Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck 0.7 Beträge, Intervalle, Ungleichungen Definition (Absolutbetrag): Der (absolute) Betrag (oder Absolutbetrag) einer Zahl a ∈ ⎟R ist die nichtnegative der beiden Zahlen a und -a. Schreibweise: | a |. Es ist also: ⎧ a, falls a ≥ 0 | a | =⎨ ⎩ -a, falls a < 0. Es gilt ∀ a, b ∈ ⎟R : • | a | ≥ 0 • | a | = 0 ⇔ a = 0 • | a | = | -a | • | a - b | = | b - a | • | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | • | a | a| | = für b ≠ 0 b | b| • | a + b | ≤ | a | + | b | (Dreiecksungleichung) • | a | − | b | ≤ | a − b | ≤ | a | + | b | Beispiel: T(x,y) := | 4x + 2y | - x - | y |. Dann ist: Für T(3,-4) = | 12 - 8 | - 3 - | -4 | = 4 - 3 - 4 = -3 Für T(-5,5) = | -20 + 10 | + 5 - | 5 | = 10 + 5 - 5 = 10 Definition (Signum): Für a ∈ ⎟R ist: ⎧ 1 für a > 0 sgn a := ⎨ 0 für a = 0 sgn a ist das Signum von a. ⎩ -1 für a < 0. Also gilt: sgn a = a | a| für a ≠ 0. Definition (Intervall): Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge der Menge der reellen Zahlen. 02.07.02, Seite 26
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Beispiele: Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 } { x ∈ ⎟R | 20 ≤ x < 100 } { x ∈ ⎟R | -10 < x ≤ 0 } { x ∈ ⎟R | -1 < x < -0,5 } keine Intervalle sind: { x ∈ ⎟R | 1 ≤ x ≤ 10 ∨ 50 ≤ x ≤ 100 } { x ∈ ⎟Q | 1 ≤ x ≤ 10 } { 1, 5, 7 } Definition (offene und geschlossene Intervalle): Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Es sind: [ a, b ] := { x ∈ ⎟R | a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall [ a, b ) := { x ∈ ⎟R | a ≤ x < b } links geschlossenes, rechts offenes Intervall (halboffenes Intervall) ( a, b ] := { x ∈ ⎟R | a < x ≤ b } links offenes, rechts geschlossenes Intervall (halboffenes Intervall) ( a, b ) := { x ∈ ⎟R | a < x < b } offenes Intervall ( -∞, b ) := { x ∈ ⎟R | x b ( a, b ] = [ a, b ) = ( a, b ) = ∅, falls a ≥ b [ -a, a ] = {x ∈ ⎟R | x ≤ | a | } [ a - b, a + b ] = {x ∈ ⎟R | | a - x | ≤ b }, falls b ≥ 0 (b-Umgebung von a) Definition (Schranken): Sei M ⊂ ⎟R. • x ∈ ⎟R heißt obere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≤ x. • x ∈ ⎟R heißt untere Schranke von M, falls ∀ y ∈ M gilt: y ≥ x. • M heißt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, falls es eine obere (bzw. untere) Schranke von M gibt. Beispiele: Seien a, b ∈ ⎟R und a ≤ b. Dann gilt: ∀ y ∈ ( -∞, a ] ist y ist untere Schranke von [ a, b ] sowie von ( a, b ] ∀ y ∈ [ b, ∞ ] ist y ist obere Schranke von [ a, b ] sowie von [ a, b ) Definition (Ungleichung): Eine Ungleichung ist die Verbindung von zwei Termen durch eines der Relationszeichen >, ≥,
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