Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Definition (Lösung): Falls für x die Aussage T1(x) = T2(x) wahr ist, ist x eine Lösung der Gleichung. Die Menge aller Lösungen ist die Lösungsmenge der Gleichung. Beispiel: Gegeben sei die Gleichung: x 3 - 5 x = 6 - 2 x 2 Für x1 = -3, x2 = -1 und x3 = 2 ist die Aussage wahr. Man kann beweisen, daß es keine weiteren Lösungen gibt. Also ist { -3, -1, 2 } die Lösungsmenge. Eine Gleichung mit einer Unbekannten wird am elegantesten gelöst, indem sie schrittweise solange umgeformt wird, bis die Unbekannte isoliert auf einer Seite der Gleichung steht. Bei jeder Umformung entsteht eine neue Gleichung. Dieses Vorgehen ist jedoch keineswegs immer möglich. Definition (äquivalente Umformungen): Zwei Gleichungen heißen äquivalent zueinander, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Entsprechend heißen Umformungen einer Gleichung, durch die ihre Lösungsmenge nicht geändert wird, äquivalente Umformungen. Beispiele äquivalenter Umformungen: Addition (Subtraktion) des gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung Multiplikation (Division) beider Seiten der Gleichung mit dem (durch den) gleichen Term, falls dieser ungleich 0 ist. Beispiel für eine im allgemeinen nichtäquivalente Umformung: Quadrieren beider Seiten der Gleichung konkretes Beispiel: Die Gleichung x - 5 = 0 sei gegeben. Äquivalente Umformung: x = 5 äquivalente Umformung: x - 2 = 3 nichtäquivalente Umformung: (x - 2) 2 = x 2 - 4x + 4 = 9 äquivalente Umformung: x 2 - 4x - 5 = 0 Lösungsmenge dieser Gleichung: {-1, 5} -1 ist aber keine Lösung der Gleichung x - 5 = 0 Definition (ganzrationale Gleichung): Die Darstellung einer Gleichung in der Form x n + an-1x n-1 + . . . + a1x + a0 = 0 heißt Normalform der Gleichung n-ten Grades. Gleichungen dieser Art sind ganzrationale Gleichungen. Im folgenden Teil dieses Kapitels seien grundsätzlich alle Koeffizienten ai ∈ ⎟R. 02.07.02, Seite 22
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Eigenschaften von Gleichungen n-ten Grades: • Hat eine Gleichung n-ten Grades die Lösungen x1, . . . , xn, dann läßt sich die Gleichung in der Form (x - x1) (x - x2) . . . (x - xn) = 0 darstellen. Diese Form ist die Produktdarstellung der Gleichung n-ten Grades. Daraus folgt: Wenn eine Lösung x1 gefunden wurde, läßt sich die Gleichung in der Form (x - x1) (x n-1 + bn-2x n-2 + . . . + b1x + b0) = 0 schreiben. Für die reduzierte Gleichung (n-1)-ten Grades kann man dann wieder eine Lösung bestimmen und als Faktor ausklammern usw. Eine Lösung x i ist eine k-fache Lösung, wenn in der Produktdarstellung der Faktor (x-xi) k-mal erscheint, sich also in der k-ten Potenz schreiben läßt: (x-xi) k . Für k > 1 ist eine k-fache insbesondere eine mehrfache Lösung. • Fundamentalsatz der Algebra: Eine Gleichung n-ten Grades hat genau n Lösungen. Dabei können Lösungen mehrfach auftreten. Die Lösungen sind nicht notwendig reelle Zahlen, sondern können komplexe Zahlen sein. (Beweis von Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855). Die Lösungen einer Gleichung werden auch Wurzeln genannt. • Eine Gleichung n-ten Grades mit ungeradem n besitzt zumindest eine reelle Lösung. • Lösung der linearen Gleichung (Gleichung 1. Grades) x + a0 = 0: x1 = -a0 • Lösungen der quadratischen Gleichung (Gleichung 2. Grades) x 2 + px + q = 0 mit p, q ≠ 0: p p 2 4 x1 = − + − q 2 p p 2 4 x2 = − − − q Für Gleichungen 3. und 4. Grades kann man analoge Lösungsformeln wie für die quadratische Gleichung herleiten. Für Lösungen 5. und höheren Grades gibt es solche Formeln nicht. In solchen Fällen werden in der Regel Näherungsverfahren angewendet, die beliebig genaue, jedoch keine analytisch exakten Lösungen liefern. 2 02.07.02, Seite 23
Seite 1 und 2: FB Ingenieurwissenschaften Bereich
Seite 21: FB Ingenieurwissenschaften Bereich

Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?