Für a, b ∈ ⎟R, a > 0, b > 0, b ≠ 1 sei c diejenige Zahl, so dass gilt: b c = a. c ist der Logarithmus von a zur Basis b. a ist der Numerus. Schreibweise bei Auflösung nach c: c = log b a 6 b a 02.07.02, Seite 16
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Das heißt also mit anderen Worten: Die Auflösung der Gleichung b c = a nach c führt zum Logarithmieren. Der Logarithmus einer Zahl c ist also der Exponent, mit dem man b potenzieren muß, um a zu erhalten. Alle auf eine bestimmte Basis bezogenen Logarithmen bilden das Logarithmensystem dieser Basis. Es gibt unendlich viele Systeme, da unendlich viele Zahlen als Basis verwendet werden können. Allerdings eignet sich die Zahl 1 nicht als Basis, da alle Potenzen von 1 gleich 1 sind (1 c = 1 ∀ c > 0). Der Logarithmus wäre nur für die Basis überhaupt definiert. Ebenso ist die Zahl 0 als Basis unbrauchbar. Bei negativen Basen kann man nicht für jede Zahl eine reelle Lösung für den Logarithmus finden (z.B.: -2 x = 8 und -2 x = -4 nicht lösbar für x ∈ ⎟R). Für b > 0 und a ≤ 0 hat die Gleichung b c = a grundsätzlich keine reelle Lösung. Deshalb gilt: Der Logarithmus ist nur für positiven Numerus und positive Basis („ 1) definiert. Wichtige Rechenregeln (Logarithmengesetze): log b 1 = 0 log b b = 1 log b (u ⋅ v) = log b u + log b v log b ( u v ) = log b u - log b v log b ( 1 u ) = -log b u log b (u v ) = v ⋅ log b u log b n u = 1 n ⋅ log u b Besondere praktische Bedeutung haben die Logarithmen der Basis 10 und Basis e: Logarithmen mit Basis 10 heißen dekadische Logarithmen und werden ohne ausdrückliche Basisangabe mit log oder lg bezeichnet. Also: lg a := log 10 a. Beispiele: lg 10 = 1 lg 100 = 2 lg 1000 = 3 lg 0,1 = -1 lg 0.01 = -2 lg 0,001 = -3 Aus 3.752.000 = 0,3752 ⋅ 10 7 ergibt sich: lg 3.752.000 = lg (0,3752 ⋅ 10 7 ) = lg 0,3752 + lg 10 7 = lg 0,3752 + 7 ⋅ lg 10 = lg 0,3752 + 7 = -0,42573... + 7 = 6,57426... 02.07.02, Seite 17
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