Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

FB Ingenieurwissenschaften
Bereich Maschinenbau
Mathematik I
Prof. Kortendieck
Achtung: Die gleiche Anzahl von Elementen ist eine notwendige, nicht aber
hinreichende Bedingung für die Gleichheit von Mengen.
Beispiel: M := { x | x ist eine durch 3 teilbare Zahl }
N := { x | x ist eine ganze Zahl, deren Quersumme durch 3 teilbar ist}
Es gilt: M = N
Definition (Teilmenge): Eine Menge M heißt Teilmenge (Untermenge) der Menge N
genau dann, wenn jedes Element von M auch Element von N ist. Schreibweise: M ⊂ N.
Wenn M Teilmenge von N ist, heißt N Obermenge von M.
Es gilt: ( a ∈ M ⇒ a ∈ N ) ⇔ ( M ⊂ N )
Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge, und jede Menge ist Teilmenge von
sich selbst. Für jede Menge M gelten also:
∅ ⊂ M und
M ⊂ M.
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { a, b, c }
⇒ N ⊂ M
P := { x | x ist ein Parallelogramm } Q := { x | x ist ein Quadrat }
⇒ Q ⊂ P
Definition (Vereinigungsmenge): Die Vereinigung der Mengen M und N ist die
Menge P derjenigen Elemente, die Element von M oder Element von N sind.
Schreibweise: P = M ∪ N. P wird auch die Vereinigungsmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∨ a ∈ N ) ⇔ ( a ∈ M ∪ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h }
⇒ M ∪ N = { a , b, c, d, e, f, g, h }
P := { x | x ist ein Dreieck } Q := { x | x ist ein Viereck }
⇒ P ∪ Q = { x | x ist ein Dreieck ∨ x ist ein Viereck }
Definition (Schnittmenge): Der Durchschnitt der Mengen M und N ist die Menge P
derjenigen Elemente, die sowohl Element von M als auch Element von N sind.
Schreibweise: P = M ∩ N. P wird auch die Durchschnittsmenge von M und N genannt.
Es gilt: ( a ∈ M ∧ a ∈ N ) ⇔ ( a ∈ M ∩ N )
Beispiele: M := { a , b, c, d, e, f } N := { e, f, g, h } ⇒ M ∩ N = { e, f }
P := { x | x ist ein Dreieck } Q := { x | x ist ein Viereck }
⇒ P ∩ Q = { x | x ist ein Dreieck ∧ x ist ein Viereck } = ∅
02.07.02, Seite 7