Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Definition (Differenzmenge): Die Differenz der Mengen M und N ist die Menge P derjenigen Elemente, die Element von M, aber nicht Element von N sind. Schreibweise: P = M \ N. P wird auch die Differenzmenge von M und N genannt. Es gilt: ( a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ M \ N ) Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h } ⇒ M \ N = { a , b, c, d } P := { x | x ist durch 3 teilbar } Q := { x | x ist gerade } ⇒ P \ Q = { x | x durch 3 teilbar ∧ x ist ungerade } Definition (Komplement): Falls N ⊂ M, heißt P = M \ N auch Komplement von N in Bezug auf M. Schreibweise: P = ¬N M . Es gilt: ( N ⊂ M ∧ a ∈ M ∧ a ∉ N ) ⇔ ( a ∈ ¬N M ) Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Parallelogramm } ⇒ ¬P Q = { x | x ist ein nichtrechtwinkliges Parallelogramm } Definition (disjunkte Mengen): Die Mengen M und N heißen disjunkt, wenn M ∩ N = ∅. Beispiele: P := { x | x ist ein Rechteck } Q := { x | x ist ein Dreieck} ⇒ P und Q sind disjunkt, da es keine Vierecke gibt, die zugleich Dreieck sind. Definition (kartesisches Produkt): M und N seien Mengen. Die Menge P aller Paare (m,n) mit m ∈ M und n ∈ N (also P := { (m,n) | m ∈ M, n ∈ N } heißt kartesisches Produkt oder kartesische Produktmenge der Mengen M und N. Schreibweise: P = M × N. Es gilt: ( m ∈ M ∧ n ∈ N ) ⇔ ( (m,n) ∈ M × N ) Achtung: Im allgemeinen gilt nicht: M × N = N × M Beispiele: M := { K, W } (für Kopf und Wappen beim Münzwurf) ⇒ M × M = { (K,K), (K,W), (W,K), (W,W) } (die Menge aller möglichen Ergebnisse bei einem zweimaligen Münzwurf) N := { n | n ist eine natürliche Zahl ∧ n ≥ 5 } V := { + , − } ⇒ V × N = { (+,5), (−,5), (+,6), (−,6), (+,7), (−,7), ...} 02.07.02, Seite 8
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck Bemerkung: Man kann die definierten Verknüpfungen und Operationen für Mengen natürlich wiederholt anwenden. Es gelten folgende Regeln: Kommutativgesetze: M 1 ∩ M 2 = M 2 ∩ M 1 M 1 ∪ M 2 = M 2 ∪ M 1 Assoziativgesetze: (M 1 ∩ M 2 ) ∩ M 3 = M 1 ∩ (M 2 ∩ M 3 ) (M 1 ∪ M 2 ) ∪ M 3 = M 1 ∪ (M 2 ∪ M 3 ) Distributivgesetze: M 1 ∪ (M 2 ∩ M 3 ) = (M 1 ∪ M 2 ) ∩ (M 1 ∪ M 3 ) M 1 ∩ (M 2 ∪ M 3 ) = (M 1 ∩ M 2 ) ∪ (M 1 ∩ M 3 ) de Morgan-Regeln: ¬(M 1 ∪ M 2 ) = ¬M 1 ∩ ¬M 2 ¬(M 1 ∩ M 2 ) = ¬M 1 ∪ ¬M 2 02.07.02, Seite 9
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