Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I
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FB Ingenieurwissenschaften<br />
Bereich Maschinenbau<br />
<strong>Mathematik</strong> I<br />
<strong>Prof</strong>. Kortendieck<br />
<strong>von</strong> (a + b) n gilt:<br />
nk<br />
Durch Kürzen ergibt sich: nk<br />
=<br />
n!<br />
, wobei k, n ∈ ⎟Ν , k ≤ n und 0! := 1.<br />
0 k! ⋅ ( n − k)!<br />
=<br />
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅... ⋅( n − k + 1)<br />
2 ⋅ 3⋅ 4⋅...<br />
⋅k<br />
Definition (Binomialkoeffizient): (Erinnerung an letztes Kapitel: 0! := 1.)<br />
Die natürlichen Zahlen<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝k<br />
⎞<br />
n!<br />
⎟ : = nk = heißen für k, n ∈ ⎟Ν mit k ≤ n Binomialkoeffizienten.<br />
0 ⎠ k! ⋅ ( n − k)!<br />
Rechenregeln ∀ k, n ∈ ⎟Ν 0 mit k ≤ n:<br />
Beispiele:<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝0<br />
⎞<br />
⎟ = 1<br />
⎠<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝k<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝k<br />
⎞ ⎛ n ⎞<br />
⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎠ ⎝k<br />
+ 1⎠<br />
⎛7<br />
⎜<br />
⎝2<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
7 ⎛<br />
⎜<br />
⎝5<br />
⎞<br />
⎟ = 21<br />
⎠<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝1<br />
⎞<br />
⎟ = n<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
n<br />
n − k<br />
= n ⎛ + 1⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝k<br />
+ 1⎠<br />
⎛n<br />
⎜<br />
⎝n<br />
⎞<br />
⎟ = 1<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ (Symmetrieeigenschaft)<br />
⎠<br />
(Summeneigenschaft)<br />
⎛3<br />
⎜<br />
⎝1<br />
⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
3 ⎛<br />
⎜<br />
⎝2<br />
⎞<br />
⎟ =<br />
⎠<br />
4 ⎛<br />
⎜<br />
⎝2<br />
⎞<br />
⎟ = 6<br />
⎠<br />
Bemerkung: n ⎛<br />
⎜<br />
⎝k<br />
⎞<br />
⎟ ist eine wichtige Größe in der Kombinatorik. Die Zahl gibt die Anzahl<br />
⎠<br />
der verschiedenen k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an.<br />
Beispiel: Es gibt 49 ⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟ (= 13.983.816) verschiedene Möglichkeiten, eine 6-elementige<br />
⎝ 6 ⎠<br />
Teilmenge aus der Menge { 1, 2, 3, . . ., 49 } zu bilden (Lotto 6 aus 49).<br />
Aus den vorherigen Überlegungen ergibt sich nun der Allgemeiner binomischer Satz:<br />
Für a, b ∈ ⎟R, n ∈ ⎟Ν gilt:<br />
(a + b) n n ⎛n<br />
n k k<br />
= ⎜ a b<br />
⎝k<br />
⎞ −<br />
⎟ ⋅ ⋅<br />
⎠<br />
∑ 0<br />
k =<br />
02.07.02, Seite 20