Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Da insbesondere ∀ n ∈ ⎟Ν und ∀ a ∈ ⎟R \ { 0 } gilt :
1 = a
a
n
n = an-n ...=...a 0
, macht folgende Definition Sinn:
Definition (Potenzierung mit 0): ∀ a ∈ ⎟R \ { 0 } gilt: a 0 := 1
Achtung: 0 0 ist also nicht definiert.
Zahlen von sehr unterschiedlicher Größenordnung schreibt man wegen der dann
besseren Übersichtlichkeit häufig in Form von Zehnerpotenzen.
Beispiele: 3.752.000 = 3,752 ⋅ 10 6 = 0,3752 ⋅ 10 7
0,000000123 = 1,23 ⋅ 10 -7
= 0,123 ⋅ 10 -6
Diese Darstellung ist die Gleitpunktdarstellung.
Zur Wurzelrechnung kommt man durch Erweitern der Potenzierung auf rationale
Zahlen:
Definition (Wurzel): Für n ∈ ⎟Ν und a ∈ ⎟R ist die n-te Wurzel aus a diejenige Zahl b,
so dass gilt:
b n = a.
a ist der Radikand, n der Wurzelexponent.
Das heißt also mit anderen Worten:
Die Auflösung der Gleichung b n
= a nach b führt zum Wurzelziehen.
Durch Umformen entsprechend den obigen Regeln läßt sich die Gleichung nach b
auflösen:
b = ( b )
n 1
n
= a 1/n
. Andere Schreibweise: a n
1
2
Falls n = 2, wird in der Regel vereinfachend a statt a
n
= a
geschrieben.
Bemerkung: Für a < 0 und gerade n gibt es keine reelle Lösung für die Gleichung b =
a n
1
(z.B. gibt es für x = −1 keine reelle Lösung). Dieses Problem führt auf die
komplexen Zahlen, die zu späterem Zeitpunkt noch ausführlich behandelt werden.
Damit es für alle a > 0 eine eindeutige Lösung der Gleichung b = a n
1
gibt, wird
vereinbart, dass für gerade n der Wert der Wurzel a n
1
immer positiv ist.
(Denn für gerade n ist auch -b eine Lösung der Gleichung b = a n
1
).
Aus den nun bekannten Regeln für Potenzen und Wurzeln läßt sich als logische
Konsequenz nun die Potenzierung mit rationalen Exponenten ableiten:
Definition (Potenz mit rationalem Exponenten): Seien q ∈ ⎟Q mit q = n
m für m ∈ ⎟Ν
.
02.07.02, Seite 15