Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck von (a + b) n gilt: nk Durch Kürzen ergibt sich: nk = n! , wobei k, n ∈ ⎟Ν , k ≤ n und 0! := 1. 0 k! ⋅ ( n − k)! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅... ⋅( n − k + 1) 2 ⋅ 3⋅ 4⋅... ⋅k Definition (Binomialkoeffizient): (Erinnerung an letztes Kapitel: 0! := 1.) Die natürlichen Zahlen ⎛n ⎜ ⎝k ⎞ n! ⎟ : = nk = heißen für k, n ∈ ⎟Ν mit k ≤ n Binomialkoeffizienten. 0 ⎠ k! ⋅ ( n − k)! Rechenregeln ∀ k, n ∈ ⎟Ν 0 mit k ≤ n: Beispiele: ⎛n ⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ = 1 ⎠ ⎛n ⎜ ⎝k ⎞ ⎟ = ⎠ ⎛n ⎜ ⎝k ⎞ ⎛ n ⎞ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎠ ⎝k + 1⎠ ⎛7 ⎜ ⎝2 ⎞ ⎟ = ⎠ 7 ⎛ ⎜ ⎝5 ⎞ ⎟ = 21 ⎠ ⎛n ⎜ ⎝1 ⎞ ⎟ = n ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ n n − k = n ⎛ + 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝k + 1⎠ ⎛n ⎜ ⎝n ⎞ ⎟ = 1 ⎠ ⎞ ⎟ (Symmetrieeigenschaft) ⎠ (Summeneigenschaft) ⎛3 ⎜ ⎝1 ⎞ ⎟ + ⎠ 3 ⎛ ⎜ ⎝2 ⎞ ⎟ = ⎠ 4 ⎛ ⎜ ⎝2 ⎞ ⎟ = 6 ⎠ Bemerkung: n ⎛ ⎜ ⎝k ⎞ ⎟ ist eine wichtige Größe in der Kombinatorik. Die Zahl gibt die Anzahl ⎠ der verschiedenen k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an. Beispiel: Es gibt 49 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ (= 13.983.816) verschiedene Möglichkeiten, eine 6-elementige ⎝ 6 ⎠ Teilmenge aus der Menge { 1, 2, 3, . . ., 49 } zu bilden (Lotto 6 aus 49). Aus den vorherigen Überlegungen ergibt sich nun der Allgemeiner binomischer Satz: Für a, b ∈ ⎟R, n ∈ ⎟Ν gilt: (a + b) n n ⎛n n k k = ⎜ a b ⎝k ⎞ − ⎟ ⋅ ⋅ ⎠ ∑ 0 k = 02.07.02, Seite 20
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck 0.6 Gleichungen Definition (Term): Ein Term ist eine aus Buchstaben, Zahlen und Rechen- und Sonderzeichen gebildete mathematisch wohldefinierte (sinnvolle) Zeichenfolge. Beispiele: Terme sind: a 2 + b 2 - 5 kein Term ist: x : ( 2 a x x 2 + 1 2 5 2 − p q Definition (Variable): Ein Variable ist ein Zeichen, das stellvertretend für ein beliebiges Element einer definierten Menge steht und verschiedene Werte aus der Menge annehmen kann. Häufig werden Variable mit den letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnet. Definition (Konstante): Ein Konstante ist ein Zeichen, das stellvertretend für ein beliebiges Element einer Menge steht und einen festen Wert aus dieser Menge annimmt. Einen Term mit einer Variable schreibt man oft T(x), einen Term mit zwei Variablen T(x,y) usw.. Beispiele: T(x) := 2x 2 + 3ax + 27 T(x;y) := 2x 2 + 3xy + 27 Definition (Gleichung): Eine Gleichung ist die Verbindung von zwei Termen T1 und T2 durch das Gleichheitszeichen: T1 = T2 Man unterscheidet: Identische Gleichungen: Gleichung ist grundsätzlich gültig Beispiel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Funktionsgleichungen: Durch Einsetzen eines Wertes in den einen Term wird der andere Term errechnet. Beispiel: y = 4x 2 - 6x + 1 Bestimmungsgleichungen: Die Gleichung ist nur für bestimmte Werte erfüllt, die zu ermitteln sind. Beispiel: x 3 - 5x = 6 - 2x 2 Im folgenden werden Bestimmungsgleichungen mit einer Variablen (Unbekannten) betrachtet. Eine Gleichung T1(x) = T2(x) ist eine Aussagenform, die je nach Wahl von x zu einer wahren oder einer falschen Aussage führt. 02.07.02, Seite 21
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