Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Eigenschaften von Gleichungen n-ten Grades:
• Hat eine Gleichung n-ten Grades die Lösungen x1, . . . , xn, dann läßt sich die
Gleichung in der Form
(x - x1) (x - x2) . . . (x - xn) = 0
darstellen. Diese Form ist die Produktdarstellung der Gleichung n-ten Grades.
Daraus folgt: Wenn eine Lösung x1 gefunden wurde, läßt sich die Gleichung in der
Form
(x - x1) (x n-1 + bn-2x n-2 + . . . + b1x + b0) = 0
schreiben. Für die reduzierte Gleichung (n-1)-ten Grades kann man dann wieder eine
Lösung bestimmen und als Faktor ausklammern usw.
Eine Lösung x i ist eine k-fache Lösung, wenn in der Produktdarstellung der Faktor
(x-xi) k-mal erscheint, sich also in der k-ten Potenz schreiben läßt: (x-xi) k . Für k > 1 ist
eine k-fache insbesondere eine mehrfache Lösung.
• Fundamentalsatz der Algebra: Eine Gleichung n-ten Grades hat genau n
Lösungen. Dabei können Lösungen mehrfach auftreten. Die Lösungen sind nicht
notwendig reelle Zahlen, sondern können komplexe Zahlen sein. (Beweis von Carl
Friedrich Gauss, 1777 - 1855). Die Lösungen einer Gleichung werden auch Wurzeln
genannt.
• Eine Gleichung n-ten Grades mit ungeradem n besitzt zumindest eine reelle Lösung.
• Lösung der linearen Gleichung (Gleichung 1. Grades) x + a0 = 0: x1 = -a0
• Lösungen der quadratischen Gleichung (Gleichung 2. Grades)
x 2 + px + q = 0 mit p, q ≠ 0:
p p
2 4
x1 = − + − q
2
p p
2 4
x2 = − − − q
Für Gleichungen 3. und 4. Grades kann man analoge Lösungsformeln wie für die
quadratische Gleichung herleiten. Für Lösungen 5. und höheren Grades gibt es solche
Formeln nicht. In solchen Fällen werden in der Regel Näherungsverfahren angewendet,
die beliebig genaue, jedoch keine analytisch exakten Lösungen liefern.
2
02.07.02, Seite 23