Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
und n ∈ ⎟Z und a ∈ ⎟R. Dann ist:
a q = a n
m m n
:= a .
Die Regeln für das Rechnen mit Potenzen gelten natürlich in gleicher Weise für das
Rechnen mit Wurzeln.
Es ist aber stets zu beachten, daß es nicht für alle a, r ∈ ⎟R reelle Lösungen der
Gleichung b = a r gibt (z.B. nicht für a = -1 und r = 1
2 ).
Allgemein gilt: Seien m ∈ ⎟Ν, n ∈ ⎟Z \ { 0 }, n und m teilerfremd, a ∈ ⎟R :
1. Fall: Nenner des Exponenten n
m gerade:
Es gibt eine reelle Lösung der Gleichung a n
m genau dann, wenn a ≥ 0.
(z. B. gibt es für − 3 5
2 keine reelle Lösung.)
2. Fall: Nenner des Exponenten n m ungerade:
Es gibt für a immer eine eindeutige Lösung der Gleichung a n
m .
Beispiele: 9 5
2 = (9 1
2 ) 5 = 3 5
9 5
1
2 5 2 = (9 ) = 59049 = 243
3 1
1 2 ( 5)
=
5 3 ≈ 0,089
2
1
( 5)
3
2
− = 1
( )
1
5
3
2
3 a b
a
b ⋅ a = 6 6 b
2
b a
2
= 243
= 5 3
2 = 5 ⋅ 5 ≈ 11,18
3
⋅ 3 =
2 3
6
2 3 =
a b
b a
Schließlich kann man durch Verallgemeinerung des folgenden Beispiels das
Potenzieren auf reelle Exponenten erweitern: Reelle Zahlen lassen sich durch rationale
Zahlen beliebig genau annähern (approximieren). Deshalb kann man sich zum Beispiel
die Zahl 2 2 als den Wert vorstellen, der durch die Zahlen von 2 1
, 2 1,4
, 2 1,41
, 2 1,414
, 2 1,4142
. . .
immer mehr angenähert wird. Allerdings ist die Potenzierung negativer Zahlen mit
einem irrationalen Exponenten nicht definiert (z.B. − 1 2 ).
Eine mathematisch exakte Definition erfordert Begriffe wie Grenzwert und Stetigkeit, die
zu einem späteren Zeitpunkt eingeführt werden.
Definition (Logarithmus): Für a, b ∈ ⎟R, a > 0, b > 0, b ≠ 1 sei c diejenige Zahl, so
dass gilt:
b c = a. c ist der Logarithmus von a zur Basis b.
a ist der Numerus.
Schreibweise bei Auflösung nach c:
c = log b a
6
b
a
02.07.02, Seite 16