Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Beispiele: Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 }
{ x ∈ ⎟R | 20 ≤ x < 100 } { x ∈ ⎟R | -10 < x ≤ 0 }
{ x ∈ ⎟R | -1 < x < -0,5 }
keine Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 ∨ 50 ≤ x ≤ 100 }
{ x ∈ ⎟Q | 1 ≤ x ≤ 10 } { 1, 5, 7 }
Definition (offene und geschlossene Intervalle): Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Es sind:
[ a, b ] := { x ∈ ⎟R | a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall
[ a, b ) := { x ∈ ⎟R | a ≤ x < b } links geschlossenes, rechts
offenes Intervall
(halboffenes Intervall)
( a, b ] := { x ∈ ⎟R | a < x ≤ b } links offenes, rechts
geschlossenes Intervall
(halboffenes Intervall)
( a, b ) := { x ∈ ⎟R | a < x < b } offenes Intervall
( -∞, b ) := { x ∈ ⎟R | x < b }
( -∞, b ] := { x ∈ ⎟R | x ≤ b }
( a, ∞ ) := { x ∈ ⎟R | a < x }
[ a, ∞ ) := { x ∈ ⎟R | a ≤ x }
( -∞, ∞ ) := ⎟R
Es gilt ∀ a, b ∈ ⎟R :
[ a, a ] = { a }
[ a, b ] = ∅, falls a > b
( a, b ] = [ a, b ) = ( a, b ) = ∅, falls a ≥ b
[ -a, a ] = {x ∈ ⎟R | x ≤ | a | }
[ a - b, a + b ] = {x ∈ ⎟R | | a - x | ≤ b }, falls b ≥ 0 (b-Umgebung von a)
Definition (Schranken): Sei M ⊂ ⎟R.
• x ∈ ⎟R heißt obere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≤ x.
• x ∈ ⎟R heißt untere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≥ x.
• M heißt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls es eine obere (bzw. untere)
Schranke von M gibt.
Beispiele: Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Dann gilt:
∀ y ∈ ( -∞, a ] ist y ist untere Schranke von [ a, b ] sowie von ( a, b ]
∀ y ∈ [ b, ∞ ] ist y ist obere Schranke von [ a, b ] sowie von [ a, b )
Definition (Ungleichung): Eine Ungleichung ist die Verbindung von zwei Termen
durch eines der Relationszeichen >, ≥,