Skript von Prof. Dr. Wolters zur Vorlesung Mathematik I

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FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck x ≤ x x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ x ⋅ z ≤ y ⋅ z Definition (Summenzeichen): Seien m, n ∈ ⎟Ζ, m ≤ n und x i ∈ ⎟R ∀ i ∈ { m, m+1, m+2, ... , n }. Dann ist n xi i= m ∑ := xm + xm+1 + xm+2 + . . . +. xn die Summe aller Zahlen xi für i = m bis n. i ist der Summationsindex, m die untere, n die obere Summationsgrenze. 4 Beispiel: ∑ ( 2i + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 i= 0 Wichtige Rechenregeln: ∑ ( xi + yi ) = ∑ xi + ∑ yi n i= m n ∑ ( rxi ) = r∑ xi i= m n ∑ 1 r i= m ∑ n ∑ xij i= 1 j= 1 = n⋅r ( ) i= m n i= m n n ∑ m ∑ xij j= 1 i= 1 = ( ) n i= m m n ∑∑ i= 1 j= 1 = x ij Im Fall m=n schreibt man häufig nur ein Summenzeichen für beide Indizes: m ∑ xij i, j = 1 m n ∑∑ i= 1 j= 1 = x ij Achtung: Im allgemeinen ist: ∑ ( xi ⋅ yi ) ≠ ∑ xi ⋅∑ yi n i= m Definition (Produktzeichen): Seien m, n ∈ ⎟Ζ, m ≤ n und x ∈ ⎟R ∀ i ∈ { m, m+1, m+2, i ... , n }. Dann ist n xi i= m n i= m n i= m ∏ := x m ⋅ x m+1 ⋅ x m+2 ⋅ . . . ⋅. x n das Produkt aller Zahlen x i für i = m bis n. i ist der Multiplikationsindex, m die untere, 02.07.02, Seite 12
FB Ingenieurwissenschaften Bereich Maschinenbau Mathematik I Prof. Kortendieck n die obere Multiplikationsgrenze. n ∏ i= 1 n ∏ i = 1 n ∏ i = 1 Wichtige Rechenregeln: ( x ⋅ y ) i i ( rx ) r i n ∏ i= 1 n ∏ i= 1 n ∏ i= 1 = xi ⋅ yi = r n x i = r n Definition (Fakultät): Sei n ∈ ⎟Ν. Dann heißt n ∏ i= 1 n! := i Insbesondere definiert man: 0! := 1. ( = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ n ) n-Fakultät. 02.07.02, Seite 13
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